Региональная олимпиада по математике 2009 - 2010 учебный год, 11 класс, оба дня

Дан Лифшиц, 19.1.2010 в 18:27.

Как я понимаю, олимпиада уже во всех регионах России прошла, поэтому, думаю, ничего страшного не произойдёт, если я опубликую тут условия (ведь нам даже разрешали с собой вынести задание). Может те, кто не прошёл/ не хотел участвовать/ учится в другом классе захотят прорешать их, учитывая явную близость экономики и математики в последнее время. Поэтому, собственно, вот.

Первый день
1. Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на $\sqrt2$ ?
2. В ряду из $2009$ гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает $1$ кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на $1$ г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны.
3. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AC$ . Точки $K$ и $M$ - проекции вершин $А$ и $С$ соответственно на прямую $BD$ . Через точку $K$ проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая $АС$ в точке $Р$ . Докажите, что угол $KPM$ - прямой.
4. Назовём тройку натуральных чисел (a,b,c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число.

UPDATE

Второй день
5. Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам $sin$ α $> cos$ β , $sin$ β $> cos$ γ , $sin$ γ $> cos$ α . Докажите, что треугольник остроугольный.
6. В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$ . Докажите, что для любой точки $O$ внутри пирамиды сумма объёмов тетраэдров $OSAB$ и $OSCD$ равна сумме объёмов тетраэдров $OSBC$ и $OSDA$ .
7. Целые числа a,b,c таковы, что значения квадратных трёхчленов $bx^2 + cx + a$ и $cx^2 + ax + b$ при $x = 1234$ совпадают. Может ли первый трёхчлен при $x = 1$ принимать значение $2009$ ?
8. В клетки квадрата $100$ x $100$ расставили числа $1, 2, ..., 10000$ , каждое число - по одному разу; при этом числа, различающиеся на $1$ , записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на $5000$ . Пусть $S$ - минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать $S$ ?

Сурен Аванян, 19.1.2010 в 19:53. (ссылка)

Дмитрий Мясников, 19.1.2010 в 20:21. (ссылка)

да, кто не ходил полезно порешать! Я же в свою очередь ходил,
еще интересно какие успехи лично у вас! (и у тебя Сурен)
ждем с нетерпением завтрашнего тура..

↑

Дан Лифшиц, 19.1.2010 в 20:37. (ссылка)

Да, понятно, что вы с Сашей писали)
Я лично обсуждал задачи с нашими СУНЦ-ами, которые достаточно мощные ребята (вы могли в этом убедиться на Колме, где была команда нашего СУНЦа и двое прошлогодних призёров всеросса =), с Московскими СУНЦ-ами, они, в целом, неплохо нарешали. Я сильно залажал, мне кажется, но хоть нашёл очень красивое решение первой задачи, а не просто возведение в квадрат 2 раза. Поразился красивейшему решению четвёртой, типа, $b-x$ , $b$ , $b+x$ => $b^2 - x^2 = r^2 => b^2 - r^2 = x^2$ => $b-r$ , $b$ , $b+r$ и случай $1;1;1$ =)
Вторая, вроде, простенькая. А геометрию я вместо нормального решения через подобия попёр делать через векторно - координатный, получил некую чиселку, состоящую из суммы триннадцати многочленов четвёртой степени, который надо было возводить в квадрат... В общем, дуралей =(
Дим, а ты крутое решение первой написал или нет? Основная идея - в новом треугольнике выделить параллелограмм. А дальше получается красивенький треугольничек... =)

↑

Павел, 20.1.2010 в 01:04. (ссылка)

Насчёт красивейшего решения четвёртой. А не факт что (b+r) или (b-r) будет взаимно просто с b. У них вполне могут быть общие делители... или нет?
А ещё насчёт b^2 - x^2 = r^2
r тут будет далеко не всегда натуральным, а нужно чтобы было натуральным в итоге, точнее чтобы b+r и b-r были натуральными, а значит и само r

↑

Иван Лазарев, 20.1.2010 в 03:00. (ссылка)

А можно про первую задачу поподробнее? Мне кажется, что в лоб она решается просто. Нет?

↑

Дан Лифшиц, 20.1.2010 в 06:53. (ссылка)

Да, можно. Если обозначить стороны за $x$ и $y$ , а потом пойти от противного и сказать, что $\sqrt {x^2+y^2} + \sqrt 2 < \sqrt {(x+1)^2+(y+1)^2}$ . Если всё возвести в квадрат, раскрыть, привести, и потом ещё раз возвести в квадрат, то мы получим ${(x-y)^2} < 0$ , противоречие.

2 Павел: факт, потому что вначале мы доказываем, что т.к. b взаимно просто и с a, и с с, то b является полным квадратом само по себе. А дальше соответственно надо додумать, что и у (b+r), и у (b-r) ничего общего с b не будет.
Сначала мы пишем b^2-r^2=x^2, всё натуральное. Меняем местами - вуаля, ничего не изменится, все опять натуральные =)

↑

Павел, 20.1.2010 в 21:05. (ссылка)

А почему в b^2-r^2=x^2 всё натуральное? Далеко не обязательно и не всегда. Такое прокатит если только числа подобраны так, что они пифагоровы (вроде так они называются). Но у нас b и x могут быть любыми.
А (b+r) может быть общее с b, если r не взаимнопросто с b, а такое тоже будет не всегда

↑

Дан Лифшиц, 20.1.2010 в 21:41. (ссылка)

Павел, перечитай условие =)
Это решение абсолютно полное. Почему b натуральное? Потому что мы имеем арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел. Или я тебя сейчас не понимаю.

↑

Павел, 20.1.2010 в 22:29. (ссылка)

b и x натуральные. А почему натурально r?

↑

Дан Лифшиц, 20.1.2010 в 22:55. (ссылка)

Потому что наша первоначальная прогрессия (a,b,c) => (b-r, b, b+r)

↑

Павел, 21.1.2010 в 01:42. (ссылка)

а вот и нет! первоначальная (b-x, b, b+x), а не (b-r, b, b+r)

↑

Дан Лифшиц, 21.1.2010 в 13:05. (ссылка)

Я вообще не понимаю в чём проблема.
Первоначальная прогрессия (a,b,c). Говорим, что a=b-x, c=b+x. Если ты так любишь конкретику, то я допишу Х - НАТУРАЛЬНОЕ, потому что это просто очевидно (если не очевидно, убедимся: a - натуральное, b - натуральное, с - натуральное, => b-x - натуральное и b+x натуральное. Но b натуральное, поэтому х натуральное. Лично мне, если честно, кажется что это даже расписывать не надо, ведь тогда можно писать q+w=e. Перенесём w из левой части в правую, при этом обязательно сменим знак. Получим q=w-e....)
Ладно, мы знаем, что b-x и b+x натуральные. При перемножии двух натуральных чисел мы получим натуральное число (надеюсь, не надо доказывать?). Получаем, что (b-x)*(b+x) = r², где r² - натуральное. Далее докажем, что b является полным квадратом само по себе. И вправду, ведь если оно не является полным квадратом, то при умножении b на другие числа мы не получим полный квадрат, потому что НОД(b; любого другого числа)=1, т.е. у них нет общих простых делителей. Следовательно, мало того что (b-x)(b+x)=r², где r² - натуральное, так мы ещё и знаем что r² - полный квадрат, значит $\sqrt {r^2} = |r| = r$ - натуральное число(т.к. случай -r тут не подходит). Я не совсем понимаю, чего так не понравилось натуральное ли r. Да и задачи я сюда скинул чтобы люди решали, а не читали разъярённые дискуссии, топтающиеся на месте, где можно соединить два поста и получить решение, немного более чётко аргументировав пару мест в решении.

Да, в предыдущем сообщении я описался, но, может, не будем придераться к сообщениям, а попробуем завершить решение здравой логикой? =)

↑

Павел, 21.1.2010 в 15:51. (ссылка)

Никаких разъярённых дискуссий ;) Я просто хочу понять то, что мне непонятно. Кстати, можешь меня поздравить. Я всё же понял почему r обязано быть натуральным)

↑

Дан Лифшиц, 21.1.2010 в 17:52. (ссылка)

Да нет, всё ок =)
Мне кажется, самая красивая из всех задач это восьмая. Кстати, где Тимур? )

↑

Павел, 21.1.2010 в 18:05. (ссылка)

Я её за 2,5 часа я её так и не решил)

↑

Тимур Аббясов, 21.1.2010 в 18:37. (ссылка)

Дан, я тут)Ты решил восьмую? Хреново я написал математику, если честно, в первый день я нормально решил две первые,про третью чего-то понаписал, но не сказал бы что все ровно. Четвертую не решил.
На второй день, я просидел в ступоре исписал всю тетрадь преобразованиями по 7-ой задаче. В итоге по-нормальному ничего не сделал)

↑

Дан Лифшиц, 21.1.2010 в 19:31. (ссылка)

Я в первый день решил две и третью начал решать координатами... В итоге, немного не довёл, дали всего 1 балл, потому что мне нужно было получить одно равенство, которое очевидно выплывало из теоремы Птолемея, но я не успел доделать алгебру =(
Во второй (самому стыдно) решил только третью, причём сходу, минут за 10. Прям первой за неё взялся, потому что функции люблю, довёл до куда надо и почуял что её надо завершить делимостью... В общем, просто шикаарно.. А за остальные 3 часа не решил НИЧЕГО! Ужас... Первую решал через монотонность функции, а у них в критериях за монотонность лепить ноль. Нет чтобы от противного. А четвёртую пытался активно доказать что S=50. Прям почему - то был уверен в этом. Вот такая вот подстава =)

↑

Тимур Аббясов, 21.1.2010 в 19:37. (ссылка)

Сначала прочитал, будто ты решил во второй день только три задачи и тебе еще стыдно))
В общем, готовимся к экономике, готовимся к экономике)

↑

Павел, 22.1.2010 в 00:50. (ссылка)

А на информатику из вас никто не идёт?

↑

Тимур Аббясов, 22.1.2010 в 01:06. (ссылка)

Я - нет, только на общество, но там мне ничего не светит)

↑

Павел, 22.1.2010 в 01:50. (ссылка)

А мне ещё информатика, право и экономика...
Тоже шансов мало, причём везде(

Дмитрий Мясников, 19.1.2010 в 22:33. (ссылка)

неа Дан я по тупому ее сделал)
ну я подумаю над этим способом..
мне больше всего вторая понравилась..я всегда такие решаю ^^
Саша все 4 естественно сделал..а я дурачок, но я и не готовился..
все усилия на эконом! =)

↑

Дан Лифшиц, 19.1.2010 в 22:39. (ссылка)

Аналогично)
Да, вторая в лобешник =)

Данил Фёдоровых, 19.1.2010 в 23:04. (ссылка)

Скажите мне, зачем номера пунктов в ТеХе оформлять?

↑

Дан Лифшиц, 20.1.2010 в 06:55. (ссылка)

Чтобы юные читатели случайно не смешали задачки 2 и 3 =) Не знаю, если честно.