Как выпрямить экономику: когда технологическая неэффективность сглаживается

В королевстве Эрудель работают две гильдии: Маги и Ремесленники. Обе гильдии производят два вида товаров: целебные Зелья (\(Y\)) и защитные Амулеты (\(X\)).

У Магов магия подвержена экстремальному эффекту масштаба (убывающие альтернативные издержки): чем больше они делают один предмет, тем легче он им дается. Кривая производственных возможностей (КПВ) гильдии Магов вогнута к началу координат и задана уравнением:

$$Y_M = \frac{(100 - X_M)^2}{100}$$

Ремесленники используют ручной труд. Их альтернативные издержки постоянны: чтобы сделать \(1\) Амулет, нужно всегда пожертвовать \(c\) Зельями. Максимальная мощность гильдии Ремесленников составляет \(K\) Амулетов.

1) Ловушка средних. Пусть \(c = 1\), а мощность Ремесленников \(K = 40\) Амулетов. Королю нужно ровно \(40\) Амулетов и максимально возможное количество Зелий. Королевский советник предлагает: «Пусть Маги сделают 20 Амулетов, и Ремесленники сделают 20 Амулетов, так будет по справедливости!». Докажите математически, что советник предлагает неэффективный план. Какой план будет оптимальным и сколько Зелий в итоге получит Король?

2) Поиск изломов. Для параметров из пункта 1 (\(c=1, K=40\)) выведите кусочное уравнение общей КПВ королевства \(Y(X)\). Докажите, что она не является прямой линией, и найдите точку (или точки) \(X\), в которой (которых) кривая «проваливается» внутрь (имеет невыпуклый излом).

3) Секрет прямой линии. Король ненавидит изломы и скачки цен. Он издает жесткий указ: «Общая граница производственных возможностей моего королевства должна быть ИДЕАЛЬНО ПРЯМОЙ линией на всем её протяжении!».
а) Каким должен быть курс обмена \(c\) у Ремесленников, чтобы это стало возможным?
б) Каким должен быть минимальный размер гильдии Ремесленников (мощность \(K\)), чтобы исполнить указ Короля?

4) Философия специализации. Если условия из пункта 3 выполнены, и Королю требуется произвести ровно \(50\) Амулетов, как именно распределится производство между гильдиями? Какую невидимую экономическую роль в данном случае играют Ремесленники для Магов?