КПВ барона Мюнхгаузена

1) Вспомним уравнения движения:
\begin{equation*}
\begin{cases}
x=\mathcal{V}\cos\alpha t \\
y=\mathcal{V}\sin\alpha t- \dfrac{gt^2}{2}
\end{cases}
\end{equation*}
Выразив $t=\dfrac{x}{\mathcal{V}\cos\alpha}$ и подставив в выражение для $y$ получим

$$
y=x\tan\alpha - \dfrac{gx^2}{2\mathcal{V_0}^2\cos^2\alpha} \\
$$

$$
y=x\tan\alpha - \
\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}\left(1+\tan^2\alpha\right)
$$
КПВ барона - кривая, для которой при каждом $x$ максимально значение $y$. Заметим, что если $x$ фиксирован, то $y(x, \tan\alpha)$ это парабола ветвями вниз относительно $\tan\alpha$, и она достигает своего максимального значения при $\tan\alpha=\dfrac{\mathcal{V}^2}{gx}$
Подставив уже эту формулу в выражение для $y$ получим, после преобразований:
$$
y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}
$$

Заметим, что функция обращается в 0 при $x^{*}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{g}$, а производная в этой точке равна $f'(x^{*})=-\dfrac{gx^{*}}{\mathcal{V}^2}=-1$.
Теперь нетрудно получить предложение, используя формулу $$
f'(x)=-\dfrac{P_x}{P_y}=-p
$$
$$
x=\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}
$$
\begin{equation*}
x^{s}=
\begin{cases}
\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}, \:\:\:\: 0\leqslant p\leqslant 1\\
\dfrac{\mathcal{V}^2}{g}\:\:\:\: p>1
\end{cases}
\end{equation*}
2) Подставив $x=\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}$ в выражение для y, получим
$$
y=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}-\dfrac{g\left(\dfrac{p\mathcal{V}^2}{g}\right)^2}{2\mathcal{V}^2}=\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}(1-p^2)
$$
Тогда выручка барона составит
$$
TR=xP_x+yP_y=\dfrac{P_x \mathcal{V}^2}{P_y g}P_x+\dfrac{\mathcal{V}^2}{2g}(P_y-\dfrac{P_x ^2}{P_y})
$$
При $P_x =6,\; P_y=8,\; \mathcal{V}=10$ выручка составит 62,5,
а при изменении скорости до $\mathcal{V}=30$ и неизменных ценах она составит 562,5, откуда максимальная готовность платить составит $562,5-62,5=500$.