Представьте, что Вы – организатор мероприятий Московского Университета. На этот раз Вам предстоит организовать 2 лекции известных экономистов (Г.М. Леонидов и Г.М. Сергеев).
Вместимость зала - 800 человек, предельные издержки предоставления одного места равны нулю. Ваша задача – организовать продажу билетов на лекции.
Вместимость зала - 800 человек, предельные издержки предоставления одного места равны нулю. Ваша задача – организовать продажу билетов на лекции.
Спрос желающих пойти только на первую лекцию представлен следующей функцией: Q(p1)=40(10-p1) . А тех, кто хочет посетить только вторую лекцию: Q(p2)= 300(12-p2) .
Кроме того, есть люди, желающие пойти сразу на две или не пойти ни на одну из лекций (то есть они не рассматривают возможность пойти только на одну из двух лекций). Спрос этой группы представлен функцией: Q(p_both)=100(20-p_both) .
Какие цены нужно назначить на билеты на первую и на вторую лекцию, и цену «набора» из двух лекций, если вы хотите получить в итоге максимальную прибыль? Сколько человек посетит каждую из лекций при назначенных ценах? (Предполагается, что перепродажа билетов невозможна)
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
1)чтобы максимизировать прибыль, должно выполняться условие:
Q(p1)+Q(p_both)=800 и Q(p2)+Q(p_both)=800
отсюда следует, что q(p1)=q(p2)
40(10-p1)=300(12-p2)
400-40(p1)=3600-300(p2)
p(2)=(320+4(p1))/30
2)максимизируем общую прибыль,тогда:
Q(1)*(10-1/40Q(1))+Q(2)*(320+4p(1))/30+(800-Q(1))*(20-(800-Q(1)/100)- max
Q(1)*(10-1/40Q(1))+Q(1)*(320+4(10-Q(1)/40)/30+(800-Q(1))*(20-(800-Q(1)/100)- max
преобразовав, выходит, что
10Q(1)-Q(1)*Q(1)/40+12Q(1)-Q(1)*Q(1)/300+800*12-40Q(1)-Q(1)*Q(1)/100-max
взяв производную ,получаю:
10-Q(1)/20+12-Q(1)/150-40-Q(1)/50=0
количество отрицательное :(
Видимо автор так изначально подобрал.
TR1(Q1) + TR2(Q2) + TRboth(Qboth) -> max
2)Выведем уравнения предельных выручек MR для каждого из спросов
Q1 = 40(10 – p1)
P1 = 10 - Q1/40
MR1 = 10 – Q1/20
Q2 = 300(12 – P2)
P2 = 12 – Q2/300
MR2 = 12 – Q2/150
Qboth = 100(20 – Pboth)
Pboth = 20 – Qboth/100
MRboth = 20 – Qboth/50
{далее решение становится очень нестрогим}
3) Заметим, что до определенного момента (воспринимая функции как независимые) MRboth >MR2; MRboth > MR1. Тогда выгодно продавать Qboth, пока дополнительный проданный этой группе билет приносит дохода больше, чем дополнительный проданный другим группам билет.
Мы будем увеличивать Qboth, пока MRboth >=MR2. Остановимся в MRboth = 12, т.к. затем мы сможем получать не меньший предельный доход от продажи второй группе. MRboth = 12
Qboth = 400. Очевидно, что мы не распродали все места и сможем продолжить.
4) Мы будем продавать билеты группам 2 и 3, пока они приносят больший предельный доход, чем такие же билеты, проданные группе 1. Остановимся в момент MRboth = MR2 = 10 (аналогично рассуждениям выше). И (т.к. нам повезло) Qboth в этот момент = 500, а Q2 = 300. Мы полностью (и оптимально) заполнили места во втором зале, => наращивать Qboth и Q2 мы больше не можем.
Посмотрим на Q1. Максимальная выручка достигается при Q=200, и (нам опять везет) мы сможем им продать именно столько.
Ответы:
P1(200) = 5
P2(300) = 11
Pboth(500) = 15
TR =π = 200 * 5 + 500 * 15 + 11 * 300 = 1000 + 7500 + 3300 = 11800
первую лекцию посетят 700 человек, вторую лекцию посетят 800 человек, прибыль составит 11800
если что, на Акимове я не была, так что не гарантирую ничего :(
Количество максимизирующее выручку группы II равно $1800>800$
Количество максимизирующее выручку группы both равно $1000>800$
Следовательно, места на вторую лекцию будут распроданы полностью и $Q_b=800-Q_2$ (1)
Оптимум на второй лекции : $MR_b=MR_2$ (2)
Из (1) и (2) Получаем, что $q_2=300$ $$q_b=500$
Теперь первый рынок.
Если бы была только первая лекция, то на этом рынке выгоднее было продать побольше билетов из группы BOth. Но это приведет к уменьшению Q2 на второй лекции.
Покажем, что это невыгодно.
Сравним $MR1 vs MR2$
$2Q_2 vs 600+15Q_1$
Получается что $MR1 < MR2$ при любом $q_2<=300$ ( у нас $q_2=300$)
Следовательно $Q_b=500$ -оптимум
$Q_2=300$ -оптимум
А с первой группы мы можем взять мах выручки при $q_1=200$
Количества нашли. Получаем ответ (см. выше)
P.S. возможно решение построже:)
Алексей, а можно ещё для особо оадренных вопрос:
вы когда сравниваете MR1 и MR2 получается же
10-Q1/20 Vs 12-Q2/150
(200-Q1)/2 Vs (1800-Q2)/150
15(200-Q1) Vs 2(1800-Q2)
3000-15Q1 Vs 3600-2Q2
2Q2 Vs 600+15Q1
так ,нет?)но тогда же все равно выполянется написанное вами выше условие?)
я в преобразованиях ошибку нашел (уже исправил)
Все равно получается, что $q_2=300$ -оптимум.