Сумма эластичностей

$п'_L=P*Q'_L-w=0$

$п'_K=P*Q'_K-r=0$

Отсюда получаем:

$Q'_L=w/P$ и $Q'_K=r/P$

Домножим обе части первого уравнения на $L/Q$, а обе части второго на $K/Q$. Получаем:

$Q'_L*L/Q=wL/PQ$ и $Q'_K*K/Q=rK/PQ$

В левых частях уравнений мы получили ни что иное, как эластичности выпуска по труду и капиталу соответственно, т.е.:

$E_Q^L=wL/PQ$ и $E_Q^K=rK/PQ$

Сложим эти два уравнения:

$E_Q^L+E_Q^K=(wL+rK)/PQ=TC/TR=1$, так как в долгосрочном периоде конкурентная фирма получает нулевую прибыль.

2) Решаем аналогично, только теперь цена на продукцию фирмы является функцией от ее выпуска.
Прибыль фирмы: $п=PQ-wL-rK ->max$

$п'_L=P'_Q*Q'_L*Q+P*Q'_L-w=0$

$п'_K=P'_Q*Q'_K*Q+P*Q'_K-r=0$

$Q'_L=w/(P'_Q*Q+P)$

$Q'_K=r/(P'_Q*Q+P)$

Преобразуем правые части выражений:

$Q'_L=w/(P'_Q*Q*P/P+P)=w/(E_P^Q*P+P)=w/(P*(1+1/E_Q^P))$

$Q'_K=r/(P'_Q*Q*P/P+P)=r/(E_P^Q*P+P)=r/(P*(1+1/E_Q^P))$

Как и в первом пункте задачи, домножим обе части первого уравнения на $L/Q$, а обе части второго на $K/Q$. Получаем:

$Q'_L*L/Q=wL/(P*Q*(1+1/E_Q^P))$

$Q'_K*K/Q=rK/(P*Q*(1+1/E_Q^P))$

Складываем эти уравнения, заменив левые части на соответствующие эластичности:

$E_Q^L+E_Q^K=(wL+rK)/(P*Q*(1+1/E_Q^P))=TC/(TR*(1+1/E_Q^P))$

Рентабельность равна 33,(3)%, т.е. $п/TC=1/3$, $(TC+п)/TC=TR/TC=4/3$, откуда $TC/TR=3/4$
Эластичность спроса по цене равна -2, поэтому $1+1/E_Q^P=1-1/2=1/2$
Таким образом, $E_Q^L+E_Q^K=0,75/0,5=1,5$