Обмены валют

Отметим, что в условии задачи не сказано явно, требуется ли получить не менее 200\$, или ровно 200\$. Ответ положительный для обеих трактовок условия. Хотя понятно, что решение для случая "ровно 200\$" решает так же и второй случай, мы приведем разные решения для обоих случаев.

а) Нужно получить не менее 200\$. Рассмотрим цикл $K$ --> $\epsilon$ --> $Б$ --> $K$. Если обменивать деньги по такому циклу, то количество денег увеличивается. Действительно, если изначально было $x$ кокосов, то они обмениваются на $\frac{x}{11}$ енотов, которые в свою очередь обмениваются на $\frac{6x}{11}$ бананов, которые обмениваются на $\frac{12x}{11}$ кокосов. Таким образом, из $x$ кокосов получается $\frac{12x}{11}$ кокосов.

Стратегия дяди Васи такова: вначале обменять 100 долларов на 1000 кокосов. Затем обменивать их по указанному выше циклу, пока не получится более 3000 кокосов. Для этого цикл придется пройти $n$ раз, где $n$ таково, что $(\frac{12}{11})^n$>3. Поскольку $\frac{12}{11}>1$, это неравенство равносильно неравенству $n>\log_{\frac{12}{11}}{3}$. Очевидно, натуральное $n$, удовлетворяющее этим условиям, существует. Получившиеся в результате кокосы следует обменять на доллары, которых получится не менее $\frac{3000}{15}=200$.

б) Нужно получить ровно 200\$. Рассмотрим тот же цикл, что в пункте а), но будем каждый раз запускать по обменному циклу ровно 11 кокосов, т. е. прибыльный 12-й кокос будем каждый раз откладывать. Тогда, сделав $n$ циклов, мы можем заработать ровно $n$ кокосов. Теперь стратегия, например, такова: обмениваем 100\$ на 1000 кокосов, берем 11 из этой 1000 и производим $n$ раз цикл, в результате чего получаем $1000+n$ кокосов. Если $n=2000$, то в результате получим 3000 кокосов, которые обменяем обратно на 200\$