Все 13 городов страны $A$ расположены на одной прямой. Обозначим их слева направо $A_1,A_2,\ldots,A_{13}$. В рамках программы ускоренной модернизации правительство приняло решение о строительстве в стране первого завода по производству инновационного товара $X$. Этот товар будет доставляться во все города пропорционально количеству жителей в них. Издержки же на транспортировку пропорциональны как количеству доставляемого товара, так и расстоянию от завода до данного города. Правительство приняло еще одно инновационное решение: построить завод в такой точке плоскости, чтобы суммарные издержки на транспортировку товара $X$ в города были минимальны. В какой точке нужно построить завод, если
- В городах одинаковое количество жителей;
- В городе $A_1$ живет 1 млн. чел., в городе $A_2$ - 2 млн., в городе $A_3$ - 3 млн., и.т.д., в городе $A_{13}$ живет 13 млн. чел.?
Примечание: неизвестно, на каких расстояниях друг от друга расположены города.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
S=|x|+|x-L_1|+|x-L_2|+...+|x-L_12| , где x- это расстояние между точкой где будет завод и первым городом. А L_1,L_2 ... L_12 - это расстояния между 2,3..13 городов и первым город.
Таким образом если раскрыть модули то получиться , что график функции S это такая ломанная функция состоящая из 14 прямых с углами наклона -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 13 . т.е функция слева направо сначала убывает доход до минимума а потом возрастает , так вот, её минимум находится в точке где происход смена угла наклона с -1 на 1 , это точка соответствует городу A7 . Поэтому независимо от L т.е расстояний между городами , необходимой точкой будет A7.
Ну и второй пункт попытайся решить двумя способами)
Это я про а)
НУ допустим если завод находится около города А7, то ему надо доехать до города А13 , чтобы дать товар А8,А9,А10,А11,А12, А13 . Потом ему надо опять возратиться назад и проехать этот отрезок А7 - А13
далее транспорт повезет товар до А6, А5, А4, А3, А2,А1, а потом проезжать отрезок А6 - А1, чтобы доехать до завода.
Допустим, выехало из завода несколько машин. Едут - на пути встречается город. Тогда часть из них разгружается и едет обратно на завод, часть едет до следующего города, и.т.д.
Или я не так понял условие?
Это я про второй слчай.
вот и все.
А вы хотите чтобы все математически было?
Смотри: ты сэкономил на том, чтобы доставлять товар в 13 город. Но при этом тебе пришлось везти кучу товара в другие города, которые, возможно, очень далеко.
Более того, легко доказать, что в 13 городе располагать завод невыгодно при любых расстояниях между другими городами.
Возьмем за единицу измерения товара количество товара, которое нужно 1 млн. чел. Пусть издержки транспортировки 1 единицы товара на 1 км равны $t$.
Тогда если ты перенесешь завод из 13-ого города на 1 км левее, то твои издержки справа вырастут на $13t$ (Тебе придется доставлять 13 единиц на расстояние 1 км., раньше ты этого не делал), но слева твои издержки сократятся на целых $(1+2+\ldots+12)t$, так как теперь товар, нужный левым городам, надо везти на 1 км. меньше! В итоге общие издержки уменьшатся, а значит, если строить завод в 13-ом городе, то издержки заведомо не минимальны - существует заведомо более хороший вариант, строить чуть левее.
Но и этот вариант не оптимален, не правда ли?
я думаю может вблизи города 10 но не далеко от города.
чем дальше тем длиннее путь.
Одно и то же получается.
Всегда гипотинуза больше катетов и тут также. Т.е. если завод находится на прямой километраж, который перед нами стоит намного меньше , чем если завод находится не на ней.
Расстояние , которое транспорт должен проехать не на прямой =
√(13(А10-L)+ (L;А1)2+(L;А2)2+(L;А22)+(L;А3)2+(L;А4)2+(L;А5)2+ (L;А6)2+(L;А7)2+(L;А8)2+(L;А9)2+(L;А10)2+(L;А11)2+(L;А12)2+(L;А13)2 А оно гараздо больше ,а потому трансакционные издержки будут больше.
Формат подходящий. как мне можно его вставить?
:-)
А то, что проекция всегда меньше наклонной т.е. расстояние поездки по прямой меньше чем расстояние поездки "по плоскости" можно, мне кажется, объяснить словесно)
Ну я думаю мой рисунок лишним не будет.
А разве вопрос задачи не стоял в том чтобы найти этот город. И все наши рассуждения пришли к выводу что лучше всего строить завод на прямой, в а) это 7-ой город И Сурен это доказал. А в б) это 10-ый город
И задача наверно решена , разве нет?
Если , конечно, Алексей не даст нам еще какое-нибудь задание......).
Ну, например, пункт б) тогда можно попробовать доказать вторым способом, как это делал Сурен(через сумму модулей). Алексей к этому взывал между прочим)
S = |x|+2|x-L_2|+3|x-L_3|+4|x-L_4|+5|x-L_5|+6|x-L_6|+7|x-L_7|+8|x-L_8|+9|x-L_9|+10|x-L_10|+11|x-L_11|+12|x-L_12|+13|x-L_13|
Ну вот давайте искать ошибки).