Задача

Сложность

0
Голосов еще нет

Автор

04.10.2021, 14:43 (Егор Стоян)
04.10.2021, 19:31


(0)
Экономист Лидия ответственна за реализацию гос. заказов, связанных с выкачкой нефти. Её задача - добыть необходимое количество нефти при минимальных затратах. Игра устроена следующим образом: 1. государство решает, сколько $\hat{Q}$ нефти требуется. 2. Лидия решает, сколько скважин сверлить и сколько $q$ нефти добывать на каждой из них. Скажем, что полезность Лидии равна $(-\infty)$, если добыто суммарно меньше, чем $\hat{Q}$ и $-TC$, если добыто хотя бы $\hat{Q}$. Известно, что для открытия первой скважины, квази-постоянные издержки (это такие $FC$, которые $=0$, если $q=0$ и $\not=0$, если $q\not=0$. Интуитивно, можно думать как про издержки на открытие чего-либо: если хочется производить $0$, открывать не нужно и $FC=0$, а иначе нужно открывать и $FC\not=0$) составят $0$. Следующее место под скважину искать сложнее, и поэтому квази-постоянные издержки составят $1$ на открытие второй скважины. Искать место для третей скважины еще сложнее, поэтому квази-постоянные издержки составят $2$, потом $3$, затем $4$, и т.д. Кроме этого, каждое последующее место хуже предыдущего, а поэтому VC на каждой следующей скважине выше. Так,
на первой скважине, для добычи X единиц нефти, $VC_1(X) = X^2$,
на второй скважине, $VC_2(X) = 2\cdot X^2$,
на третей скважине, $VC_3(X) = 4\cdot X^2$,
...
на скважине номер $i$, $VC_i(X) = 2^{(i-1)}\cdot X^2$.
Скважин можно открывать любое число. Максимального $i$ не существует.

А. Лидия посчитала, что для данного $\hat{Q}$, оптимально открывать $K$ скважин. Сколько единиц нефти Лидия будет добывать на каждой из скважин? А чему будут равны суммарные издержки на добычу $\hat{Q}$?

Б. Найдите все значения $\hat{Q}$, при которых Лидии рационально открывать ровно две шахты.

В. Заметим, что каждую новую скважину все дороже и дороже открывать, а качество места все хуже и хуже. Найдите минимальное $\hat{Q}*$, такое что $\forall \hat{Q} \geq \hat{Q}* $, оптимальное число скважин $K$ постоянно, то есть не меняется с ростом $\hat{Q}$, или докажите, что такого $\hat{Q}*$ не существует.