Как-то раз в одном известном экономико-математическом лицее нашей необъятной Родины на уроке экономики обсуждалась кривая $MRP_l$. Ученики негодовали по поводу того, что в учебниках функция $MP_l$ всегда имела U-образный вид, а в задачах им всегда подсовывали линейный аналог. Непонятно им также было и то, что всегда фирмы из задач на рынок труда были совершенными конкурентами на рынке товара. И вот преподаватель придумал задачу, чтобы унять своих учеников:
$TP_l=-L^3+15L^2$
$Q_d=500-6.25P$
Вот и производственная функция кубическая, и фирма – монополист на рынке конечного товара (функция спроса описывает спрос на его продукцию). И тут сильные в математике студенты экономико-математического лицея столкнулись с проблемой – а как график $MRP_l$ нарисовать-то? Функции пятой степени и прочее…
Представьте, что вы ученик чисто экономического лицея, и найдите выход из затруднительного для математика положения. Изобразите как можно точнее график предельной выручки от найма дополнительного рабочего на интервале $L [0;15]$ и подробно объясните свое решение.
$TP_l=-L^3+15L^2$
$Q_d=500-6.25P$
Вот и производственная функция кубическая, и фирма – монополист на рынке конечного товара (функция спроса описывает спрос на его продукцию). И тут сильные в математике студенты экономико-математического лицея столкнулись с проблемой – а как график $MRP_l$ нарисовать-то? Функции пятой степени и прочее…
Представьте, что вы ученик чисто экономического лицея, и найдите выход из затруднительного для математика положения. Изобразите как можно точнее график предельной выручки от найма дополнительного рабочего на интервале $L [0;15]$ и подробно объясните свое решение.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Это пока первое, что мне пришло в голову.
Я решил сначала попробовать аналитически задать функции... Ну, чтобы потом проще было идеи какие - то экономические продвигать)
$ MP_l = (TP_l)' = -3L^2+30L $
$ MR = \frac{500}{6,25} - \frac{2*TP_l}{6,25} = 80 + 0,32*L^3 - 4,8*L^2 $
$ MRP_l = MRP * MP_l = (-3L^2+30L)(80+0,32L^3-4,8L^2) $
Найдём нули функции. Для первой скобки: $ L_1 = 0 ; L_2 = 10 $, для второй найдём корни используя теорму Виета (корнями уравнения являются делители свободного члена). Немного пошаманим, и найдём $ L_3 = 5 $. Далее, например, поделим многочлен третьей степени столбиком, получим квадратное уравнение $ L^2-10L-50 = 0 $, корнями которого являются значения $ L_{4;5} = 5\pm \sqrt75 $. Очевидно, что один корень - отрицательный, это теряет экономический смысл, отсюда получаем $ L_4 = 5+\sqrt75 $. Вот такие вот пироги :)
P.S. Построитель графиков вконтакте потверждает :)
Такая сильно бегающая вверх - вниз функция, т.к. при $ L=1 $ $ MRP_l>1000 $
Экономическое обоснование на элементарном уровне - каждый последующий работник мешает предыдущим, ведь если рассмотреть $ MP_l $ , то это убывающая функция на промежутке $ L[0;10] $. Т.е. на этом участке на наблюдаем стандартный отрицательный эффект масштаба, тксказать.. Т.е. убывание предельной производительности. А почему это функция именно 3 степени - мне кажется это может быть функция любой степени, у нас ведь никаких экономических ограничений на $ TP_l $ нету?! Просто не понимаю пока, что может заставить функцию быть функцией 3 степени от $ L $... Просто лично я не вижу ничего страшного в этом) Опять же, хоть 27...
Твои соображения, кстати, совсем не затронули $MRP_l$ - основного виновника торжества. =)
1)$MRP_l=MR(L)*MP_l$
2)$MP_l(0)=0 =>$ $MRP_l(0)=0$
3)Мы исследуем функцию, которая является производной от функции $TR(L)$. Зададим резонный вопрос: когда выручка окажется максимальной? Очевидно, что при заданном спросе максимум выручки достигается при некотором $Q^*$, $MR(Q^*)=0$. Но достижим ли такой объем производства? Очевидно, что максимум $TP_l$ из задачи равен 500, а $Q*=250$, отсюда вывод => максимальной выручка будет при некотором $L_1$, $TP_l(L_1)=250$. В задаче $L_1=5$. Значит искомая кривая отправляется из точки 0 и приходит в точку $L=L_1$. Так как выручка при этом растет, получаем "параболу ветвями вниз", исходя из стандартного вида $MRP_l$. Что же будет дальше? Тут начинается самое интересное. Если мы продолжим нанимать работников, то будет неуклонно стремиться к максимальному выпуску $Q_{max}=500$. Заметим, что раз "оптимальный" выпуск мы уже проехали, то выручка наша будет падать. При $L=L_2=10$ мы достигнем максимального выпуска. При заданном спросе такой выпуск $TP_l(10)=500$ покупается только по 0 цене. Вывод: наняв еще 5 рабочих (с 5 по 10) мы с максимальной выручки точь-в-точь попадаем в точку, где имеем выручку равную 0. Значит, учитывая, что при $L_2$ $MP_l=0$, мы будем терять нашу выручку и потеряем все, что нажили ранее: из 5 в 10 мы передвигаемся "по параболе ветвями вниз", при этом площадь под ней будет точь-в-точь равняться площади под первым участком $MRP_l$ (от 0 до 5). Так как и там и там мы имеем интервал длиной 5 и площади под графиками равны (а так же в силу определенной симметрии, ведь $L=5$ является, с одной стороны, максимумом $MP_l$, а, с другой стороны, нулем $MR$, линейный аналог которого симметричен относительно $Q_{max}$) заключаем, что полученный на данном этапе график имеет 2 оооочень схожих интервала, отличающихся только знаком $MRP_L$.
Двинемся дальше: продолжая наращивать L, мы будем, тем самым, уменьшать наш выпуск от $Q=500$ до $Q=0$. Выручка при $L=10$ равна 0, как мы выяснили ранее. Но на пути $Q=500$ до $Q=0$ мы минуем $Q=250$ - точку, в которой выручка максимальна. И вот парадокс: $MRP_l$ опять пойдет вверх! Более того, раз мы опять достигнем максимума выручки, она опять обнулится в точке $L_3$, такой, что $TP_l(L_3)=250$. $L_3$ можно в данной задаче посчитать (Дан его нашел, и оно равно $5 + \sqrt{75}$). Новый интервал уже не имеет длину 5, но, тем не менее, опять является "параболой" (да, признаюсь, тут уже математические соображения о том, что наша $MRP_L$ - это многочлен 5-ой степени). Ну и от $L_3$ до $L_{max}=15$ мы будем только терять выручку и наша кривая уже не обнулится. Однако стоит заметить, что каждый раз, когда наша кривая меняет знак, площади под сегментами оказываются равны. То бишь мы "просядем" вниз глубже на промежутке от $L_3$ до $L_{max}=15$, так как на этом участке нету уже той "параболы", есть просто убывающая кривая, но площадь под ней должна быть такой же.
В завершение приведу интересный способ, с помощью которого можно оценить границы нашей $MRP_l$. Максимальная выручка при таком спросе равна 10 000. Она же - площадь под сегментами на наших интервалах. Из "экономико-математических" соображений мы знаем, что на этих интервалах (первых трех, хотя бы) кривая имеет вид "параболы". Давайте на каждом интервале, используя ось $L$ как основание, построим по равнобедренному треугольнику с такой же площадью (один треугольник на интервале от 0 до 5, один - от 5 до 10, третий - от 10 до $L_3$). Мы можем заметить, что на одном и том же интервале площадь под "параболой" превосходить площадь под треугольником, поэтому если площадь треугольника равна нашей выручке, то вершина этого треугольника должна оказаться выше максимума нашей "параболы". Таким образом, найдя высоту (в случае первого треугольника $$h=\frac{2*10 000}{5-0}=4000$$), мы можем судить о значении $MRP_l$ в точке ее максимума. Можно заключить, что на первом промежутке $MRP_l$ не превосходит 4000 тысяч. Грубовато, конечно, но что поделаешь (кстати, если взглянуть на рисунок ниже, то можно увидеть, что такой вот кухонный способ дал неплохой результат, на самом деле). =)
В общем, тут о чем поговорить - море. Задавайте вопросы. Простите за корявость. =)
В заключение: вот, собственно, сам виновник торжества в точном его виде.