I. Практика. Издержки компании-монополиста «Параметроff Ltd.» задаются функцией $TC = 2Q + A$, где $A$ – расходы на рекламу.
1) Пусть спрос на продукцию фирмы имеет вид $Q_1 = 17 - P_1 + \sqrt{A}$. Определите оптимальные расходы монополиста на рекламу. При желании можете посчитать объём выпуска и прибыль.
2) Пусть спрос имеет вид $Q_2 = 3 - P_2 + A^2$. Ответьте на вопрос первого пункта при таких условиях.
3) Теперь пусть рыночный спрос формируют обе группы потребителей (функции спроса каждой группы даны выше). Какое значение $A$ выберет компания, если ей разрешено прибегать к ценовой дискриминации третьего рода? А если дискриминация запрещена? При желании/необходимости запишите функцию $Q^d (P)$ при отсутствии дискриминации.
II. Теория. Дана обратная функция рыночного спроса $P^d = a - bQ + f(A)$, причём $f(A)$ монотонно возрастает; и функция издержек монополии $TC = cQ + A$.
4) Могут ли в оптимуме расходы фирмы на рекламу равняться 0?
5) При каком условии ваш ответ об оптимальном значении $A$ будет таким же, как в пункте 2)?
Факультет экономических наук НИУ ВШЭ
Комментарии
Пишем уравнение максимизации прибыли по Q, находим Qmax равное $\frac{1+A^2}{2}$, получаем уравнение прибыли четвёртой степени на выходе. Берём производную и получаем это кубическое уравнение.
2) Функция прибыли возрастает по A => выгодно выбирать максимально возможное A (т.е рекламировать пока это возможно)
3)При дискриминации выгодно выбирать наибольшее возможное A (аналогично второму пункту)
Если же не дискриминирует, то нужно рассмотреть как от А зависит Pmax каждой из групп, чтобы правильно сложить спросы.(Также везде мы предполагаем , что A>=0 т.к расходы на рекламу строго неотрицательны) Решая неравенство получаем, что при A<=4 Pmax второго спроса меньше Pmax первого. Рассмотрев продажу на совокупном спросе и только на первом. На совокупном Прибыль возрастает по A => A*=4 ; Pr=24,5 , Однако продавая только первому спросу также по A*=4 (т.к оптимум A*=25 не достижим) получаем прибыль равную 68,25. Т.е A*=4 оптимум! Рассматривая участок при A>4 получаем, что выгодно выбирать максимально большое A.
4) Чтобы в оптимуме A равнялась нулю нужно чтобы прибыль от нуля была строго больше чем прибыль от A>0 иными словами , чтобы функция G(A)=(2aF(A)+F^2(A) - 4bA)/4b , a,b -константы >0 , а точнее G'(A) была отрицательна , однако при любых F(A) монотонно возрастающих это невозможно => Расходы на рекламу в оптимуме не могут быть равны нулю.
5) При F(A) вида A^n , где n>1 (возможно ещё при каких-то ... )