Однажды инспектор Хухры-Мухры решил проведать совершенно конкурентную фирму «Телескоп», занимающуюся производством параболических зеркал для телескопов, главным менеджером которой уже давно является старуха Шапокляк.
Инспектор вошёл в кабинет.
- Предъявите, пожалуйста, информацию об издержках, цене, прибыли и количестве производимой продукции, - попросил инспектор.
- Вот всё, что мне известно, – сказала старуха и протянула ему график, приведённый ниже. На его обратной стороне было написано следующее: $Q^{2}-p^{2}=2Vc(Fc-p)-Fc^{2}$ . – Мы заметили, что это тождество выполняется независимо от произведённого объёма начиная с некоторого $Q_{0}$. Однажды мы попробовали произвести объём меньше $Q_{0}$, но выручка не покрыла даже переменные издержки. С тех пор мы всегда производим больше $Q_{0}$.
Помогите инспектору построить с помощью циркуля и односторонней линейки без делений оптимальный объём выпуска (а также величину прибыли). Оцените величину $Q_{0}$.
Инспектор вошёл в кабинет.
- Предъявите, пожалуйста, информацию об издержках, цене, прибыли и количестве производимой продукции, - попросил инспектор.
- Вот всё, что мне известно, – сказала старуха и протянула ему график, приведённый ниже. На его обратной стороне было написано следующее: $Q^{2}-p^{2}=2Vc(Fc-p)-Fc^{2}$ . – Мы заметили, что это тождество выполняется независимо от произведённого объёма начиная с некоторого $Q_{0}$. Однажды мы попробовали произвести объём меньше $Q_{0}$, но выручка не покрыла даже переменные издержки. С тех пор мы всегда производим больше $Q_{0}$.
Помогите инспектору построить с помощью циркуля и односторонней линейки без делений оптимальный объём выпуска (а также величину прибыли). Оцените величину $Q_{0}$.
Файлы:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 grafik.PNG | 28 КБ |
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
2. "Предположение, что после $ Q_0 $ $ VC(Q) $ становится линейным" - предположение неверно.
3.Что циркуля нет под рукой - это ничего, начертить довольно точно можно и от руки, дело совсем не в этом. Важно описать последовательность операций (желательно не пропуская деталей), которые позволят выполнить нужное построение.
Идеальная линейка позволяет:
1)провести прямую через любые две точки;
2)найти точки пересечения прямой с любым доселе заданным объектом на плоскости.
Идеальный циркуль позволяет:
1)провести окружность с центром в любой точке и радиусом, равным длине любого наперёд заданного отрезка;
2)найти точки пересечения окружности с любым объектом на плоскости.
В частности, это позволяет выполнять следующие элементарные операции:
1)провести перпендикуляр к прямой;
2)провести прямую, параллельную заданной, через любую точку плоскости;
3)поделить отрезок пополам;
4) построить треугольник:
а)по трём сторонам;
б)по двум сторонам и углу;
5)построить прямоугольный треугольник:
а)по двум катетам;
б)по гипотенузе и катету;
в)по стороне и углу.
3.В силу вышесказанного построение касательной к произвольной кривой не представляется возможным, как же тогда определить оптимум?
4.Да, выручка, а не прибыль, спасибо, я исправил неточность.
5."В итоге надо будет прикинуть, где угловой коэфф. этой прямой (или касат-ной, если не прямая) будет равен $ p $ на рисунке (измерить линейкой и циркулем при наличии оных)". Как это сделать строго геометрически циркулем и линейкой без делений (используя вышеназванные операции)?
А $Q_0$ прикидываем, сравнивая циркулем расстояние от точки на VC до фокуса (той фиксированной точки $(0;FC)$) с расстоянием от точки N до директрисы (прямой $VC=P$). Постепенно приближаемся справа к нулю, и в какой-то момент замечаем, что равенство расстояний выполняться перестало. Где заметили, там и $Q_0$.
Стоит попробовать нарисовать всё это дело по-человечески, а не заниматься какими-то умозрительными спекуляциями, как я:)
То есть в данном случае (0;FC)-фокус, P- директриса. Но если так (VC-парабола), то куда делся тот отрезок прямой vc который не попал под равенство расстояний?
Или же в какой-то момент там где перестало выполняться равенство, где парабола VC превращается в другой график, мы и обнаружим точку $Q_0$ (как вы сказали), при которой цена изменится, чего быть не должно. Я правильно понял?
Именно так, второй кусок VC - парабола $(Q>Q_0)$, первый кусок - что-то другое, но условие "С тех пор мы всегда производим больше $Q_0$" позволяет загарантироваться от попадания на этот участок уже первой точкой пересечения TR c VC (и уж точно второй). Поэтому мы и можем найти оптимум через середины. Всё верно. (Остаётся надеяться, что я сама правильно всё поняла и не ошибаюсь сейчас в чём-нибудь.)
p. s. Задачка, может быть, и не имеет глубокого экономического смысла, но мне было интересно как-нибудь применить определение параболы к экономике.
Задача просто прекрасная, в первую очередь в плане развития гибкости мышления. А это как раз то что нужно. Правда, мне кажется, что круг школ, в которых даётся такое определение параболы (в каком бы то ни было классе), относительно ограничен.
Тимур, рада помочь!