У Мегамозга есть квадратный участок земли со стороной 1 км. Он случайно узнал, что подлые оккупанты тайно проложили телефонный кабель под его участком и используют его для своих грязных оккупантских целей. Кабель прямой и лежит на небольшой глубине (за пределами участка Мегамозга кабель идёт на той же самой глубине и по той же самой прямой на много километров в обе стороны). Узнав об этой подлости, Мегамозг схватил лопату и... задумался. Какой минимальной длины (и какой формы) нужно прокопать траншею, чтобы наверняка найти кабель? Траншея не обязательно должна состоять из связных кусков, она может быть разрывная
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Но математика тоже сойдёт)
Придай вид траншее, а я как настоящий оккупант проведу кабель)))
Если кабель проходит как хочет и он является прямой, то
1)он может совпадать со сторонами (быть к ним предельно близко) => необходимо контролировать траншеей либо все углы, либо все стороны. контролировать все стороны - это уже ответ, но длина такой траншеи 4. Если подумать, то можно понять, что достаточно и 3-ех сторон для этого. Но это достаточно прямолинейно.
2) Кабель может пересекать 2 любые стороны.
если подумать, то ясно, что, контролировать углы и не давать возможности 2 точкам на разных сторонах пересекаться, возможзно при проведении двух диагоналей. Это очень логично и возразить трудно, но это не доказательство, что такой вариант самый короткий.
Теперь по поводу доказательства:
1) траншея должна быть неразрывной , потому что иначе кабель может быть проведён через то место где разрыв или чтобы не допустить разрыва необходимо что конец одного участка траншеи был над или под началом другого но тогда мы будем "приобретать" в длине.
2) необходимо провести такую прямую в квадрате, при которой если любая другая прямая входит в одну из сторон, а выходит из дргой , то проведённая прямая должны пересекать прямую в квадрате.
3) Такой прямой будет диагональ ( проводя другие прямые или можно вписать окружности , даже квадрат вписать можно , длиные всех этих фигур будут больше длины диагонали).
P.S У меня нет других идей как это доказать, может даже то, что я написал выше не совсем доказательство)
У меня была идейка доказать от "противного", предположить , что такая прямая которая\ короче диагонали существует, но дальше этих слов я не продвигаюсь)))
Я так и не понял,кабель пересекает противоположные стороны? или она может пересекать также как я показал выше на рисунке( А то я решаю для первого случая)))
Если для второго, то у меня есть идейка с сторонами, если выкопать траншею ввиде двух сторон квадрата, которые перпендикулярны и половины диагонали то получится меньше чем 2*21/2 . Если я не ошибся то получится 2+21/2/2 . Волнистой линией показана траншея, опять же доказать это не я сно как))
надеюсь вы поймете, а то я не понимаю