Юра Сладкоежкин пришёл в книжный магазин, чтобы купить задачник Акимова и решебник к нему. Взяв обе книги с полки и подойдя к кассе, он увидел объявление: "Совершив покупку, вы получаете купон в размере $\alpha\%$ от её стоимости, который вы можете использовать для оплаты следующей покупки". Внизу мелким шрифтом было добавлено, что купоном можно оплатить не более $\beta\%$ стоимости второй покупки.
Какую из двух книг выгоднее оформить в качестве первой покупки? Ответ может зависеть от $\alpha$, $\beta$, цены задачника и цены решебника.
Какую из двух книг выгоднее оформить в качестве первой покупки? Ответ может зависеть от $\alpha$, $\beta$, цены задачника и цены решебника.
Примечание: на окружной олимпиаде предлагалось ответить на этот вопрос при $\alpha=50$, $\beta=25$ и решебнике в полтора раза дороже задачника.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Для частного случая задача простая, например, как тут: надо первым делом купить ту книгу, которая дороже.
А вот в общем виде, мне кажется, решение будет гораздо длиннее из-за множества неравенств. Первые идеи, которые пришли в голову: если скидка a% от любой из книг больше чем b% от оставшейся, то первым делом надо покупать более дешёвую книгу. (Как в этом варианте). А вот если меньше, то пока не уверен в дальнейшем выборе, сейчас дорешаю. Что - то уже крутится почти готовое. =)
если а больше б -покупаем сначала дорогую
По-хорошему говоря, вы же сами придумали себе данное. А вдруг с другими числами получится другой вывод? Сравните ваши рассуждения вот с такими:
Заметим, однако, что при $a=10$, $b=15$ сумма нечетная.
Понятно, что мы выберем ту книжку покупать первой, на которой больше сэкономим.
Обозначим за $L_1$ выигрыш (экономию), если первая покупка - задачник с ценой $P_1$, и за $L_2$ выигрыш, если первая покупка - решебник с ценой $P_2$.
Из условия следует, что $L_1 = \begin{cases}
\alpha *P_1,\text{если $\alpha *P_1 < \beta * P_2$} \\
\beta * P_2,\text{если $\alpha *P_1 > \beta * P_2$}
\end{cases}$, а
$L_2 = \begin{cases}
\alpha *P_2,\text{если $\alpha *P_2 < \beta * P_1$} \\
\beta * P_1,\text{если $\alpha *P_2> \beta * P_1$}
\end{cases}$.
Выбор книги будет зависеть от знака $\Delta P = P_1 - P_2$ и $\Delta k = \alpha - \beta$, соответственно, нужно рассмотреть 4 случая. Здесь оформлю только 1, остальные на картинке.
I случай. $P_1 - P_2 > 0$ и $\alpha - \beta > 0$
Однозначно, $L_1 = \beta P_2$, так как $\alpha P_1 > \beta P_2$. Рассмотрим разность $L_1 - L_2$. Если $L_2 = \alpha P_2$, то $L_1 - L_2 = (\beta -\alpha)P_2 <0$, а если $L_2 = \beta P_1$, то $L_1 - L_2 = \beta (P_2 -P_1)<0$. Следовательно, при данных $\Delta P, \Delta k$ всегда выбираем покупать сначала решебник ($P_2$).
Остальные случаи рассматриваются аналогично, также можно заметить, что если знаки дельт одинаковые, то покупаем сначала решебник, а если - разные, то сначала задачник.