Аннуитет

или

\[
S(1+r)^n - x\left[(1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \dots + (1+r) + 1\right] = 0
\]

Сумма в квадратных скобках — это сумма геометрической прогрессии:

\[
(1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \dots + (1+r) + 1 = \frac{(1+r)^n - 1}{(1+r) - 1} = \frac{(1+r)^n - 1}{r}
\]

Найдем ежегодную выплату $x$:

\[
S(1+r)^n - x \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} = 0
\]

\[
x = S \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}
\]

Теперь докажем, что \( x \) возрастает с ростом \( r \), рассматривая функцию:

\[
f(r) = \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}
\]

Разделим числитель и знаменатель на \( (1+r)^n \):

\[
f(r) = \frac{r}{1 - (1+r)^{-n}}
\]

Положим \( f(r) = \frac{r}{g(r)} \) и найдем её производную:

\[
f'(r) = \frac{g(r) - rg'(r)}{[g(r)]^2}
\]

\( g(r) - r g'(r) = 1 - (1+r)^{-n} - r \cdot n(1+r)^{-n-1} \)

Умножим на \( (1+r)^{n+1} > 0 \):

\[
h(r)=(1+r)^{n+1} - (1+r) - rn = (1+r)^{n+1} - 1 - r(n+1)
\]

Производная полученной функции:

\[
h'(r)=(n+1)(1+r)^n - (n+1) = (n+1)[(1+r)^n - 1] > 0 (r,n>0)
\]

С учетом $h(r=0)=0$.числитель \( f'(r) \) положителен, значит \( f'(r) > 0 \) и \( x(r) \) возрастают.

Проанализируем переплату: если общая сумма выплат \( nx\), переплата составит:

\[
\Pi = nx(r) - S
\]

Так как \( x(r) \) возрастает, то \( nX(r)-S \) также возрастает.