Задача
Раздел
Темы
Сложность
Голосов еще нет
Автор
25.02.2010, 00:21 (Дмитрий Сорокин)
26.05.2015, 17:25
26.05.2015, 17:25
Не задумывались ли вы, дорогие Друзья, вот над чем: мы часто видим линейную кривую спроса, у которой есть как эластичные участки, так и нет. Также мы видим кривые с постоянной эластичностью по цене. Предлагаю вам следующее: отыщите такие функции спроса, которые имеют различные значения точечной эластичности по цене, но при этом являются всегда строго эластичными или неэластичными. Попробуйте рассуждать экономически (я знаю, что всех уже достал с этим, но все же). Математические изыски также приветствуются.
Ну и еще легкая тренировочка для тех, кто не очень уверен в себе: докажите, что если на рынке присутствуют только потребители с эластичным спросом, то и рыночный спрос будет эластичен.
Ну и еще легкая тренировочка для тех, кто не очень уверен в себе: докажите, что если на рынке присутствуют только потребители с эластичным спросом, то и рыночный спрос будет эластичен.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
-1$$
1)$$Q_d = e^{-x^2/2-2ln{x}}$$
$$E_d = -x^2 - 2\le-2<-1$$
2) $$Q_d = \frac{1}{x+1}$$
$$E_d = -1 + \frac{1}{x+1}, при~x>0, E_d \in (-1;0) $$
$$Q=\frac{1}{Pe^P}$$
Она проще твоей, да и эластичность тут вообще красивая.
Ты прав, такая по-красивее будет))
2) Неэластичный
а)
1) Q=1/p-1
2) Q=1/p+1
б)
1) Q=1/(p-1)
2) Q=1/(p+1)
Пары а) и б) получаются друг из друга использованием того факта, что эластичности обратных функций обратны.
$$Q=\frac{1}{sin(P)}$$ при
$$0
Как можно было рационализировать поиск таких функций с помощью экономических рассуждений? Какими свойствами они должны обладать?
Только это всё равно ни разу не экономический подход =)
Если ассимптота по Q, то при малюсеньком изменении цены очень сильно изменится Q...
Просто имел ввиду что ассимптота стремится к чему - то при всех Q... )
Можно еще подумать насчет углов наклона касательной и секущей относительно друг друга, но, подозреваю, что это не то.
Смотрите, мы с вами решили, что эластичные функции - это функции, у которых небольшое изменение в Р ведет к большому изменению в Q. Оттолкнитесь отсюда.
Попробуй описать, как бы ты теперь искал функцию спроса, которая всюду эластична.
Скажем, пусть $ E(p) = -1,25 - 0,5p $
$ E(p) = q'(p) \frac{p}{q(p)} = -1,25 - 0,5p $
$ \frac{q'(p)}{q(p)} = - \frac{1,25}{p} - 0,5 $
$ q(p) = ae^{\int({\frac{-1,25}{p} - 0,5)dp} = \frac{a}{p^{1,25}} e^{-0,5p} $
Пусть для красоты $ a = 10e $
Тогда $ q(p) = \frac{10}{p^{1,25}} e^{1-0,5p} $.
Всё просто и понятно) Хотя я не думаю, что Дима оценит))
Я, когда искал, создавал что-то типа общего вида тоже. Но потом меня осенило, что можно было без математики искать.
Если спрос всюду эластичный, то эластичность растёт с ростом цены.
Если спрос всюду неэластичный , то эластичность падает с ростом цены.
А если серьезно, то ты о чем? про логарифмические интерпретации?
Сейчас подумал, что, наверное, Сурен имел в виду только функции с непостоянной эластичностью (о которых, собственно, задача). Для них утверждение, на мой взгляд, очевидно неверное: мы можем локально как угодно изменить функцию, так что её эластичность вдруг начнёт падать, но при этом упадёт не слишком сильно, так что всё равно будет по модулю больше единицы.
Если спрос всюду эластичный то TR убывает с ростом P и возрастает с ростом Q ))
Спасибо Дану что напомнил))
Вот, какое рассуждение наводит на интересную мысль: нам нужен эластичный спрос. Что это такое? Небольшое изменение цены приводит к большему изменению количества. Возьмем функцию $$Q=\frac{1}{P}$$. А что, если взять, и вместо $P$ сделать $P^2$? Прежнее изменение Р намного сильнее скажется на процентном изменении Q! А что, если домножить знаменатель на любую положительную возрастающую функцию?
Друзья! Предлагаю вам изобрести теорему. Исследуйте эластичность функции $$Q=\frac{1}{f(P)*P^n}$$. Вы замечаете интересный факт? Используя результат вашего труда, оцените эластичность функции спроса $$Q=\frac{ln(P+2)^2}{e^P*P^2}$$
$ E = \frac{\Delta Q}{\Delta P} * \frac{P}{Q} $
$ \frac{\Delta Q}{\Delta P} = \frac{-f'(P)*P^n-n*f(P)*P^{n-1}}{f^2(P)*P^{2n}} = A $
$ E = A * \frac{P}{Q} = \frac{-f'(P)*P^{n+1}-n*f(P)*P^n}{f(P)*P^n} = -f'(P)*P -n $
По предположению, функция $ f(P) $ - возрастающая, следовательно, $ f'(P) > 0 $. Также, чтобы не терялся экономичкеский смысл, $ P > 0 $, откуда $ E = -n -f'(P)*P = -n -k $, где $ k = f'(P)*P > 0 $.
Следовательно, мы имеем дело с эластичной функцией спроса.
Красиво, но я думал, что получу что - то вроде $ E = -n -f'(P) $. Я понимаю, конечно, что и к такому можно прийти, но интегрировать не хочется (я это уже выше проделал один раз).
Тогда и правда супер, ведь если $ Q = f(P) $, то $ E_d^P = f'(P) * \frac{P}{f(P)} $.
В итоге $ E_{искомая} = -E_{побочная} - n $. А т.к. $ f(P) $ - возрастающая функция, то скажем, что это, мол, некая функция предложения, у которой, очевидно, $ E_{побочная} > 0 $.
Круто!
А во второй функции эластичность какая - то адская жесть. =(
ну вы, господа! вам же дана та же функция, только уже не в общем виде, а в частном, осталось понять, что возрастает функция $e^P/ln(P+2)^2$, тогда искомая эластичность меньше либо равна -n, то есть -2 в данном случае)
$Q(P)=\frac{1}{P(ln(P)ln(2P)+10)}$
Но логарифм может быть и меньше нуля, поэтому это не постоянно эластичная функция.
Докажите, что для функций u=u(q) и v=v(q):
а) Eq(uv) = Eq(u) + Eq(v)
б) Eq(u/v) = Eq(u) - Eq(v)
в) Eq(qu) = 1 + Eq(u)
г) Eq(c) = 0
д) Eq(cu) = Eq(u), где с - постоянная) Так что мы полезную штуку вывели)
Ну и дальше, соответственно, что если положительную константу разделить на эластичное предложение, то получим эластичный спрос и т.д...