Посадил Дед репку. Выросла репка большая-пребольшая. Стал тянуть дед репку. Тянет-потянет... - вытянул репку! Правда не целиком. Из земли показалось лишь часть репки весом в сто пудов. Теперь у дедки есть возможность позвать одного или нескольких помощников. Каждый помощник имеет определённую силу k. Если помощник с силой k тянет репку, то из земли вылезает на k% репки больше, чем если бы он её не тянул. Всё бы хорошо, но у каждого возможного помощника есть определённые притязания на ту часть репы, которая в итоге совместных усилий вылезла из земли. Та часть репки, которая вылезла, делится между всеми, кто тянул корнеплод, пропорционально их силам (невытащенный остаток остаётся в земле; репка достаточна велика). Сила деда - 100. Ниже представлены силы остальных возможных помощников.
Бабка - $80$
Внучка - $64$
Жучка - $36,5531$
Кошка - $\sqrt[3]{2}+11,75(6)$
Мышка - $\frac{pi}{e}$
Сколько и каких помощников следует позвать деду, чтобы получить в итоге как можно больше репы?
P.S. Можно считать, что дед может виртуозно разделить репку в любом, даже трансцендентном отношении.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Пример: Дед зовёт только бабку.
Вытянуто репы: 100*(1+0.8)=180 пудов
Раздел: Деду 180*(100/180)=100
Бабе 180*(80/180)=80
Пусть Дед позвал $n$ работников с силами $k_1,\dots, k_n$. Тогда вытащенная ими репка будет весить $R=100(1+k_1)\dots(1+k_n)$. Тогда Деду достанется $\frac{100(1+k_1)\dots(1+k_n)}{1+k_1+\dots+k_n}$.
Если позвать кого-нибудь одного, то Дед получит $\frac{100(1+k_1)}{1+k_1}=100$.
Докажем, что каждый следующий призванный помощник будет увеличивать вес репки, который получит дед. Для этого достаточно заметить, что $\frac{a(1+x)}{b+x}>\frac{a}{b}$ для $b>1; a,x>0$. Действительно, $\frac{a(1+x)}{b+x}-\frac{a}{b}=\frac{ab(1+x)-a(b+x)}{b(b+x)}=\frac{ab+abx-ab-ax}{b(b+x)}=\frac{ax(b-1)}{b(b+x)}>0$. Тогда деду следует звать всех.