Придумайте экономический способ вычисления суммы $\overset{\infty }{\underset{t=0}{\sum }}\beta ^{t}t$ $\left( 0<\beta<1\right)$.
Указание: рассмотрите выражение $\frac{r}{1+r}\overset{\infty }{\underset{t=0}{\sum }}\left( \frac{1}{1+r}\right) ^{t}t$.
Указание: рассмотрите выражение $\frac{r}{1+r}\overset{\infty }{\underset{t=0}{\sum }}\left( \frac{1}{1+r}\right) ^{t}t$.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Я просто заменил букву $\beta$ на букву $x$.
Запишем этот ряд как бесконечную сумму: $$S=1x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+\ldots$$
Поскольку члены ряда являются положительными слагаемыми, то не будет большого греха в том, что мы слегка поменяем их местами (на этот счет в математическом анализе есть особая теорема). $$S=(x+x^2+x^3+\ldots)+(x^2+x^3+x^4+\ldots)+(x^3+x^4+x^5+\ldots)+\ldots$$
Но тогда в каждой скобке мы получим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь $1>x>0$ по условию. $$S=\frac{x}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\ldots$$
Приведем к общему знаменателю: $$S=\frac{x+x^2+x^3+x^4+\ldots}{1-x}$$
Но тогда в числителе мы опять получим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии! $$S=\frac{\frac{x}{1-x}}{1-x}$$
И тогда наш ответ:
$$S=\sum_{t=0}^\infty t\cdot x^t=\frac{x}{(1-x)^2}$$
А у тебя способ в корне другой? Поделишься?
Рассмотрим ряд $$s(x)=\sum_{t=0}^\infty t\cdot x^{t-1}$$
Интеграл степенного ряда равен ряду из интегралов: $$\int s(x)dx=\int \sum_{t=0}^\infty t\cdot x^{t-1}dx=\sum_{t=0}^\infty \int t\cdot x^{t-1}dx=\sum_{t=0}^\infty x^{t}=\frac{1}{1-x}$$
поскольку последний ряд является суммой геометрической прогрессии.
Но тогда: $$[\int s(x)dx]'=s(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$$
И, в таком случае, $$S(x)=\frac{x}{(1-x)^2}$$
Решение, мягко говоря, менее очевидное. Да и матан тут посерьезнее кроется. Я вот до конца не помню, какие функциональные ряды можно интегрировать почленно, а какие нет. Там равномерные сходимости требуются какие-то, все дела. Надо будет освежить :)
Имелось в виду такое решение. Множитель перед суммой в указании вычисляет аннуитет или перманентный доход. Сам же поток доходов, который дисконтируется в формуле, эквивалентен тому, что чувак в каждом периоде получает одну консоль, по которой вечно выплачивается одна денежная единица в каждом периоде. Это ключевое наблюдение. Для убедительности можно табличку нарисовать или расписать, как это сделано у Дмитрия Сорокина выше. Но если доход в каждом периоде один и тот же (одна консоль), то перманентный доход равен этой же величине (можно также сказать, что столько надо проедать в каждом периоде, сглаживая потребление). Стоимость одной консоли, в свою очередь, равна здесь 1/r (через сумму геометрической прогрессии). В истории с потребителем, таким образом, получая в каждом периоде одну консоль, ее же нужно и тратить, то есть всё выражение равно 1/r.
хотя.. может создать какой-нибудь раздел для студентов? как на это смотрит администрация?