Доход студентов

а) Утверждение, что житель с медианным доходом находится при $x=\frac{1}{2}$, потому что жители расположены в порядке возрастания доли дохода по оси Ох.
$y=x^2$, тогда медианный доход ЭШВ: $y'_x(0,5) * \frac{I_1}{N_1}= \frac{I_1}{N_1}$
$ I_1=I_2=\frac{I}{2}$ , где $I_1, I_2 , I$ -- совокупные доходы ЭШВ, ШЭР и объединенной страны соответсвенно.
$N_1=N_2=\frac{N}{2}$ , где $N_1, N_2, N$ -- населения ЭШВ, ШЭР и объединенной страны соответсвенно.
1) $y=ax^2$, так как $y_1=0,5x$; $x_1=0,5x$ => $2y_1=y$; $2x_1=x$ => $2y_1=(2x_1)^2$ => $y_1=2x_1^2$
Доля дохода беднейшей группы в стране ЭШВ был 0,25, из-за увеличения общего дохода в 2 раза она становится 0,125. Аналогично, для доли населения.
$\frac{1}{8}= a*(0,25)^2$
$a=2$

2) Строим по двум точкам участок страны ШЭР, который паралелен линии абсолютного равенства. $y= -\frac{1}{8}+x$

3) Аналогино, для 3 участка. $y= ax^2+ bx+c$
y'=2a+b
y(1)=1, y(0,75)=0,625
a+b+c=1
$a*\frac{9}{16} +b*\frac{3}{4}+1-a-b=\frac{5}{8}$
$y'(0,75)=y'(1)=2ax+b=\frac{6}{4}a+b=1$

\begin{cases}
a+b+c=1 \\
a*\frac{9}{16} +b*\frac{3}{4}+1-a-b=\frac{5}{8}\\
\frac{6}{4}a+b=1\\
\end{cases}

a=2, b=-2, c=1
Итоговая запись кривой Лоренца:
\begin{equation*}
\begin{cases}
2x^2, x \in [0; 0,25] \\
-\frac{1}{8}+x, x \in [0,25; 0,75]\\
\ 2x^2-2x+1, x \in [0,75; 1]
\end{cases}
\end{equation*}

б) $G_1=\frac{1}{3}$ (для ЭШВ)
$G_2 = 0$ (для ШЭР)
$G_3$ -- коэффициент Джини для объединенной страны.
$S = S_1+S_2+S_3$, где $S_1; S_2; S_3 $ -- три площади под графиком объединенной страны. \\
$S = \frac{1}{96} + \frac{19}{96}+ \frac{3}{16}= \frac{19}{48}$
$G_3 = 1-2S= 1- \frac{2*19}{48} = \frac{5}{24}$
$|G_3-G_1|=\frac{1}{8}$
$|G_3-G_2|=\frac{5}{24}$
Ответ: для G_1 дельта 1/8; для G_2 дельта 5/24.