Фирма владеет двумя заводами; для каждого из них дана функция издержек производства на нём: $TC_{1} $ и $TC_{2} $. Когда фирма хочет произвести $Q$ единиц продукции, она распределяет производство между двумя заводами так, чтобы минимизировать суммарные издержки.
- Найдите функцию суммарных издержек $TC(Q)$ для каждого из следующих случаев:
- $TC_{1} (q)=q^{2} $, $TC_{2} (q)=10q$
- $TC_{1} (q)=q^{2} $, $TC_{2} (q)=2q^{2} $
- $TC_{1} (q)=\sqrt{q} $, $TC_{2} (q)=2\sqrt{q} $
- $TC_{1} (q)=6q$, $TC_{2} (q)=\left\{\begin{array}{l} {0,{\text{ если }q=0}} \\ {100+q,{\text{ если }q>0}} \end{array}\right. $
- $TC_{1} (q)=\left\{\begin{array}{l} {0,{\text{ если }q=0}} \\ {4,6+q/2,{\text{ если }q>0}} \end{array}\right. $, $TC_{2} (q)=\left\{\begin{array}{l} {0,{\text{ если }q=0}} \\ {q+\frac{1}{q+1} ,{\text{ если }q>0}} \end{array}\right. $
- В каждом из этих случаев постройте на одном рисунке графики функций $TC_{1} (q)$, $TC_{2} (q)$ и $TC(q)$. Какую закономерность Вы можете выявить? Сохранится ли она для произвольных $TC_{1} (q)$ и $TC_{2} (q)$?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Будем "миксовать", так как $MC_{total}$ может получиться меньше, чем $MC_1(q_1)минимальные затраты, ну и т.д.):
1. Если $q_1=0$, то $TC_2(Q)=2Q^2>TC_{total}(Q)=\frac{2Q^2}{3}$;
2. Если $q_2=0$, то $TC_1(Q)=Q^2>TC_{total}(Q)=\frac{2Q^2}{3}$,
следовательно, $TC_{total}(Q)=\frac{2Q^2}{3}$ - искомая функция издержек.
Кстати, меня мучает такой вопрос: можно в $\LaTeX$ как-нибудь задать совокупность??
$TC(Q) = 4.6 + Q + \frac{Q+1-\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{Q+1-(Q+1-(Q+1-\sqrt2}) =$ $4.6 + Q - \frac{1}{2} + \sqrt2 = 4.1 + \sqrt2 + \frac{Q}{2}= \frac{41+10\sqrt2 + 5Q}{10}$. Вроде все равно получается, что т.к $\sqrt2 > 0.5$, то производить на двух заводах не надо.
Предлагаю проверить для $Q=10$:
Если точка переключения - $Q=9$, то найдем издержки ($9$ единиц на втором участке и $(10-9)$ на третьем):
$\TC=9+\frac{1}{10}+\frac{46+5}{10}=14,2$
Если точка переключения $Q=\sqrt{2}-1$, найдем $\TC$ (причем $\sqrt{2}-1$ на втором участке, а $(11-\sqrt{2})$ - на третьем):
$\TC=(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{\sqrt{2}-1+1}+\frac{46+5(10-\sqrt{2}+1)}{10}<11$ (вольфрам сказал)
И почему точкой переключения будет служить точка $Q=9$, да в ней переключение между $TC$ происходит, но не переключение между $MC$, не могу никак понять!
Пусть мы хотим произвести 8 единиц. Можно доказать, что оптимальный способ сделать это - произвести все их на втором заводе. Значит, $TC(8)=TC_2(8)$.
Пусть мы хотим произвести 9,01 единиц. Можно доказать, что оптимальный способ сделать это - произвести все их на первом заводе. Значит, $TC(9,01)=TC_1(9,01)$.
$TC(9,01)-TC(8)$ - это просто разница между издержками в двух гипотетических ситуациях: производство 9,01 единиц и производство 8 единиц. Это, вообще говоря, не то же самое, что ответ на вопрос: "Пусть мы уже произвели 8 единиц на втором заводе; какую минимальную сумму денег нужно добавить, чтобы довести суммарный выпуск до 9,01".
А уж когда мы это доказали, то останется всего два варианта: весь Q производить на первом заводе либо весь Q производить на втором. Среди этих вариантов уже нетрудно выбрать лучший - сравнить $TC_1(Q)$ и $TC_2(Q)$.
Пункт c. я опять же делал через минимизацию, как здесь, и получил такой же ответ.
$$TC_{total}(Q)=\begin{cases}Q^2, \text{ если }Q\in [0;1]\\ \sqrt{Q}, \text{ если }Q\in[1;+\infty)\end{cases},$$.
Такой ответ?
В какой-то точке мы перестанем использовать завод $q^2$, т.к. эта функция возрастает быстрее другой
$TC_{2}=2*TC_{1}$
$2*\sqrt{q}=(q_{2})^2$
$q=\sqrt[3]{4}$
То есть $TC(q)=\sqrt{q}, q>=\sqrt[3]{4}$
До этой точки будут работать 2 завода:
$MC_{1}=MC_{2}$
$1/(2\sqrt{q_{1})}=(q_{2})^2$
$q_{1}=1/16(q_{2})^2$
$q=q_{1}+q_{2}: q=1/16(q_{2})^2+q_{2}$
Далее решаем это уравнение относительно $q_{2}$, а после относительно $q_{1}$
Складываем и получаем ответ.
$Q_{1}=\sqrt{0,5} \approx 0,708$
$Q_{2}=0,49^2=0,2401$
$Q_{1}+Q_{2}=0,9481<0,9801$
Во-вторых, непонятно откуда взята вторая часть
Для производства с двумя и более заводами должно всегда выполняться равенство $MR=MC_{Общее}=MC_{1}=MC_{2}$
В-третьих, первая часть действительно неправильная. $TC_{Общее}$ должно получаться только из второй части
$$TC_2(q)=\left\{\begin{matrix} 0 ,\ q=0\\ 100-q,\ q>0\end{matrix}\right.$$
$MC_1\neq MC_2$
$Q=q_1+q_2$
$$Проверим:$$ $$1)TC_1(Q)>TC_2(Q)$$ $$2)TC_1(Q)100-Q\ ,Q=q>0$ $=>$
$=>$ $TC_1>TC_2,\text{при}\ Q>20$
$2)TC_10$
$6q_1+100+q_2<6(q_1+q_2)$
$TC_1_,_2(Q)20 \\ q_1>0 \end{matrix}\right.$
$4)6q_1+100+q_2<100+Q,\ при\ Q=q_1+q_2;\ q_1,q_2>0$
$5q_1<0\ \text{решений не имеет}$.
$$\text{Из 1)2)3)4) следует, что выбирать выпуск на двух заводах не оптимально,}$$
$$\text{так как на втором заводе произвести всегда будет дешевле чем на двух.}$$ $$=>TC(Q)=\left\{\begin{matrix}0,\ Q=0 \\ 6Q,\ Q<20 \\ 100+Q,\ Q>20\end{matrix}\right.$$
$$TC_2(q)=2\sqrt{q}$$
$\left\{\begin{matrix}MC_1=MC_2\\ Q=q_1+q_2\end{matrix}\right.$
$MC_1=\frac{1}{2\sqrt{Q}}$
$MC_2=\frac{1}{\sqrt{Q}}$
$MC_1_,_2=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{Q}}$
$$1)MC_10$$
$$2)MC_1_,_2TC=\sqrt{Q}$
$Q=q_1+q_2$
$1)TC_1(q_1)+TC_2(q_2)0$ $=>\text{рассматриваем случаи}TC_19$ работает $TC_1$, а при $Q<9$ - $TC_2$