В дорожной инспекции небольшого уездного городка Запутанска, находящемся на границе Ничегосложненской и Многосчитательной областей, уже несколько месяцев кипит оживлённая деятельность. Руководство ведомства отдало сотрудникам приказ раздобыть самые детальные сведения относительно происходящего на городских дорогах, чтобы лучше понимать влияние максимально допустимой скорости $v^{max}$ на поведение водителей. Была проведена обширная исследовательская кампания, в ходе которой применялись самые современные способы сбора статистики и методы обработки полученных данных. Теперь в инспекции располагают действительно обширной информационной базой:
Согласно результату исследования, в городе есть три группы водителей. Все группы одинаковы по численности. Каждая группа выезжает на дороги в определённый момент времени (первая группа - в начале периода 1а, вторая - 2а, третья - 3а). Группа, выехавшая на дорогу в предыдущем периоде, продолжает движение и в следующем.
Когда водители первой группы выезжают на дороги, в зависимости от $v^{max}$ они предпочитают соблюдать следующий скоростной режим:
$$v^a_1=\left\{\begin{matrix}120, v^{max}\geqslant 120\\v^{max}, v^{max} \epsilon [90; 120)\\ 90, v^{max}\epsilon [80;90)\\ v^{max}+10, v^{max}\epsilon [50;80)\\60, v^{max}\epsilon [40;50)\\v^{max}+20, v^{max}< 40\end{matrix}}$$
После того, как водители выбрали $v^a_1$, на протяжении периода 1а происходят аварии, число которых в расчёте на одного водителя определяется формулой: $$c_1 = \frac {(v^a_1)^2}{20000}$$
Величина $c_t$ в части а каждого периода так влияет на скорость движения в части b того же периода: $$v^b_t = v^a_t - 40c_t$$
Установившуюся в периоде (t-1)b скорость принимают как данную водители группы, выехавшей в периоде ta. А потом история повторяется: случаются аварии, число которых на каждого водителя, находящегося на дороге, описывается уже предложенной выше формулой $$c_t = \frac {(v^a_t)^2}{20000}$$
Сотрудникам ведомства удалось раздобыть следующие важные сведения: радость водителя от вождения в каждом периоде равна разности между скоростью, с которой он ездит в части b периода, и количеством аварий в расчёте на одного автомобилиста в этом же периоде.
1) Какую $v^{max}$ установит руководство дорожной инспекции, если чиновники максимизируют благосостояние водителей?
2) Допустим, в Запутанске каждый километр превышения скорости над разрешённой карается штрафом в размере 10 д.е., а каждая авария приносит доход в размере 200 д.е. Какая $v^{max}$ будет установлена, если сотрудники инспекции максимизируют собственный доход?
Обратите внимание, что, по местным законам, $v^{max}$ может выражаться только целым числом!
3) Сохранятся ли результаты первых двух пунктов, если группы - разные по численности?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Вообще, на этот мой комментарий уже не стоит отвлекаться, потому что я изменил условие по сравнению с первоначальной версией. А сначала я хотел, чтобы в ходе решения стало понятно, что кое-каких данных не хватает)
2)$v^{max}=40$
3) результаты не сохранятся
Невооружённым глазом видно, что $ v^{max} = 120$ точно не может быть полностью правильным ответом. Догадайся, почему, это нетрудно.
Третий пункт, естественно, правильно)
Название одной из областей "Многосчитательная" очень даже кстати.) Я пытался выводить зависимость общей радости от $v_{1}^{a}$. Там получалась функция восьмой степени с жуткими коэффициентами. В общем гиблое дело.
Поэтому я просто взял несколько контрольных значений $v^{max}$, посчитал для них то, что нам нужно, и сделал вывод, что функция радости от скорости - неубывающая.
Второй пункт тоже верный?
Так что действительно, твой ответ правильный)
А что ты делал во втором пункте?
$$v^a_1-v^{max}=\left\{\begin{matrix}{(-\infty;0],v^{max}\geqslant90}\\(0;10],50\leqslant v^{max}<90\\(10;20],v^{max}<50\end{matrix}}$$
Рассмотрим отдельно каждый промежуток. Наша задача найти на каждом такое $v^a_1$, чтобы $v^a_1-v^{max}$ и $v^a_1$ были максимальные одновременно. Такая возможность есть. На первом промежутке $v^a_1=60$, а $v^{max}=40$; на втором $v^a_1=90$, $v^{max}=80$; на третьем $v^a_1=v^{max}=120$. В лоб считаем для каждого варианта доход сотрудников автоинспекции и выбираем наибольший.
Если нарисовать график $v^a_1(v^{max})$ и наложить на него график $v^a_1=v^{max}$, то наглядно очень хорошо видны три потенциальных максимума.
Кстати, мне сказали, что из условия не было понятно, что группы на дороге не меняются, а добавляются. Поэтому сейчас допишу это в текст задачи.
Да, я считал что они меняются. Похоже во втором пункте это кардинально меняет дело