После неудачной попытки уменьшить индекс Джини (см. http://iloveeconomics.ru/zadachi/z1348), Робин Гуд (что, как известно, означает Очень Хороший Робин) решил начать изучать экономику. После долгих часов, проведёнными за книгами монаха Тука, Робин придумал новый способ снижения индекса Джини. Довольный собой, он пошёл к мудрому монаху хвастаться. "Смотри," - сказал Робин - "теперь я буду поступать по-другому. Я буду собирать некоторое количесво жителей Ноттингема (хотя конечно не всех) вместе, грабить их, а потом раздавать награбленное всем им поровну. Теперь я точно смогу не просто уменьшить индекс Джини, но даже сделать его нулевым!" Выслушав Робина, Тук задумался. Он знал, что Робин действительно сможет собрать вместе любое число жителей Ноттингема (но не всех). Также он знал, что в Ноттингеме живёт больше 10000 жителей. "Ну, попробуй," - сказал он - "посмотрим, что получится. Хотя, по-моему, своей цели ты добьёшься не обязательно."
а)Почему брат Тук так решил? Всегда ли Робин с помощью таких действий сможет сделать индекс нулевым?
б) Пусть в Ноттингеме живёт n жителей. При каких n Робин сможет-таки достичь своей цели?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Чем больше людей будет "брать" Робин, тем длиннее будет получаться линейный участок кривой.
Из условия ясно, что изначально индекс Джини был отличен от нуля, то есть неравенство существовало.
Предположим, чтобы не писать длинных рассуждений, что Робин стал действовать решительно и "обработал" сразу всех жителей, кроме самого богатого. Следовательно, после его действий кривая Лоренца состоит из двух участков:
При $x\in [0;1 - \frac{1}{N}]$, $y = \frac{1 - a}{1 -\frac{1}{N}}*x$, при $x\in [1 - \frac{1}{N};1]$, $y = \frac{a}{\frac{1}{N}}*(x - (1 -\frac{1}{N})) + (1 - a)$, где $a$ - доля самого богатого. Понятно, что богатый будет находиться "выше" на кривой Лоренца, так как он был богаче самого богатого из "обработанных" Робином, значит является богаче любого среднего.
Проделаем ещё раз такую операцию с населением. Так как Робин не может охватить всё население Ноттингема, останется один человек, не участвующий в операции. Обозначим долю, которую стали получать почти все жители после первой операции за $b$ ($b = \frac{1 - a}{1 -\frac{1}{N}}}$). Уже было объяснено, что $a > b$. Рассчитаем долю $c$, которую будут получить почти все жители после второй операции:
$c = \frac{a + b*(N - 2)}{N - 1}$. Из $a > b$, можно сказать, что $c > \frac{b + b*(N - 2)}{N - 1}$; $c > b$, то есть теперь доля всех граждан увеличилась. Аналогичной подстановкой можно получить $c < a$, то есть теперь доля большинства жителей меньше доли первоначально богатого.
Теперь кривая Лоренца состоит из двух линейных участков: маленького внизу, соответствующего тому жителя, который не участвовал во второй операции, и длинного линейного участка, все жители которого участвовали во второй операции.
Проведём третью операцию: объединим $(N - 2)$ средних с одним бедным. Получим новую среднюю долю $d = \frac{b + c*(N - 2)}{N - 1}$. Зная, что $c > b$, получим $d > \frac{b + b*(N - 2)}{N - 1}$,$d > b$. Получили ситуацию сходную с положением поле первой операции: снова много средних и один богатый. Только в первом случае доля богатого была $a$, а сейчас - $c$, а мы получили, что $c < a$, следовательно, тот же самый богатый будет располагать теперь меньшим доходом, а доход "средних" увеличится $d > b$. Следовательно, проводя такие операции Робин и правда сможет постоянно сокращаться неравенство. Индекс Джини будет стремиться к нулю.
Но его не достигнет. Для этого воспользуемся графической интерпретацией операций Робина, а именно, поясним как образуются эти линейные участки кривой Лоренца. После первой операции линейный участок "средних" образовался при соединении точек: начала координат и точки соответствующей разделу самого богатого и второго по богатству жителя. После второй операции были соединены точки: (1;1) и точка соответствующая разделу между первым и вторым "старыми" "средними"( с долей $b$). Все новые "средние" будут иметь долю $c$, превышающую $b$, то есть в обществе будет один бедный и много средний. Третья операция проводится по аналогии с первой. Получили, что новые "длинные" участки образуются соединением "крайних" точек ( (0;0) или (1;1) ), с точками, лежащими "на другом конце" кривой Лоренца и отстающими на \frac{1}{N} от противоположной крайней точки.
Условием полнейшего равенства является совпадение кривой Лоренца с прямой $y = x$. Выше был объяснён механизм построения новых кривых, следовательно, воспользуемся методом математической индукции для доказательства невозможности совпадения кривой Лоренца с прямой $y = x$.
1) Кривая Лоренца, получающаяся после первой операции, точно не совпадает с заданной прямой, так как является ломаной и имеет два участка с разными тангенсами.
2) Если предыдущая кривая не совпадала с $y = x$, то следующая кривая будет образовываться из двух участков, меньший из которых принадлежит старой кривой, а более длинный образуется соединением "крайней" точки с точкой $A$, находящейся рядом с противоположной "крайней" точкой, но не совпадающей с ней, а значит, не лежащей на прямой $y = x$. Так как $A$ не принадлежит $y = x$, но принадлежит новой кривой Лоренца, следовательно, хотя бы одна точка новой кривой не лежит на прямой $y = x$, значит и вся новая кривая Лоренца не лежит.
Также можно заметить, что кривая Лоренца всегда будет ломаной, а для совпадения с $y = x$, она должна являться единой прямой. Следовательно, она никогда с ней не совпадёт, и даже мизерное неравенство всегда будет оставаться в Ноттингеме, несмотря на все усилия Робина Гуда.
Если же нет, то я не понимаю, что, собственно говоря, доказывалось.
Пусть $k$ - это доля в доходах, которая должна получиться при полном равенстве($k = \frac{1}{N}$). Предположим, что Робин может найти такое количество $m$ жителей, что сумма их долей в доходах равняется $k*m$, тогда после "операции" все эти люди получат долю $k$. Затем просто возьмём оставшихся жителей и проведём с ними ту же операцию. Каждый житель, участвовавший во второй операции получит долю $\frac{1 - k*m}{N - m}$, а так как $k = \frac{1}{N} \to N = \frac{1}{k}$, получаем долю людей, участвовавших во второй операции: $\frac{1 - k*m}{N - m} = \frac{1 - k*m}{\frac{1}{k} - m} = k$. Следовательно, все участники второй операции получат долю $k$ в доходах, и в обществе наступит равенство всего лишь за две операции. Но это при условии, что Робин такое количество жителей $m$.
Если в нашем обществе есть кто-то с долей дохода $k=\frac{1}{N}$, то Робин может собрать остальных и "обработать" их, тогда доход каждого будет составлять $k$, но это только при определенных условиях.
Вообще, я думаю, что твое вышеизложенное решение верное, т.к. по формулировке вопроса "добьешься не обязательно", "всегда ли" ответом будет : нет, не всегда, вот пример этого "не всегда"
Если же такого жителя нет, то необходимо формировать те самые группы. Если же таких групп нет, то равенство не достигается.
За комплимент спасибо.
Для этого индукцией докажем более сильное утверждение - никто никогда не получит доход вида $\frac{A}{N}; A\in \mathbb{Z}$; $(A;N)=1$.
База - первое действие Гуда. В нем будут участвовать $k$ человек с доходом $1$ и 1 человек с доходом ноль(иначе если участвуют только единичные - ничего не меняется). Тогда доход каждого - $1$ или $\frac{k}{k+1}$, что нельзя представить в виде $\frac{A}{N}, т.к. k+1 < N , N\in \mathbb{P}$.
Шаг - если для $l$-того действия указанное верно, то ни один из знаменателей дробей значения дохода не делится на $N$, но тогда и для $l+1$-го действия , если выбрать $m$ человек, то произведение $m$ на НОК знаменателей дробей значения дохода данных $m$ людей не будет делиться на $N$.
Утверждение задачи доказано.