Хлеб и Зрелища или экономический рост

Для начала выведем уравнение кривой производственных возможностей. Заметим, что множество точек, равноудаленных от некоторой точки О, образует окружность с центром в этой точке О. Поэтому наша кривая является частью окружности с центром в начале координат и радиусом 100 (т.к. максимальный выпуск Хлеба и есть радиус данной окружности).

КПВ: $ x^2 + z^2 = 100^2 $, где $x$ - Хлеб, а $z$ - Зрелища.

Нас интересует такое отношение $k$, что $k=\frac{z}{x}$. Отсюда получим, что $z=kx$. После расширения наша КПВ будет иметь вид $x^2 + z^2 = (100k)^2$.

Теперь подставим в первоначальное и полученное уравнения КПВ выражение для Зрелищ $z=kx$. После выражения Хлеба из этих выражений получаем, что в изначально Хлеба производилось $x=\frac{100}{sqrt{1+k^2}}$, а после расширения $x=\frac{100k}{sqrt{1+k^2}}$.

Теперь нас интересует, чтобы сумма этих количеств Хлеба была максимальной. Для этого составим функцию их суммы:

$S=\frac{100k+100}{sqrt{1+k^2}}$.

Аккуратно берем производную (не забывая о том, что данная функция является сложной) и приравниваем ее к 0. Из полученного уравнения получаем, что интересующее нас $k$ равняется 1. Подставив в функцию суммы значение $k=0$, убедимся, что $k=1$ задает именно максимум функции суммы. Поэтому для максимизации количества Хлеба, произведенного за 2 года, производить нужно равное количество Хлеба и Зрелищ, т.е. в пропорции $1:1$.

Т.к. в древнем Риме производились только эти 2 блага, то экономический рост в данном государстве может быть отражен расширением имеющейся у нас КПВ. Но при производстве Хлеба и Зрелищ в полученном отношении этого расширения не будет, т.к. при $k=1$ КПВ через год полностью совпадет с исходной кривой производственных возможностей, поэтому такое производство Хлеба не способствует экономическому росту.