Функции полезности не существует?

Ответ: не существует.
Доказательство.
Пусть такая функция $U(x_1, x_2)$ существует. Каждому $x_1$ на числовой прямой поставим в соответствие рациональное число $r(x_1)$, лежащее между $U(x_1, 100)$ и $U(x_1, 500)$. В силу свойств данных предпочтений, все $r(x_1)$ получатся различными. Таким образом, мы получили взаимно-однозначное отображение между множеством всех неотрицательных действительных чисел (которое более чем счётно) и некоторым подмножеством множества рациональных чисел (это подмножество счётно, как и само множество рациональных чисел), что невозможно.