28.02.2010, 22:52

В качестве участника олимпиад школьников: отолимпиадничал :) Всероссы 2009, 2010. В настоящем студент МИЭФ НИУ ВШЭ.

На сайте с 2009 г. (блог)
Некоторые проблемные тесты с различных олимпиад.
*** Московская городская по экономике 2008 год
24. Множественный выбор. С ростом дохода на 2% доля расходов на редьку в бюджете потребителя, покупающего только два товара - редьку и хрен - уменшилась на 1%. Можно сделать вывод о том, что:
1) редька является инфериорным товаром;
2) коэффициент эластичности спроса на редьку по доходу больше 0,4;
3) спрос на редьку неэластичен по доходу;
4) редька является товаром первой необходимости;
5) хрен является товаром роскоши

*** Всероссийская олимпиада по экономике 2008 год
21. Множественный выбор. Из перечисленных функций выручки отметьте те, которые соответствуют кривым спроса с коэффициентами эластичности по цене, лежащими в диапазоне $ (-\infty ; -1) $
1) $ TR = 2004Q $
2) $ TR = 2005P $
3) $ TR = 2006 \sqrt{Q} $
4) $ TR = \sqrt{2007-P} $

5) $ TR = \frac{2008}{\sqrt{Q}} - \sqrt{Q} $

Вопросы будут добавляться :)

*** Московская окружная олимпиада по экономике 2010 год
28. Множественный выбор. Кривая предложения фирмы при условии, что все факторы производства являются переменными, имеет вид $ q(p) = \begin{cases} \sqrt{p}, \quad p\geq4\\0, \quad p<4\end{cases} $. Это означает, что:
1) предельные издержки производства трех единиц продукции равны 9;
2) средние издержки производства четырех единицы продукции равны 16;
3) предельные издержки производства двух единиц продукции не могут быть равны 10;
4) средние издержки производства двух единиц продукции не могут быть равны 10;
5) положительный выпуск при цене готовой продукции, равной двум, приносит отрицательную прибыль.
официальные: 1,2,4,5

*** Всероссийская олимпиада 2009 год
30. Множественный выбор. Там нарисована картинка, без неё не решить, если у кого есть этот тест и готов помочь понять почему именно такие ответы - буду благодарен. Ответы: 2,3.

Добавлено:

***Региональная олимпиада, 2009 год
11. Множественный выбор. Если общая выручка фирмы неэластична по цене товара при любом урове цены, то кривая спроса может...
1) быть эластична в каждой точке
2) быть неэластична в каждой точке
3) обладать одинаковой эластичностью в каждой точке
4) быть линейной
5) быть совершенно эластичной

Комментарии

подскажи, а у нас на Р и Q есть какие нибудь ограничения(типа только целые или не меньше одного...?
24:1 и 5 по-моему подходят, я только не уверен насчет 3 (неэластична по доходу - это по модулю меньше единицы? если да, то это должно тоже подойти)
21:мне кажется 1,3,5
Из того что доля расходов упала, не следует, что сами расходы снизились.
Насколько я помню, во времена "моей молодости" второй, да и первый тест обсуждались на сайте. Оба очень известны и любимы всеми. =)
Да да обсуждались, вот ссылочка на один из них, там Алексей объяснение даёт как раз) http://iloveeconomics.ru/blogs/id35/67
да-да)))помниться))))было дело))
Я бы ответил так :
Пусть $Q$ - количество редьки, $x$ - доля расходов, $Y$ - доход, $P$ - цена редьки, она неизменна, тогда :
$$\frac{P Q_1}{Y_1}=x_1$$
$$\frac{P Q_2}{Y_2}=x_2$$
По условию:
$$x_1=0.99 x_2$$
$$Y_2=1.02Y_1$$

Выполняя несложные математические операции получим $Q_2=1.0098\cdot Q_1$
$$\Delta Q\% = +0.98\%$$

Эластичность потребления редьки по доходу
$$E_Y=\frac{\Delta Q\%}{\Delta Y\%}= 0.98/2 = 0.48%$$

Очевидно, редька для этого эк. агента - товар первой необходимости, эластичность по доходу больше 0.4.
Ответ 2;4

Подозрение вызывает пункт 5, но, помнится мне, что не могут из двух товаров в такой модели один быть нормальным, а другой роскошью, если хотите можете попытаться доказать или опровергнуть, я тоже подумаю...p.s. комментарий Алексея в теме, которую Андраник указал исчерпывающий

Ответы 2;4;5

По поводу 21, если не ошибаюсь, тут стоит использовать утверждение о том, что если спрос эластичен, то выручка возрастает по Q и убывает по P, тогда этот вопрос делается легко и просто.
Можно конечно записать TR как PQ, выражать, проверять эластичность, но это долго.
Ага Тимур, кажись так и решается, алгебраически нерационально и долго)
Да нет, вполне достаточно возрастания\убывания функции выручки.
Спасибо за ссылку.
Я слишком ленив чтобы поискать) Да и не уверен был что они обсуждались)
В 24 у меня получалось тоже самое, что и у Тимура, 2 и 4. Хотя официальные ответы 2,3,4,5. Вот просто никак не мог согласиться с 5.
А в 21 тесте у меня ответы 1, 3 и 5. Я выразил всё через функции, т.е. через $ TR = PQ $, и посчитал эластичности (наверное, делать было нечего). А официальные ответы 1,3 и 4. Ну ладно, допускаю, что в 4 я где - то ошибся. Просто, оптимист, подумал, может, кто - то захочет выложить полную математику? =)
Вечером я выложу как считал эластичности в пунктах 3 и 4. Просто на это минут 20 может уйти, сейчас нет времени в техе всё вбить.
Не перепутай эластичность Q по P и эластичность P по Q.
Да, бывали такие проблемы.
Но тут приходит на помощь мистер мускул: $ E_d^p = (Q)_P^{'} * \frac{P}{Q} = \frac{1}{E_d^Q} $ )))
А третий пункт в 24, неэластичен, в смысле меньше единицы?
Ну да, обычно подразумевается именно это.
Хотя, учась в рэшке, я несколько раз встречал фразы типа "a worker supplies one unit of labor inelasticly", где слово "неэластично" означает "совершенно неэластично". Так что если вдруг похожее встретите где-нибудь вне олимпиад, задумайтесь:)
Если не ошибаюсь, последний вопрос не совсем корректен,
трех, четырех и т.д. единиц продукции - имели в виду третьей, четвертой и т.д. или нет? Если нет, тогда что такое "предельные издержки трех единиц продукции"?

Ну, а если по факту, я бы ответил 1;5;

По поводу третьего ответа (3), небольшое рассуждение, в принципе поведение функции до точки 2(P=4) не задано, значит она там может быть любой, но думаю многие подумали, что там оно также задается $Q=\sqrt{MC}$ я и сам так подумал на олимпиаде)
Но если нам говорят, что $MC = Q^2$ тогда можно заметить, что соответствующий график $AVC=2 \sqrt{x}/3$ не имеет минимума в точке 2(P=4), он возрастает на множестве положительных Q.

Мои рассуждения были более замудренными)
Сначала я начал прикапываться к тому, что не хватает данных, если это не РЧК. Пришёл к выводу, что РЧК, иначе прям правда просто никак.
Тогда рассмотрел функцию $ MC $, оно же $ p $ при $ p\geq4 $. Получается, что $ MC = Q^2 $, следовательно $ TC = \frac{Q^3}{3} + TFС $, но $ TFC = 0 $ по условию. Тогда $ AC = \frac{Q^2}{3} $. В итоге я получаю ответы 1, 3, 4 и 5, ведь раз дана такая функция предложения, то при $ p\leq4 $ нам просто невыгодно предлагать товар, т.е. прибыль отрицательна.
Дан, мои рассуждения такие же, только я AVC не правильно написал)
А то, что это РЧК следует из того, что есть кривая предложения.

Я с тобой в одном не очень согласен, в 3м, ну и соответственно в 4м, хотя сам сначала так думал, но ведь мы не видим как ведут себя MC на том участке, где нет кривой предложения, значит нельзя говорить, что там выполняется $MC=Q^2$, может там зиг-заг, а тем более там просто не может быть так потому что иначе кривая предложения из нуля будет исходить, понимаешь?

Так у нас точка $ Q = 2 $ лежит уже на $ MC = Q^2 $.
что-то у меня кризис внимания или ,может, ума)извини) ты конечно прав
А официальные, по - моему, 1, 2, 4 и 5...
Откуда, собственно?! =)
они видно ошиблись)такое бывает.
ребят я застрял. Подскажите: если у нас товар с эластичностью по доходу равной -2, то кроме того,что этот товар инфериорный, является ли спрос на этот товар эластичным??? По идее, изменение спроса больше изменения дохода, поэтому спрос вроде должен быть эластичным?
Да,спрос на товар является эластичным по доходу, но не по цене.
меньше единицы вообще или по модулю?
Мои извращенские математические размышления по поводу 21 теста =)

1. $ TR = 2004Q $, то есть $ PQ = 2004Q $, откуда $ P = 2004 $, $ E \rightarrow -\infty $.
1 в ответ.
2. $ TR = 2005P $, то есть $ PQ = 2005P $, откуда $ Q = 2005 $, $ E = 0 $.
3. $ TR = 2006\sqrt{Q} $, то есть $ PQ = 2006\sqrt{Q} $, откуда $ Q = \frac{2005^2}{P^2} $, $ E = -2 $.
3 в ответ.
Итак, начинаем самое интересное =)
4. $ TR = \sqrt{2007-P} $, то есть $ PQ = \sqrt{2007-P} $, откуда $ Q = \frac{\sqrt{2007-P}}{P} $.
$ E = Q'(P) \frac{P}{Q} $;
$ E = (\frac{\sqrt{2007-P}}{P})' \frac{P}{Q} $;
$ E = -\frac{2(2007-P)+P}{2(2007-P)} $;
$ E = -1 - \frac{P}{4014-2P} $.
По ОДЗ $ P\leq 2007 $, поэтому $ - \frac{P}{4014-2P} = -A < 0 $, а $ - 1 - A < -1 $. Поэтому, $ E < -1 $.
4 в ответ.
Промежуточные шаги я опустил (это где - то 2 шага), потому что не получается сделать \frac{\frac{a}{b}}{c}
5. $ TR = \frac{2008}{\sqrt{Q}} - \sqrt{Q} $, то есть $ PQ = \frac{2008}{\sqrt{Q}} - \sqrt{Q} $, откуда $ P = \frac{2008}{Q\sqrt{Q}} - \frac{1}{\sqrt{Q}} $.
Как известно, $ E_d^P = \frac{1}{E_d^Q} $. Подсчитаем $ E_d^Q = P'(Q) \frac{Q}{P} $.
$ E_d^Q = (\frac{-2008*1,5\sqrt{Q}}{Q^3} + \frac{1}{2Q\sqrt{Q}}) \frac {Q}{P} $
Опять же, пропускаю пару шагов, получается
$ E_d^Q = -\frac{3012-0,5Q}{2008-Q} $
Тогда $ E = -\frac{2008-Q}{3012-0,5Q} = -\frac{3012-0,5Q-1004-0,5Q}{3012-0,5Q} = -1 -\frac{-1004-0,5Q}{3012-0,5Q} = -1+\frac{1004+0,5Q}{3012-0,5Q} = -1+B $.
Предположим, что $ B < 0 $. Такое возможно только если знаменатель станет отрицательным, ведь $ Q\geq0 $, иначе это теряет экономический смысл.
$ 3012-0,5Q < 0 $, откуда находим что $ Q > 6024 $. Казалось бы, такое возможно, но тут вдруг вспомним, что $ TR(6024) = \frac{2008}{\sqrt{6024}} - \sqrt{6024} \approx -51,75 $ , что, вроде бы, тоже бессмысленно, потому что тогда $ P < 0 $.
Значит, $ E = -1 + A $, причём $ A > 0 $, поэтому $ E > 1 $.
Окончательные ответы 1, 3 и 4.
Вроде довёл. Теперь я доволен =)

Н-да. Сам я, когда сочинял этот тест, ничего подобного даже близко не делал) Ты лучше докажи в общем виде, что если выручка растет по цене (убывает по объему), то спрос неэластичен (и наоборот).
Я это уже сделал =)
Это, тксказать, не очень сложно доказать.
Круто. На олимпиаде правда столько усилий и времени в один тест вбухивать не очень хорошо)
У тебя там видимо опечатка: под цифрой 3, когда умножаешь 2007 на 2
Ну я на него потратил около 5 минут, хотя весь тест всеросса 2008 года успел сделать по общему времени даже с запасом.
Нет, кстати, это не опечатка, это просто считаю так круто))
Где ты ответы на тест взял? Просто я сам тест скачал, а проверить себя не могу.
А ты про какой именно тест, про всеросс - 2008? Я не помню, если честно, по - моему, у преподавателя были.
Да, про него. Я сами тесты скачал с сайта вышки, но ответов там нет. Они у тебя в электронной форме? Можешь скинуть?
Не-а, они у меня на бумаге.
Дополнительное задание к третьему тесту (округ 2010).

Придумайте две разные непрерывные функции $VC(Q)$, каждая из которых порождает приведенную в условии функцию предложения
(будем считать, что при цене 4 фирме безразлично, производить 0 или 2).

При этом обратите внимание на то, что при $VC(Q)=\frac{1}{3}Q^3$ такая кривая предложения не будет получаться!

Появился ещё один вопрос, последний тест со всероссийской олимпиады 2009 года, объясните кто - нибудь пожалуйста :)
Мне интересно, но русолимп что-то заглох) а больше негде взять, раньше на hse лежал, а теперь нет
На http://talent.hse.ru/olimp/vseros/ есть невзрачная ссылка "Олимпиадные задания". Там есть все задания и решения 2009 года.
Русолимп ко всероссу каждый год стабильно глохнет (предвкушая, видимо :) ).
Это тест где дана линейная зависимость $ TR_{x} $ от $ P_{y} $.
Untitled1.gif

По-моему этот график.

Ща задания перепечатаю.
Пусть $TR_{x}$ - расходы потребителя на покупку товара x.Тогда согласно данному графику...
1)Спрос на товар x абсолютно неэластичен по цене.
2)Товары X и Y являются субститутами.
3)Спрос на товар X имеет постоянную перекрёстную эластичность.
4)Спрос на товар X имеет постоянную ценовую эластичность.
5)Выручка от продажи товара X не зависит от обЪёма продаж товара X.
Правильные ответы 2) и 3)
$$P_x\cdot Q_x= P_y\cdot k$$
$$Q_x = k\cdot \frac{P_y}{P_x}$$
Ceteris paribus, туды - сюды))
Ну вот в том то и дело, мне кажется, при прочих равных, туда - сюда, мы знаем функцию спроса на товар х и отмечаем 4. ?!
Дан, ты меня озадачил, при постоянном $P_y$ к тому же $TR_x = const$ (из графика)
Тогда еще и 5)
Конечно, может в данном случае нельзя считать, что цена y постоянна, но тогда вопрос почему?
1) не подходит потому что при абсолютно неэластичном сросе на x $TR_{x}$ не зависит от $P_{y}$.
2) подходит . Так как при росте цены на товар $Y$ растут расходы на товар $X$
$Q_{x}$ и $P_{y}$ изменяются в одних направлениях.
3) является правильным.Но пока я сам не знаю почему?
по-моему перекрёстная эластичность спроса на товар Х зависит от степени при Ру. а она у нас 1. постоянная.
5) явно наглое враньё.при росте $P_{y}$ растёт и $P_{x}$ и $Q_{x}$.
Странное у тебя пояснение, вопрос вроде поставлен иначе
ну я имел ввиду $TR_{x}$ изменяется при изменении $Q_{x}$ которое явно меняет свою величину при изменении $P_{y}$.
первая твоя фраза это и есть предмет вопроса, её бы обосновать нужно)
Кто знает как объяснить 3) и 4) пункты .Объясните пожалуйста.
там наверху Тимур написал, что Qx=k*Py/Px отсюда следует , что перекрёстная эластичность постоянна и равна 1 .
В общем, у меня непонятки насчёт вопросов 2, 4 и 5. 1 точно неверно, 3 точно верно.
Давайте думать вместе :)
Ребят,может кто был на прошлом всероссе.Эти тесты наверняка разбирали .Вспомните.
Макс, там каждый тест по - отдельности не разбирают. Да и вообще их не разбирают. По ним апелляции ведь нет.
Я там ни разу не был...(Кстати у нас на региональной тесты объясняли)
Цены предполагаются экзогенными и независимыми, поэтому изменение Py не влияет на Px. Нарисован график зависимости TRx от Py при некотором фиксированном значении Px. TRx=QxPx=kPy, откуда Qx=kPy/Px, но это даёт столько же информации, что и формула Qx=kPy, т.к. мы знаем об истинности формулы Qx=kPy/Px только при фиксированной Px. О том, как ведёт себя спрос на тот или другой товар при изменении Px, мы ничего сказать не можем.
Аааааааааа, ну если это при фиксированном Px, тогда тайное становится явным. =)
Хотя логично, потому что для данной модели Px - экзогенный параметр.

Но мы ведь тогда однозначно не можем сказать о связи товаров Х и Y, ведь мы не знаем причину повышения Py, может быть, это рост спроса на товар Y?

Да, кстати, вместо "товары X и Y являются субститутами" корректнее было бы сказать "товар X является заменителем товара Y" в силу недавно обсуждавшейся несимметричности этого понятия.
Спрос данного потребителя как функция от цен и дохода, естественно, предполагается неизменными. И тогда не важно, в результате чего меняется Py. Мы же говорим о том, что это товары-заменители с точки зрения данного потребителя.
Идеи по поводу последнего теста.
$ E^{TR}_{P} = (\frac{\Delta PQ}{\Delta P})*\frac{P}{TR} = [Q+P*\frac{\delta Q}{\delta P}]*\frac{1}{Q} = Q \cdot \frac{1}{Q}[1+E^{Q}_{P}] = 1+E^{Q}_{P} $
Чтобы эластичность выручки была неэластична, значит $ \mod{E^{TR}_{P}} < 1 $, т.е. $ -1 < E^{TR}_{P} < 1 $.
$ -1 < 1+E^{Q}_{P} < 1 $
$ -2 < E^{Q}_{P} < 0 $
Получаются ответы 1,2,3.

А вы как думаете?

ну похоже на правду
Официальные ответы 1,3.
ответ 2 обидели
Ок, я просто для этого его сюда и скинул.
Спасибо за помощь.
Как ты перешел от $\frac{\Delta PQ}{\Delta P}$ к $Q+P*\frac{\delta Q}{\delta P}$? Напиши подробней пожалуйста.
Ну если у нас $ Q $ или $ P $ не константа, а функция от другого, т.е. $ Q = f(P) = Q(P) $, то тогда это будет производная от произведения функций $ f_{1}(P) = P; f_{2}(P) = Q(P) $. Тогда это производная первого умножить на второе, и производная второго умножить на первое. Обе производные по одной переменной, т.е. в данном случае по цене.
Понял, спасибо