Фирма "Неравенство и братство" производит три товара: a, b и c. Функция рыночного спроса на каждый из товаров равна: $$\\Q_d(P)=30-P$$ Фирма является монополистом на каждом из трех рынков. Функция издержек при производстве i-го товара имеет следующий причудливый вид:
\[TC_i(Q)= \begin{cases} 0; & Q_i=0\\ 10Q_i - \sqrt[3]{Q_aQ_bQ_c}; & Q_i \in [1;30] \end{cases}\]
Производить количества товара, отличные от указанных в формуле издержек, фирма не может.
Найдите оптимальные $Q_a,Q_b,Q_c$ для фирмы и максимальную прибыль.
\[TC_i(Q)= \begin{cases} 0; & Q_i=0\\ 10Q_i - \sqrt[3]{Q_aQ_bQ_c}; & Q_i \in [1;30] \end{cases}\]
Производить количества товара, отличные от указанных в формуле издержек, фирма не может.
Найдите оптимальные $Q_a,Q_b,Q_c$ для фирмы и максимальную прибыль.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
$\begin{cases}MR_a(Q_a)=MC_a(Q_a) \\ MR_b(Q_b)=MC_b(Q_b) \\ MR_c(Qс)= MC_c(Q_c)\end{cases}$
следует ли отсюда, что мы нашли максимум, а не минимум или локальный максиум? Просто дело в том, что $Qa , Qb, Qc$ зависят друг от друга поэтому возможно выгодно произвести на одном заводе побольше, тогда на другом предельные издержки поменяют вид и прибыль будет больше.
Локальный максимум тоже является максимумом. Понятно, что вы хотели сказать (мы нашли локальный максимум, но не глобальный), но всё же с терминами надо поаккуратнее.
Честно говоря, хочется увидеть решение, использующее не рассуждение, а чисто математическую выкладку.
Хочется выйти на какую-нибудь фишку с неравенствами, но пока такой не вижу.
Я хоть в том направлении пошел?
$30Q_a + 30Q_b + 30Q_c - 10(Q_a + Q_b + Q_c) - Q^2_a - Q^2_b - Q^2_c - 3\sqrt[3]{Q_aQ_bQ_c} =$
$= 20(Q_a + Q_b + Q_c) - (Q^2_a + Q^2_b + Q^2_c) + 3\sqrt[3]{Q_aQ_bQ_c} $
Пусть $\pi = 330.75$. Тогда
$20(Q_a + Q_b + Q_c) - (Q^2_a + Q^2_b + Q^2_c) + 3\sqrt[3]{Q_aQ_bQ_c} \geq 330.75$ И если эта прибыль немаксимальна, то можно подобрать $Q_a, Q_b, Q_c$ при которых выражение слева больше чем, то которое справа.
Тогда в силу верхнего неравенства:
$ Q_a +Q_b + Q_c \geq 3\sqrt[3]{Q_aQ_bQ_c} \geq 330.75 - 20(Q_a + Q_b + Q_c) + (Q^2_a + Q^2_b + Q^2_c)$
Выделим полный квадрат получится, что $0 \geq (10.5-Q_a)^2 + (10.5-Q_b)^2 + (10.5 -Q_c)^2$
Это выполняется только при $Q_a = Q_b = Q_c=10.5$. Супер. Спасибо за интересную задачу!
$20(Q_a + Q_b + Q_c) - (Q^2_a + Q^2_b + Q^2_c) + Q_a + Q_b + Q_c \geq 330.75$ значит для этой функции это максимум. Тогда т.к. $\ 20(Q_a + Q_b + Q_c) - (Q^2_a + Q^2_b + Q^2_c) + Q_a + Q_b + Q_c \ \geq 20(Q_a + Q_b + Q_c) - (Q^2_a + Q^2_b + Q^2_c) + 3\sqrt[3]{Q_aQ_bQ_c} $
, то прибыль исходного выражения не больше $330.75$. Но для $Q_i = 10.5$ она равна $330.75$, а значит это максимум.
теперь нам надо доказать еще 1 условие : это максимум, а не минимум. В этой точке
MR'-mc'<0
mr'=-2
mc'=2/6 *(Qb*Qc)^1/3 /(Qa)^5/3
очевидно что это условие выполнятется
Кроме того, мы получаем такое условие, что монополист будет максимизировать свою прибыль, выпуская такое количество товара a b и c, что Qa=Qb=Qc
Выполняя условие, MC у монополиста будет константиой: т.к. MC=10-1/3 *(Qc*Qb)^1/3 /(Qa)^2/3
Т.к. Qa=Qb=Qc, Mc=10-1/3
Mr -убывающая функция, тогда у нас будет одна точка пересечения, причем это будет точка максимума прибли, а не минимума.
Так же следует проверить, что монополисту выгодно производить:P>minAVC(выполняется)
Это является решением? Просто LaTeХом не умею)