После ночного покер-марафона Пётр и Степан остались за столом вдвоем с равным количеством фишек равным $X$. Известно, что игровые способности каждого из них можно выразить в виде коэффициента $S$. Известно, что $0\le S \le 1$, и $ S_п + S_с =1$ Каждый ход игрок поднимает свою ставку на величину $R$. Изначально ставки обоих игроков равны нулю. Величина $R$ в ход $i$ зависит только от мастерства игрока, мастерства его противника и величины предыдущей ставки: $R_i = kS_{игрока} - S_{противника}R_{i-1}$. Игроки играют осторожно, поэтому с каждым ходом коэффициент $k$ уменьшается в 2 раза. В первом ходу он равен $X$. Если $R_i<0$, то игрок пасует, и игра прекращается.
а) Найдите такое распределение $S$, чтобы игроки сделали максимальное количество ходов. Какое количество ходов они сделают?
б) Найдите банк (сумму всех $R_i$) после максимального количества ходов.
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
$$R_{2n}=X\left[\sum_{i=1}^n \left(\frac{x^{i-1}(1-x)^i}{2^{2n-2i+1}} \right)-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x^{i+1}(1-x)^{i-1}}{2^{2n-2i}} \right)\right]$$
$$R_{2n+1}=X\left[\sum_{i=1}^{n+1} \left(\frac{x^{i}(1-x)^{i-1}}{2^{2n-2i+2}} \right)-\sum_{i=1}^n\left(\frac{x^{i-1}(1-x)^{i+1}}{2^{2n-2i+1}} \right)\right]$$
$$\sum_{i=1}^{n}R_i=\sum_{j=0}^{\frac{n-1}{2}} \left ( \frac{XS_1}{2^{2j}(1-S_1S_2)}\left [ (1-(S_1S_2)^{\frac{n-2j+1}{2}})-S_1(1-(S_1S_2)^{\frac{n-2j-1}{2}}) \right ] \right ) +$$
$$ + \sum_{l=0}^{\frac{n-1}{2}}\left (\frac{XS_2}{2^{2l+1}(1-S_1S_2)} \left [ (1-(S_1S_2)^{\frac{n-2l-1}{2}})(1-S_2)\right ] \right )$$
2) Пусть $n$ - чётное. Тогда
$$\sum_{i=1}^{n}R_i=\sum_{j=0}^{\frac{n-2}{2}}\left (\frac{XS_1}{2^{2j}(1-S_1S_2)} \left [ (1-(S_1S_2)^{\frac{n-2j}{2}})(1-S_1)\right ] \right )+$$
$$+ \sum_{l=0}^{\frac{n-2}{2}} \left ( \frac{XS_2}{2^{2l+1}(1-S_1S_2)}\left [ (1-(S_1S_2)^{\frac{n-2l}{2}})-S_1(1-(S_1S_2)^{\frac{n-2l-2}{2}}) \right ] \right )$$
- Ксюш, как ты вывела эти формулы?
- Треугольником. Прямоугольным.
Общая идея треугольника вроде бы видна.
Продолжу решение.
а)Мои функции можно упростить до такого вида (здесь $x$ все еще $S_1$, а $(1-x)$ - $S_2$):
$$R_{2n}=X\sum_{i=1}^n\frac{x^{i-1}(1-x)^{i-1}(1-x-2x^2)}{2^{2n-2i+1}}$$
$$R_{2n+1}=X\left(x^{n+1}(1-x)^n+\sum^n_{i=1}\frac{x^{i-1}(1-x)^{i-1}(-2+5x-2x^2)}{2^{2n-2i+2}}\right)$$
Заметим, что $x=0.5$ - корень уравнений $(1-x-2x^2=0)$ и $(-2+5x-2x^2=0)$. Тогда если $x=S_1=S_2=0.5$, то $R_{2n}=0$ и $R_{2n+1}=X*(x^{n+1}(1-x)^n)=X*x^{2n+1}$ для любого $n$. Это обозначает бесконечную игру, ура!
б)Тогда банк в этой игре составит $B=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\dots=\frac{1/2}{1-1/4}=\frac{2}{3}$
Дерзнете проверить?