Веснушки

Сделаем 100 замен. $\sqrt{100x+y}=a_1$, $\sqrt{99x+2y}=a_2$, ... , $\sqrt{x+100y}=a_100$. Заметим, что $a_1^2+a_2^2+...+a_100^2=5050x+5050y=<5050*100=505000$. Из неравенства о средних получаем, что $\sqrt{(a_1^2+...+a_100^2)/100}>=(a_1+...a_100)/100=U/100$. Заметим, что максимум полезности будет, когда она равна $\sqrt{(a_1^2+...+a_100^2)/100}$, а максимум этой величины равен максимуму $5050(x+y)$, то есть равен $5050*100=505000$. Значит максимум полезности равен $100*\sqrt{505000/100}=100*\sqrt{5050}$ при условии равенства среднего арифметического и среднего квадратичного ста переменных $a_1, a_2...,a_100$, то есть $x=y=50$.