В одной очень-очень свободной и демократической стране крестьяне обязаны сдавать государству всё, что у них вырастет на полях. Если какая-то часть поля не засеяна, то она зарастает сорняками. Один крестьянин имеет несколько полей, на которых он может выращивать картошку (а если у него диссидентские взгляды, то часть поля он может не засеивать). Известно, что КПВ всех полей (в координатах картошка - сорняки) линейны и имеют попарно разный наклон. Опишите множество точек (в системе координат картошка - сорняки), соответствующие объёмам продукции, которые может производить крестьянин, если:
а) у него 1 поле
б) у него 2 поля
в) у него n полей

Комментарии

Михаил Можевитин
12.04.2012 23:59    
Как понять: "КПВ всех полей имеют попарно разный наклон"?
Дмитрий Сироткин ↑
13.04.2012 13:39    
Буквально. У них всех разная степень наклона.
Михаил Можевитин ↑
13.04.2012 17:44    
И всё? Просто сложить $n$ линейных КПВ с разными альтернативными издержками?
Дмитрий Сироткин ↑
13.04.2012 20:25    
Ты меня недооцениваешь.

Ты малость не просёк фишку задачи. Прочитай ещё раз внимательно.

Михаил Можевитин ↑
13.04.2012 20:28    
Хм, под категорию "производить" попадают и картофель и сорняки?
Дмитрий Сироткин ↑
13.04.2012 20:31    
Ага. Всё равно государству сдавать.
Михаил Можевитин ↑
13.04.2012 20:37    
Хм, суть в том, что точки под КПВ недостижимы, так как даже если он не будет сеять картофель, всё поле зарастёт сорняком и точка производства будет лежать на КПВ?
Дмитрий Сироткин ↑
13.04.2012 20:37    
Да, именно так.
Михаил Можевитин ↑
13.04.2012 20:49    
Ага, теперь, если мы построим обычную "эффективную" КПВ, мы получим недостающее количество точек, следовательно, нам нужно строить "неэффективные" КПВ, которых похоже будет $n!$ ( вместе с "эффективной"). И это ещё при условии, что мы делаем общие КПВ из целых кусков КПВ полей. Значит, при бесконечном разделении каждой КПВ мы будем получать уже не ломаные, у заштрихованные области. Понятно, что эти области не смогут выйти за "эффективную" КПВ. Но они также не смогут опуститься ниже "абсолютно неэффективной" КПВ, образованной сложением целых кусков КРВ полей с убыванием альтернативных издержек.
Значит, ответ: вся область между "эффективной" и "абсолютно неэффективной" КПВ.
Михаил Можевитин ↑
13.04.2012 22:32    
Осталось только доказать, что каждая точка между этими КПВ достижима при помощи проведения манипуляций со всеми КПВ.
Михаил Можевитин ↑
16.04.2012 11:05    
И это доказывается постепенным "закрашиванием" области между двумя КПВ, которое выражается в постепенной перестановке местами различных участков КПВ и разделении их на части.
Дмитрий Сироткин ↑
16.04.2012 18:22    
О, боже! Страшное решение (но верное). А писать, наверно, вдвойне неприятно.
Михаил Можевитин ↑
16.04.2012 23:31    
Думаю, решение писать уже бессмысленно (да и долго).
Дмитрий Сироткин ↑
17.04.2012 08:52    
Я имел ввиду, на любой олимпиаде.

Существует ещё одно решение - векторами по индукции, но я его приводить не стану, потому что общая мысль одна и та же.