В славной Бухаре есть три сословные группы: ремесленники, купцы и вельможи, причём доходы внутри каждой из групп распределены равномерно. В Бухаре 30000 ремесленников, 40000 купцов и 30000 вельмож. Ремесленники получают всего 10% от общего дохода бухарцев, в то время как купцы получают 30%, а вельможи - 60%.
Ходжа Насреддин нашёл в песках лампу с Джинном, который сообщил ему, что специализируется лишь на изменении индексов Джини. У Ходжи есть друг-ремесленник Али и враг-вельможа великий визирь. Он может попросить Джинна изменить индекс Джини до любого значения (конечно, в пределах разумного, от 0 до 1), не изменяя при этом общего дохода бухарцев. Ему хочется, чтобы Али стал получать больший доход, чем раньше, а великий визирь - меньший. Магия Джиннов имеет свои пределы, например, Джинн не сможет переместить человека из одной группы в другую (так ремесленник не может стать купцом, а вельможа - ремесленником), хотя доходы он может сделать любые у любой группы (не нарушая при этом равномерного их распределения внутри групп и не меняя их общей суммы). Укажите промежуток значений индекса Джини, в котором Ходжа может назвать любой индекс, чтобы исполнить задуманное (не забывайте о том, что Джинн очень хитёр и коварен).
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Если Ходджа захочет, чтобы 30%(т.е. ремесленники) получали весь доход, то Джинн может сделать так, что весь доход будут получать вельможи, ведь их тоже 30%.
Группа вельмож по численности равна ремесленникам, поэтому при любом неравенстве Джинн может делать так, что группой с большим доходом будут вельможи или купцы( если, например G=0.6)
Причем доходы вельмож могут быть равны доходам ремесленников, если задать например их как одну группу в 60% . В остальных случаях он вроде не может так сделать
какие значения может принимать коэффициент Джини, если
а) 30% населения получают не более 10% доходов;
б) 30% населения получают не менее 60% доходов.
На первый вопрос - ответ от 0.2 до 1; на второй - от 0.3 до 1. Тогда очевидно, что, если коэффициент Джини < 0.2, то ремесленники станут богаче, а вельможи беднее.
исправил
Но в нашем случае согласен, коэффициент Джини не больше 0.7.
доход неизменен- I. Пусть доход ремесленников - 1-I. Получим, что G=(20+10I)/100
Т.е. минимум- 0.2, но в этой точке Джин еще может маневрировать. Так что исключаем эту точку. Получается, что G принадлежит [0;0,2)
(б) Найдите интервал для коэффициентов Джини, если цель Ходжи - увеличить доход ремесленников не меньше, чем на 20%, и сократить доход вельмож не менее чем на 20%.
(в) Допустим, цель Ходжи - увеличить доход ремесленников на $x$% (доход вельмож ему безразличен). При каких $x$ ему гарантированно удастся это сделать?
(Я имею в виду именно проценты, а не процентные пункты. Если изначально ремесленники получали 10% дохода страны, то после роста на 20% их доход будет составлять 12% дохода страны).