Отдача и эластичность

а) Средний продукт по фактору $i$:

\[
AP_i = \frac{q(x_1,x_2,\dots,x_n)}{x_i}.
\]

Условие возрастания:

\[
AP_i' = \bigg(\frac{q(x_1,x_2,\dots,x_n)}{x_i}\bigg)_{x_i}'=\frac{x_i q' - q}{x_i^2}>0
\]

Условие $AP_i' > 0$ равносильно:

\[
x_i q_{x_i}' - q > 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{x_i}{q} \cdot q_{x_i}' > 1.
\]

Но $\varepsilon_i = q_{x_i}' \cdot \frac{x_i}{q}$ --- эластичность выпуска по фактору $i$. Следовательно, $AP_i' > 0$ эквивалентно $\varepsilon_i > 1$.

б) Из (а): $\forall i \quad \varepsilon_i > 1$. Суммируем:

\[
\sum_{i=1}^n \varepsilon_i > \sum_{i=1}^n 1 = n.
\]

в) Запишем условие возрастания среднего продукта по каждому фактору:

\[
\frac{q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n)}{tx_i} > \frac{q(x_1, \dots, x_n)}{x_i}
\]

что эквивалентно:

\[
q(x_1, \dots, tx_i, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, \dots, x_n)
\]

Будем последовательно увеличивать величину используемого фактора в $t>1$, начиная с 1 и заканчивая $n$-ым фактором.

Шаг 1: Увеличиваем \(x_1\) в \(t\) раз:

\[
q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n)
\]

Шаг 2: Увеличиваем \(x_2\) в \(t\) раз (уже при увеличенном \(x_1\)):
\[
q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n)
\]
Но \(q(tx_1, x_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)\) из шага 1, поэтому:
\[
q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t \cdot (t \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

Шаг 3: Увеличиваем \(x_3\) в \(t\) раз:
\[
q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n)
\]
Но \(q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)\) из шага 2, поэтому:
\[
q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot (t^2 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)) = t^3 \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

Продолжая процесс, на шаге \(m\):

\[
q(tx_1, \dots, tx_m, x_{m+1}, \dots, x_n) > t^m \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

С учетом неубывания производственной функции:

\[
q(tx_1, \dots, tx_m, tx_{m+1}, \dots, tx_n) \geqslant q(tx_1, \dots, tx_m, x_{m+1}, \dots, x_n)
\]

Получаем искомое неравенство:

\[
q(tx_1, \dots, tx_m, tx_{m+1}, \dots, tx_n) > t^m \cdot q(x_1,x_2,\dots,x_n)
\]

г) Утверждение неверно. Контрпример: $q(x_1, x_2) = x_1^{0.6} x_2^{0.6}$. Производственная функция имеет положительную отдачу от масштаба, так как для любых $t>1$ верно неравенство $(tx_1)^{0.6}(tx_1)^{0.6}>tx_1^{0.6}x_2^{0.6}$. Заметим, что $\varepsilon_1 = 0.6$, $\varepsilon_2 = 0.6$, $\varepsilon_i < 1$ для всех $i$, значит $AP_i$ убывают.

д) В задаче минимизации издержек при фиксированном \( q \) условие оптимума -- это касание изокванты \( q(x_1,x_2,\dots,x_n) = \text{const} \) и изокосты. Предельная норма технического замещения (MRTS) фактора \( j \) фактором \( i \), равная \[MRTS_{ij} = \frac{MP_{x_i}}{MP_{x_j}}\]

Если изокоста описывается равенством \( TC=\sum w_i x_i \), то угол наклона изокосты в координатах $(x_i,x_j)$ равен $w_i/w_j$. В оптимуме наклоны изокванты и изокосты совпадают:

\[
\frac{MP_{x_i}}{MP_{x_j}} = \frac{w_i}{w_j}\text{ } \text{ или } \text{ } \frac{q'_{x_i}}{q'_{x_j}} = \frac{w_i}{w_j} \Rightarrow \frac{q'_{x_i}\frac{x_i}{q}}{q'_{x_j}\frac{x_j}{q}} = \frac{w_i\frac{x_i}{q}}{w_j\frac{x_j}{q}} \Rightarrow \frac{\varepsilon_i}{\varepsilon_j} = \frac{w_ix_i}{w_jx_j}
\]

Что и требовалось доказать.