Задача

В олимпиадах

Конкурс РЭШ — 2018

Баллы

30

Сложность

10
Средняя: 10 (2 оценок)
07.03.2018, 14:01 (Анастасия Таратутенко)
07.03.2018, 14:01


(0)
В средневековом городе платья производит гильдия, состоящая из 10 уважаемых семейств потомственных портных. Если гильдия назначает цену платья $p$, то горожане купят у нее $100-p$ платьев (при $p > 100$ они не купят ничего). Правила гильдии портных просты: несколько вариантов цены выставляются на голосование среди глав всех семейств, после чего назначается та цена, которая набрала простое большинство голосов (если несколько вариантов цены набрали одинаковое и максимальное число голосов, выбирается тот, где цена наибольшая). Когда цена назначена, каждая семья обязана произвести ровно десятую часть спроса при данной цене. Вся указанная информация о спросе, правилах определения цены и издержках общеизвестна, каждая семья действуют рационально и максимизирует только собственную выгоду, равную ее доходу от продажи платьев минус издержки, равные $i\cdot q_i$ для $i$-й семьи ($i= 1, 2, \dots, N$).

а)(3 балла) Пусть на голосование выносятся ровно две альтернативы: $p_1$ и $p_2$. Верно ли, что каждая из семей всегда проголосует за ту цену, которая выгоднее для нее? Если верно, докажите, если нет, приведите контрпример.
б)(12 баллов) Пусть теперь на голосование предлагаются три, а не две альтернативы. Верно ли, что каждая из семей всегда выберет ту, которая выгоднее для нее?
в)(4 балла) Представьте себя на месте главы $i$-го семейства. Как старейшему члену гильдии, Вам предложили выбрать две альтернативы для голосования. Альтернативы должны отличаться друг от друга не меньше чем на 1. Какие альтернативы вы предложите, максимизируя собственную прибыль (ответ может зависеть от $i$)? Считайте, что если главе некоторого семейства безразлично, что выбирать, он проголосует за большую цену, чтобы меньше работать.
г)(11 баллов) Ваша единоличная власть надоела главе $j$-го семейства, и он потребовал, чтобы начиная со следующего года одну из двух альтернатив выдвигал на голосование он (после того, как вы объявите свою цену). Какую заявку подадите вы? Какую цену выдвинет на голосование глава семейства $j$ (в зависимости от параметров $i$ и $j$)?

Комментарии

Учитывается ли в пункте г) предпосылка о том, что расстояние между альтернативами минимум 1?