Спринтеры

Два ученика легкоатлетической школы олимпийского резерва, Аристарх и Платон, решили устроить между собой неофициальное соревнование — кто из них будет лучше бегать стометровку в течение летнего сезона. Их тренер Владимир Петрович сообщил, что в течение сезона ожидается 5 контрольных забегов, на каждом из которых будет фиксироваться время финиша Аристарха $(a_1, \ldots, a_5)$ и Платона $(p_1, \ldots, p_5)$, где $a_i> 0$, $p_i>0$ — время финиша Аристарха и Платона на i-м забеге соответственно, $i=1, \ldots, 5$.
В олимпиадах: 
Московская олимпиада школьников — 2015
Свойства задачи: 
Можно решить без знания производной

Большой Кокосовый Храм

На далеком острове в океане есть две деревни: большая деревня A и маленькая (но гордая) деревня B.  Жители деревни А собирают 20 кокосов в год, деревни В - 10 кокосов в год. Кокосы можно есть, а можно строить из них Большой Кокосовый Храм (БКХ). В конце каждого года наступает сезон дождей, во время которого храм уносит в океан, поэтому каждый год жители острова строят храм заново.

Счастье каждого жителя зависит только от количества съеденных им кокосов ($x$) и от красоты храма ($G$). Суммарное счастье деревни А можно посчитать по формуле $u_a(x_a,G)=x_a+ 6\sqrt{G}$, деревни В - по формуле $u_b(x_b,G)=x_b+2\sqrt{G}$. Храм у всех общий, еда у каждого своя.

Кримея

На вiльних землях свободолюбивой и демократической страны Субурбии царствовала совершенная конкуренция на рынке вин, при этом фактически оно производилось только в небольшой провинции Кримея.
Издержки каждой из фирм описываются функцией $$TC=0.5q^2-4q+4608$$
Неожиданно жители Кримеи решили устроить референдум, чтобы отделиться от Субурбии и присоединиться к большой стране Вайделии, который разрешился в пользу этого решения.

Битва гигантов

После ночного покер-марафона Пётр и Степан остались за столом вдвоем с равным количеством фишек равным $X$. Известно, что игровые способности каждого из них можно выразить в виде коэффициента $S$. Известно, что $0\le S \le 1$, и $ S_п + S_с =1$ Каждый ход игрок поднимает свою ставку на величину $R$. Изначально ставки обоих игроков равны нулю. Величина $R$ в ход $i$ зависит только от мастерства игрока, мастерства его противника и величины предыдущей ставки: $R_i = kS_{игрока} - S_{противника}R_{i-1}$.

Бабушкин ресторан

"Бабушкин Ресторан"

Плаваем в бассейне

Сначала в бассейне "Плотва и щука" была следующая система посещений: каждый посетитель приходил в любое время работы бассейна, платил за разовое посещение и плавал неограниченное количество времени. Владелец бассейна, рассчитывая увеличить свою прибыль, ввёл новую систему посещений: теперь заход в бассейн происходит строго в определённое время , и все заходы следуют друг за другом с интервалом в 1 час (15 минут даётся на душ, 45 минут - на плавание).

Тихие доны

Три дона Вито Корлеоне, Филипп Татталья и Эмилио Бардзини распределяют между собой, кто что будет крышевать. Под их совместным контролем есть есть 3 доходных бизнеса - профсоюзный, размером в 1 млрд долларов, алкогольный, размером в 2 млрд долларов и игорный, размером в 3 млрд долларов. Каждый из донов имеет различные знакомства в органах власти, и поэтому они по-разному оценивают ценность каждого доллара в разных бизнесах (поскольку учитывают риск).

Необычная реклама

Этим летом неподалёку от своей дачи я увидел вот такую рекламу:

EdbSmXwEyNpjB20.jpg

На первый взгляд, кое-что в этой формулировке выглядит не совсем логичным:) Однако, если задуматься, можно попробовать дать вполне рациональное объяснение такому маркетинговому ходу. Итак, на что может надеяться этот "странный" рекламодатель?

Цены на бензин

За последние несколько лет в целом ряде российских регионов были отмечены эпизоды резкого повышения цен на бензин. Охваченные паникой, автовладельцы создавали ажиотажный спрос, что лишь усугубляло ситуацию и приводило к еще большему росту цен. В некоторых случаях в ситуацию были вынуждены вмешаться регулирующие органы. При этом Россия является экспортером нефти, что свидетельствует о превышении уровня добычи над величиной спроса потребителей внутри страны.

Почему, несмотря на это, в некоторых регионах цена на бензин поднимается так высоко?

В олимпиадах: 
Высшая проба (Олимпиада ВШЭ) — 2012
Свойства задачи: 
Качественная задача
Можно решить без знания производной
Можно решить без знания экономической теории

$«Три поросенка и Серый волк»$

Жили-были на свете три брата-поросенка: Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф. Все одинакового роста, кругленькие, розовые, с одинаковыми веселыми хвостиками. Вот только навыки их различались. За лето Ниф-Ниф мог построить три дома из соломы или два дома из камня. Нуф-Нуф, более тщательный и аккуратный, мог построить за лето целых пять соломенных домиков. И по лесу ходили слухи, что как-то, поспорив с братьями, он смог за лето построить 2 домика из соломы и три дома из камня.