В трех странах производится однородный товар.
Функции предложения этого товара:в стране А Q=-20+P;в стране B Q=-40+2P;в стране С Q=-60+2P,где Q-количество товара,P-его цена в евро.
Функции спроса на товар:в стране A Q=80-2P,в стране B Q=100-2P,в стране С Q=180-P.
Существуют транспортные издержки по перевозке единицы товара из страны в страну.Независимо от того,из какой страны в какую перевозится товар,эти издержки составляют 10 евро в расчете на единицу товара.
1)Пусть между странами существует свободная торговля данным товаром.Определите равновесные значения цены единицы товара и объема потребления в каждой из стран.Какие страны экспортируют товар,а какие импортируют?Какова величина экспорта всех стран- экспортеров?
2)Пусть в условиях свободной торговли между странами правительство страны C решает установить розничную пошлину,которая уплачивается за каждую единицу ввозимой продукции.Определите,как размер пошлины t влияет на на общий объем полученных в результате торговых сборов T,т.е. опишите зависимость T(t) при различных возможных значениях t.Какую пошлину следует установить для того,чтобы поступления в государственный бюджет,полученные в результате ее введения,были максимальными?

Комментарии

Знаю,что задача легкая,но,т.к. не очень разбираюсь в этой теме, прошу проверить правильность моих ответов.
1)страна A:p=100/3,q=40/3;страна B:p=35,q=30;страна С:p=80,q=100
Cтраны A и B экспортируют товар,страна С-импортирует. EX=66
2)T(t)=66t-3t^2;t=11
1) Заметим, что равновесная цена в $A$ самая маленькая, значит она точно экспортирует, а равновесная цена в $C$ самая большая, значит она точно импортирует. Для страны $B$ запишем функцию чистого экспорта $NX$, которая может быть как положительной так и отрицательной. Ее положительное значение показывает, что страна $B$ экспортирует товар, а отрицательное - что импортирует. Также заметим, что население страны $A$ готово потреблять товар по максимальной цене $40$. Если равновесная цена товара в стране $A$ будет больше $40$ то функция экспорта страны $A$ изменит свой вид и станет равна функции предложения. Аналогично для страны $B$. В стране $C$ самая высокая максимальная цена покупки и не может случиться так, чтобы люди всех стран при равновесной цене будут хотеть потреблять $0$, поэтому случаев для страны $C$ не рассматриваем. Тогда:

$$\begin{flushleft}EX_A(P_A)=\begin{cases}Q_A^s(P_A),\text{ если $P_A \ge 40$;} \\ Q_A^s(P_A)-Q_A^d(P_A),\text{ если $0 \le P_A<40$.}\end{cases} \\ NX_B(P_B)=\begin{cases}Q_B^s(P_B),\text{ если $P_B \ge 50$;} \\ Q_B^s(P_B)-Q_B^d(P_B),\text{ если $0 \le P_B<50$.}\end{cases} \\ IM_C(P_C)=Q_C^d(P_C)-Q_C^s(P_C)\end{flushleft}$$

Перепишем как функции из условия:

$$\begin{flushleft}EX_A(P_A)=\begin{cases}-20+P_A,\text{ если $P_A \ge 40$;}\\-100+3P_A,\text{ если $0 \le P_A<40$.}\end{cases} \\ NX_B(P_B)=\begin{cases}-40+2P_B,\text{ если $P_B \ge 50$;}\\-140+4P_B,\text{ если $0 \le P_B<50$.}\end{cases} \\ IM_C(P_C)=240-3P_C\end{flushleft}$$

I случай. B - импортер:
$EX_A(P_A)+NX_B(P_B)=IM_C(P_C)$; $P_A=P^*$; $P_B=P_C=P^*+10$
Если B - импортер, значит при равновесной цене потребление в стране B не 0 $ \Rightarrow Q_B^d>0 \Rightarrow P_B<50 \Rightarrow P^*

P^*<40 \Rightarrow$ потребление в A не 0 $\Rightarrow Q_A^d>0$
Таким образом:
$$\begin{flushleft}\begin{cases}-100+3P^*-140+4(P^*+10)=240-3(P^*+10)\\P^*<40\end{cases} \\ \begin{cases}P^*=41\\P^*<40\end{cases}\end{flushleft}$$
Значит B - не импортер.

II случай. B - экспортер:
$EX_A(P_A)+NX_B(P_B)=IM_C(P_C)$; $P_A=P_B=P^*$; $P_C=P^*+10$
$$\begin{flushleft}\begin{cases} -20+P^*-40+2P^*=240-3(P^*+10) \\ P^* \ge 50 \end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} -20+P^*-140+4P^*=240-3(P^*+10) \\ 40 \le P^*<50\end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} -100+3P^*-140+4P^*=240-3(P^*+10) \\ 0 \le P^*<40 \end{cases}\end{flushleft}$$

Решим:

$$\begin{flushleft}\begin{cases} P^*=45 \\ P^* \ge 50 \end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} P^*=46.25 \\ 40 \le P^*<50\end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} P^*=45 \\ 0 \le P^*<40 \end{cases}\end{flushleft}$$

То есть, остается только один вариант: $P^*=46.25$. Подставляем во все формулы, получаем
ответ:

A: $P_A=46.25$; $Q_A^d=0$; $EX_A=26.25$; $Q_A^s=26.25$; - экспортер
B: $P_B=46.25$; $Q_B^d=7.5$; $EX_B=45$; $Q_B^s=52.5$; - экспортер
C: $P_C=56.25$; $Q_C^d=123.75$; $IM=71.25$; $Q_C^s=52.5$; - импортер

2) Снова по той же схеме рассмотрим 2 случая, но теперь мировая цена будет зависеть от пошлины, которую введет страна $C$.

I случай. B - импортер:
$EX_A(P_A)+NX_B(P_B)=IM_C(P_C)$; $P_A=P^*$; $P_B=P^*+10$; $P_C=P^*+10+t$
Таким образом:
$$\begin{flushleft}\begin{cases}-100+3P^*-140+4(P^*+10)=240-3(P^*+10+t)\\P^*<40\end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases}-20+P^*-140+4(P^*+10)=240-3(P^*+10+t)\\P^* \ge 40\end{cases}\end{flushleft}$$
$$\begin{flushleft}\begin{cases}P^*=41-0.3t\\t>\frac{10}{3}\end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases}P^*=41.25-\frac{3}{8}t\\t \le \frac{10}{3}\end{cases}\end{flushleft}$$
Первую систему обозначим как $(1)$, вторую - как $(2)$, решим по очереди:
$(1)$:
$$IM_C(t)=240-3(41-0.3t+10+t)=87-2.1t$$ $$T(t)=IM(t)*t=t(87-2.1t)$$ $$T'=87-4.2t=0 \Rightarrow t_{оптимальное}=\frac{87}{4.2}>\frac{10}{3}$$ (вычислен максимум, потому что функция $T(t)$ - парабола с ветвями вниз) $$T_{max}^I=\frac{87}{4.2}(87-2.1*\frac{87}{4.2}=901\frac{1}{14}$$
$(2)$:
$$IM_C(t)=240-3(41.25-0.375t+10+t)=86.25-\frac{15}{8}t$$ $$T(t)=(86.25-\frac{15}{8}t)t$$ $$T'=86.25-3.75t=0 \Rightarrow t_{оптимальное}=23>\frac{10}{3}$$
(вычислен максимум, потому что функция $T(t)$ - парабола с ветвями вниз)
Но этот случай не подходит по ограничениям системы, проверим крайнюю точку:
$$T(\frac{10}{3})=266\frac{2}{3}II случай. B - экспортер:
$EX_A(P_A)+NX_B(P_B)=IM_C(P_C)$; $P_A=P_B=P^*$; $P_C=P^*+10+t$
$$\begin{flushleft}\begin{cases} -20+P^*-40+2P^*=240-3(P^*+10+t) \\ P^* \ge 50 \end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} -20+P^*-140+4P^*=240-3(P^*+10+t) \\ 40 \le P^*<50\end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} -100+3P^*-140+4P^*=240-3(P^*+10+t) \\ 0 \le P^*<40 \end{cases}\end{flushleft}$$

Решим:

$$\begin{flushleft}\begin{cases} P^*=45-0.5t \\ P^* \ge 50 \end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} P^*=46.25-\frac{3}{8}t \\ t \le 16\frac{2}{3}\end{cases} \\ ИЛИ \\ \begin{cases} P^*=45-0.3t \\ t \le \frac{50}{3}\end{cases}\end{flushleft}$$

Первая система не имеет решений при неотрицательных $t$, вторую систему обозначим как $(1)$, третью - как $(2)$, решим по очереди:

$(1)$:
$$IM_C(P^*+10+t)=240-3(46.25-\frac{3}{8} t+10+t)=71.25+\frac{15}{8} t$$ $$T(t)=71.25t-\frac{15}{8}t^2$$ $$T'=71.25-\frac{15}{4} *t=0 \Rightarrow t_{оптимальное}=19 > 16\frac{2}{3}$$ (вычислен максимум, потому что функция $T(t)$ - парабола с ветвями вниз)
Но такое $t$ не подходит из за ограничения, поэтому проверим крайнюю точку:
$$T(16\frac{2}{3})=16\frac{2}{3} (71.25-\frac{15}{8}*16\frac{2}{3})=666\frac{2}{3} \frac{50}{3}$$(вычислен максимум, потому что функция $T(t)$ - парабола с ветвями вниз)
$$T(\frac{75}{4.2})=\frac{75}{4.2}(75-2.1*\frac{75}{4.2})=669\frac{9}{14}>T_{max}^I$$

Значит, этот случай для нас более предпочтительный, чем первый.
Разобраны все варианты, поэтому можно записать
ответ:
$$T(t)=\begin{cases} 75t-2.1t^2, \text{ если $t> \frac{50}{3}$;} \\ 71.25t- \frac{15}{8} t^2, \text{ если $t \le 16 \frac{2}{3}$;} \\ 87t-2.1t^2, \text{ если $t>\frac{10}{3}$.} \\ 86.25t-\frac{15}{8}t^2, \text{ если $t \le \frac{10}{3}$} \end{cases}$$
$$T_{max}=669\frac{9}{14}\text{ при }t=17\frac{6}{7}$$

Никита,можешь пожалуйста пояснить свои ответы(написать краткое решение)?
Я отредактировал предыдущий комментарий и написал там свое решение. Только я не уверен насчет пункта (б): там какая-то странная зависимость, если вы поможете найти ошибку, то я буду благодарен)