Интерактивная лекция 20.12.2011: КПВ

Краткий конспект лекции

Отправная точка — задача про КПВ с окружной олимпиады:
КПВ: плееры и ресиверы
Сначала предположим, что мы уже умеем строить суммарную КПВ, складывая две линейных КПВ (примем как данность, что страны включаются в производство данного товара в порядке возрастания альтернативных издержек его производства), и решим задачу.

Затем разберёмся, почему суммарная КПВ строится именно так.

Определения
Область производственных возможностей, ОПВ (другое название — множество производственных возможностей) — множество всех доступных наборов $(x,y)$, где x — количество ресиверов, y — количество плееров.
Парето-улучшение — переход от одного набора к другому, такой что в новом наборе количество всех товаров не меньше, а хотя бы одного — больше.
Некоторый допустимый (то есть принадлежащий ОПВ) набор назывыается Парето-эффективным (Парето-неулучшаемым), если не существует другого допустимого набора, который был бы Парето-улучшением для данного.
Кривая производственных возможностей, КПВ (другое название, Парето-граница) — это множество всех Парето-эффективных наборов.
Пример: ОПВ страны Альфа — закрашенный треугольник с вершинами $(0,0),(x_{A} ,0),(0,y_{A} )$; КПВ страны Альфа — гипотенуза этого треугольника.

Как строить суммарную КПВ?
Сначала чисто геометрический способ.
Общий объём производства любого товара — это сумма объёмов производства этого товара в обеих странах. Поэтому любая точка итоговой ОПВ — это сумма двух соответствующих точек индивидуальных ОПВ (рассматриваем точку индивидуальной ОПВ как вектор из начала координат; координаты этого вектора — приросты производства первого и второго блага при переходе из начала вектора в конец). Таким образом, итоговая ОПВ — это векторная сумма ОПВ отдельных стран, то есть множество всевозможных сумм векторов $x+y$, где вектор $x$ принадлежит ОПВ первой страны, а вектор $y$ — ОПВ второй страны. Нас интересует итоговая КПВ, то есть Парето-граница итоговой ОПВ. Поэтому сразу договоримся, что мы будем рассматривать только случаи, когда каждая страна производит на своей КПВ, а не под ней (иначе возможно очевидное Парето-улучшение). То есть рисуем векторную сумму КПВ (именно КПВ, а не ОПВ) двух стран. Получается параллелограмм. Его Парето-граница и всё, что ниже и левее — итоговая ОПВ.

Теперь начинается экономическая интерпретация. Возьмём любую точку внутри параллелограмма (то есть не на границе). Видно, что мы можем перейти в точку правее и выше. Но как это происходит в терминах отдельных стран? (Т.е. как нужно изменить производство в отдельных странах, чтобы точка суммарного производства сдвинулась вправо-вверх?) Если мы будем перемещаться по КПВ пологой страны, зафиксировав точку на КПВ крутой страны, то какое движение точки суммарной ОПВ этому соответствует? Ответ: этому соответствует движение параллельно пологой КПВ (зафиксировав точку на крутой КПВ, мы как бы зафиксировали начало координат, от которого мы откладываем пологую КПВ.) Итак, мы можем сдвинуться параллельно пологой КПВ — это будет соответствовать движению вдоль КПВ у пологой страны; аналогично, мы можем сдвинуться параллельно крутой КПВ — это будет соответствовать движению вдоль КПВ у крутой страны. Видно, что Парето-улучшение можно получить как комбинацию двух таких движений: сначала сдвигаемся вправо-вниз с пологим наклоном, потом «возвращаемся» влево-вверх с крутым наклоном, и в результате получаем выигрыш за счёт разницы в наклонах. Алгебраическая интерпретация: $-\frac{\Delta y}{\Delta x} $ вдоль пологой КПВ меньше, чем вдоль крутой. Заметим, что дать выигрыш могут только перемещения в определённую сторону для каждой из стран: в пологой стране нужно двигаться вправо-вниз, а в крутой стране — влево-вверх. Наклон — это альтернативные издержки производства икса. Нужно увеличивать производство икса там, где альтернативные издержки производства икса меньше.
В нашем случае, когда наклоны индивидуальных КПВ не совпадают, верно следующее. Если каждая страна производит на своей КПВ, то сделать Парето-улучшение можно тогда и только тогда, когда можно хоть немного сдвинуться вправо по пологой КПВ и хоть немного сдвинуться влево по крутой. Перепишем это утверждение в эквивалентной форме: если каждая страна производит на своей КПВ, то итоговая точка лежит на итоговой КПВ тогда и только тогда, когда верно хотя бы одно из утверждений: «нельзя сдвинуться по пологой КПВ вправо» или «нельзя сдвинуться по крутой КПВ влево». Рассматривая эти два случая, получаем всю итоговую КПВ.

Другие примеры на закрепления материала (на построение суммарной КПВ) — складываем линейную КПВ и нелинейную: сначала вогнутую (например, $y=10-x^{2} $), затем выпуклую (например, $y=10-\sqrt{x} $). (Попутно обсуждаем, из-за чего может получиться выпуклая КПВ).