21.10.2009, 12:18

Сооснователь сайта ILoveEconomics.
Основатель и директор Выездной межрегиональной школы.
Репетитор.
Мои задачи и подборки.
О других проектах: https://hatsevich.ru

На сайте с 2008 г. (блог)
Спешу поделиться идеей, которая только что пришла мне в голову.
Рассмотрим стандартную задачу на построение общей КПВ от объединения усилий двух работников, когда работники независимы (работают по отдельности, а не как в задаче "Культурный отдых на дому у дядушки Скруджа"). Областью производственных возможностей (ОПВ) назовём всё, что лежит на КВП и под ней. Так вот, совместная ОПВ есть векторная сумма индивидуальных ОПВ. Векторная сумма двух множеств – это множество, каждая точка которого получена сложением какой-нибудь точки первого множества с какой-нибудь точкой второго множества (представьте, что мы складываем вектора с началом в начале координат и концом в данной точке – отсюда название).
Такой взгляд позволяет нарисовать совместную КПВ по картинке, не вдумываясь в альтернативные издержки и не выписывая максимизационную задачу. Конечно, две линейных КПВ проще сложить стандартным способом, а вот для сложения линейной и нелинейной КПВ предложенный способ может быть очень полезен.

Ну всё, бегу готовиться к экзамену:) До завтра!

Комментарии

Гриша, приоткрывай завесу тайны! =)
Так всё же написано: бери и рисуй!
То есть мы берем любые две точки с разных ОПВ и создаем их сумму? И так для каждой точки?
Ну конечно. Ведь как мы получаем точку x,y на суммарной кпв? Первый производит x1 товара X и y1 товара Y, второй - x2 товара X и y2 товара Y. При этом каждый из них сидит в своей ОПВ.
Тимур в помощь нужен =)
Тимур и его команда
Он опять какую - нибудь пупоразвязочную картинку нарисует.
Я только на бумаге нарисовать и сфотографировать могу ))
"Пупоразвязочную")))))))))))))))))))))))
Кстати,если не ошибаюсь на Сибириаде какого-то года была задача о построении множества потребительских возможностей, имея изначальную бюджетную линию и в рамках различных акций нам давали всякие бесплатные бонусы, так вот там тоже с помощью векторного сложения решалось. В этом определенно есть какая-то аналогия)
Что значит "пупоразвязочную"?))
Очень классную =)
Спустя почти год я решил поднять давно забытую тему :-) Решал задачу собственного сочинения и понял, что то, чем я занят, очень напоминает векторное сложение, описанное Гришей в этом посте. Однако в моей задаче все достаточно несложно: есть линейное КПВ для "первого поля", а на втором поле можно произвести лишь один какой-то набор (то есть КПВ является всего лишь одной точкой") или 2 каких-то набора (2 точки). Решить такую задачу сложением векторов очень просто: в случае одной точки мы осуществляем параллельный перенос линейной КПВ на вектор, координаты которого являются координатами точки. В случае 2-ух точек мы осуществляем перенос для каждой точки в отдельности, а суммарной КПВ станет граница полученного множества. При чем в некоторых случаях суммарная КПВ имеет вогнутые участки (ну или выпуклые, если математически обзывать): $Х+У=4$ - первое поле, а второе поле характеризуется точками $(1,3)$ и $(2,1)$. Очень неплохим упражнением является, на мой взгляд, подумать над причинами такой вогнутости.
Но я так и не понял, как быстро с помощью этого способа сложить 2 непрерывных КПВ. Ведь тогда нужно аккуратно построить кучу параллельных переносов (или просто сложить кучу векторов, как Гриша предлагает), что является достаточно тонкой работой. К примеру, сложить 2 линейных КПВ с помощью этого способа у меня вышло только потому, что я знаю ответ и я могу "подогнать" рассуждения.
Или дело просто в том, что, когда у нас есть нелинейное КПВ, векторная сумма по сложности вполне сравнима с задачей максимизации?
Дима, аккуратнее со словом "поле".я бы сказал "область" или "множество" :)
и зачем непрерывность КПВ? :) разрывные тоже вполне можно сложить.
по сути это и будет максимизация. просто сложить континуум векторов не тонкая, а я бы сказал, не решаемая работа :) просто так можно прикинуть, как будет выглядеть КПВ.
Мне кажется поле, которое имел в виду Дима - поле другого характера(например поле картошки)
=)
Вот писал и думал, а не напишут ли про поле :-) Женя, я был более тривиален: я имел в виду поле как место, где выращивают 2 продукта - картошку и пшеницу :-) Привык в таких терминах рассуждать о КПВ.

Я понимаю, что можно складывать и разрывные - там работы меньше. Я же сложил 2 точки. :-)

Но в общем-то ты дал мне ответ, спасибо! Я догадывался, что к каждой точке некоторого участка КПВ невозможно построить вектор, ты подтвердил мои опасения :-)

Спасибо еще раз.

Нет-нет, ты зря сдаёшься:) Я утверждаю, что если одна из двух КПВ линейна, то суммарная КПВ строится по довольно простому алгоритму, причём настолько точно, насколько точно ты можешь нарисовать вторую (нелинейную) КПВ!
ну это простейшие случаи :) Дима, как я понял, спрашивал про самый общий случай :)
Ок, вызов принят :-)

Начинаю думать.

может быть на мысль натолкнет простой-простой случай:
первая КПВ - $x^2+y^2{\le}1; x{\ge}0, y{\ge}0$
вторая КПВ - $x+y{\le}1; x{\ge}0, y{\ge}0$
Я в общем-то понимаю, как это делать. Вопрос только в том, насколько это просто. Мне не нравится к точкам на окружности по очереди прикладывать разные вектора, которые соединяют точки на линейной КПВ и начало координат. Это долго. Ну или надо какой-то другой способ придумать.
А что можно использовать? Линейку? Или циркуль можно?
Еще можно перемещать всю линейную КПВ, таким образом, чтобы начало координат для линейной КПВ лежало нелинейной. Но это тоже не очень удобно.
считаем, что криволинейная кпв проста в построении и мы ее уже построили :) неважно как. главное, что она не представляет труда. как сложить ее с линейной? :)
PS: а какой у тебя алгоритм есть? :)
Берем некоторую точку на нелинейной КПВ. Считая ее началом координат строим относительно нее линейную КПВ. Так делаем для "всех" точек нелинейной КПВ, а потом обводим границу(т.е. идем "по вершкам"). Как-то так.
что значит "все"? :)
В рамках гипотезы: может векторно сложить нелинейную только с двумя крайними точками линейной, получим как бы две копии нелинейной функции смещенные одна вверх другая вправо. Эта совокупность нам будет доступна для производства, а теперь воспользумеся тем, что из каждой точки этой совокупности можно "пойти" линейно под углом соответствующим линейной КПВ, таким образом заполним все вогнутые "пробелы"
Очень похоже на истину. Но если я правильно понимаю, то надо тебя дополнить: от смещенной вправо нелинейной КПВ мы движемся только "вверх" по линейной и наоборот.
Да,конечно, ты прав. Если призадуматься, это следует из того, собственно, за счет каких ресурсов мы сдвинули изначальное КПВ вправо/вверх
Да, мы как бы производим сначала только Х, а потом смотрим, как выгоднее наращивать производство У и наоборот. Но математически у меня это пока не уложилось полностью. :-(
это похоже на правду :)
кстати, в каком месте нелинейной встрянет линейная?
Ну это понятное дело, в том месте, где производные равны. В том-то и беда, что я знаю как сумма выглядит :-)
Это, по идее, должно зависеть от конкретного вида кривой. Если предельные издержки возрастают, то где-то посередине.
Я думаю, что Женя спрашивал про его пример с окружностью.

Кстати, Тимур, а твой способ сработает для вогнутой КПВ? Я верю, что да, но надо проверить, мне кажется.

Вот я попробовал сложить параболу $(х-2)^2$ и Х+Y=3. Если я не ошибаюсь, то у меня вышло, что "длина" линейного участка больше длины линейной КПВ. Может быть, что часть параболы выгнулась в прямую, но это странно, вообще.
А что в этом странного? У нас технология, можем 1 единицу X недопроизвести, а вместо нее произвести единицу Y и так сколько угодно раз. Возьми X+Y=1 и гиперболу с теми же крайними точками, сразу очевидно что итоговая выйдет сплошь линейной(проверь по тому, как ты двигал линейную с центром на нелинейной), в два раза длиннее линейки первого поля)
Почему это сколько угодно раз? У нас есть фиксированные ресурсы под эту технологию. Грубо говоря - одно поле. Мы не можем линейную штуку растягивать как придется.
Сейчас проверю свою параболу аналитически.
vector.jpg
Из крайних двух точек векторно складываем с линейкой, если двигать центром тоже получится. Итоговая КПВ линейная и длинная)
А, Тимур, прости, я понял свою ошибку. Мы для каждого конкретного набора выбираем технологию, поэтому и выходит так, ты прав :-(
У меня помутнение. С параболой все так и получилось, как графически.
ок
не парабола выгнулась в параболу, слияние вышло из-за того, что вы стали "экспериментировать" с вогнутыми функциями. представь себе КПВ, ограниченную кривой $(x-1)^2+(y-1)^2=1,0{\le}x{\ge}1,0{\le}y{\ge}1$, и сложите это с КПВ $x+y=1$. суть в том, что в сумме они сольются :)
Есть много книжек по нахождению суммы Минковского двух множеств
Здравствуйте,хотел спросить совета насчет литературы по поводу суммирования функций.Способов где побольше!Подскажите)