Находим цены одних активов через цены других

(а) Контракт 1 принесет инвестору случайную величину $X_1-220$ через год. Рассмотрим два портфеля. - Портфель 1 состоит из 1 акции компании X. Поток доходов от этого портфеля через год равен $X_1$. - Портфель 2 состоит из контракта 1 и 10 облигаций. Поток доходов от этого портфеля равен $(X_1-220)+10\cdot 22=X_1$. Таким образом, потоки доходов от этих двух портфелей совпадают. Значит, сегодня портфели должны стоить одинаково. Стоимость портфеля 1 сегодня равна 220. Стоимость портфеля 2 равна $p_1+ 10\cdot 22/(1+r) = p_1+200$. Значит, $220=p_1+200$, откуда $p_1=20$.

(б) Контракт 2 принесет через год $\max(X_1-220,0)$. Контракт 3 принесет $\max(220-X_1,0)$. Cнова рассмотрим два портфеля. - Портфель 3 состоит из контракта 2. Поток доходов от этого портфеля равен $\max(X_1-220,0)$. - Портфель 4 состоит из контракта 1 и контракта 3. Поток доходов от этого портфеля равен $(X_1-220)+\max(220-X_1,0)=\max(X_1-220,0)$. Таким образом, потоки доходов от этих двух портфелей совпадают. Значит, сегодня портфели должны стоить одинаково. Стоимость портфеля 3 сегодня равна 30. Стоимость портфеля 2 равна $p_1+p_3=20+p_3$. Отсюда $p_3=10$.

(в) Доход контракта 4 (из графика): $$ f_1(X_1)= \begin{cases} 0, & X_1 \le 150, \\[1mm] 2(X_1-150), & 150 < X_1 \le 250, \\[1mm] 2(350-X_1), & 250 < X_1 \le 300, \\[1mm] 100, & 300 > X_1. \end{cases} $$ Hайдем, какой набор контрактов 5, 6, 7, 8 принесет такой же доход через год, что и контракт 4. Пусть купили $a$ контрактов 5, $b$ контрактов 6, $c$ контрактов 7, $d$ контрактов 8. Найдем такие $a$, $b$, $c$, $d$, при которых при любых значениях $X_1$ доход от портфеля из контрактов 5,6,7,8 будет равен доходам, приведенных на графике в условии задачи. Запишем доходы от контрактов 5, 6, 7, 8: Доход от контракта 5 $\max(X_1-150,0)$, доход от контракта 6 $\max(X_1-250,0)$, доход от контракта 7 $\max(250-X_1,0)$, доход от контракта 8 $\max(X_1-300,0)$. $$ f_2(X_1)= \begin{cases} c(250-X_1), & X_1 \le 150, \\[1mm] a(X_1-150) + c(250-X_1), & 150 < X_1 \le 250, \\[1mm] a(X_1-150) + b(X_1-250), & 250 < X_1 \le 300, \\[1mm] a(X_1-150) + b(X_1-250) + d(X_1-300), & 300 > X_1. \end{cases} $$ Так как при всех $X_1$ потоки через год должны быть равны ($f_1(X_1) = f_2(X_1)$), получаем: $$ \begin{cases} c(250-X_1) = 0, & X_1 \le 150, \\[1mm] a(X_1-150) + c(250-X_1) = 2(X_1-150), & 150 < X_1 \le 250, \\[1mm] a(X_1-150) + b(X_1-250) = 2(350-X_1), & 250 < X_1 \le 300, \\[1mm] a(X_1-150) + b(X_1-250) + d(X_1-300) = 100, & 300 > X_1. \end{cases} $$ Отсюда $a = 2$, $b = -4$, $c = 0$, $d = 2$. При отсутствии арбитража цены таких активов должны быть равны. А значит, цена контракта 4 равна $80a+10b+190c/11 + d=2\cdot 80-4\cdot 10+2\cdot 1 = 122$. Данное решение использует отрицательное количество одного из контрактов (короткие продажи), но можно обойтись и без них. Действительно, портфель, состоящий из контракта 4 и четырех контрактов 6, приносит всегда столько же, сколько портфель, состоящий из двух единиц контракта 5 и двух единиц контракта 8. Отсюда можно найти $p_4$.

Схема проверки

Если все решение участника основывалось на предпосылке о том, что цена по контракту выплачивается через год, баллы не снижались (при условии того, что все остальное верно). Если решение верное, но формулы, требуемые в критериях, не были выведены явно, баллы за соответствующие критерии ставились.

Всего за пункт --- 4 балла, из них: - Определение будущего дохода по контракту 1: $(X_1-220)$ --- 1 балл. - Составление двух портфелей, приносящих один и тот же доход в будущем при каждом $X_1$ --- 2 балла. - Если в работе находилось конкретное $X_1$, ставилось 0 баллов. - Если в работе утверждалось, что NPV контракта должна быть равна 0 (без учета неопределенности $X_1$), ставилось 0 баллов. - Если приравнивались NPV контракта 1 и NPV акции без явного уточнения что через год у обладателя контракта на руках будет одна акция, ставился 1 балл. При наличии такого уточнения ставилось 2 балла. - Если приравнивались матожидания доходностей или NPV по контракту и по акции, ставилось 2 балла. - За идею о репликации контракта 1 c помощью акций и облигаций при отсутствии верной процедуры репликации ставился 1 балл. При успешной репликации ставилось 2 балла. - Нахождение $p_1$ из верных соображений, соответствующих критерию 2, --- 1 балл. При нахождении верного $p_1$ из других соображений, балл не ставился.

Всего за пункт --- 4 балла, из них: - Определение дохода по контракту 2 ($\max\{X_1-220,0\}$) --- 1 балл. - Определение дохода по контракту 3 ($\max\{220-X_1,0\}$) --- 1 балл. - Составление двух портфелей, приносящих один и тот же доход в будущем при каждом $X_1$ --- 1 балл. - Если в работе находилось конкретное $X_1$, ставилось 0 баллов. - Если приравнивались NPV контрактов 2 и 3 отдельно для случаев $X_1>220$ и $X_1<220$, ставилось 0 баллов. - Если приравнивались матожидания доходностей или NPV по контракту и по акции, ставился 1 балл. - Нахождение $p_3$ --- 1 балл.

Всего за пункт --- 4 балла, из них: - Идея репликации одного контракта другими -- 1 балл - Определение того, как доход по контракту 4 выражается через доходы контрактов 5, 6 и 8 --- 2 балла. - Нахождение $p_3$ --- 1 балл.