Размерности величин

Переменная может иметь размерность: тогда эта переменная представляет из себя произведение числа и размерности, которая сама не является числом. Например, $TR=1000\ руб$. Удобно воспринимать это как произведение: $1\ руб= 1\cdot руб = руб$. Если это выручка, полученная от пяти ящиков "Эджворта" (такой напиток), то цена напитка $P=\frac{1000\ руб}{5\ ящ}=200\frac{руб}{ящ}$.

Удобство в том, что можно переводить одни единицы измерения в другие, при этом сохраняя сам объект (в данном случае цену напитка) неизменным:
$ P=200\frac{руб}{ящ}= 200\frac{руб}{20\ бут}=10\frac{руб}{бут}$ – это ровно та же цена напитка, поэтому смело ставим знак равенства.

Такой подход удобен в быту, когда мы ограничиваемся четырьмя арифметическими операциями. Если же мы хотим моделировать взаимосвязи между экономическими переменными какими-то сложными зависимостями, то тут с размерностями получается куча неудобств: придётся писать что-то вроде $Q(P)= ящ\cdot\sin (P\cdot \frac{ящ}{руб})-P\cdot\frac{ящ^2}{руб}+10\ ящ $. В эту формулу можно смело подставлять хоть $200\frac{руб}{ящ}$, хоть $10\frac{руб}{бут}$, и на ответ это не повлияет. Но плата за это удобство слишком высока. Вместо этого пишут так:
$ Q(P)=\sin (P)-P+10 $,
а где-нибудь рядом добавляют, что цена измеряется в рублях за ящик, а количество – в ящиках. То есть, строго говоря, теперь P – это уже не цена, а то, что получается, если записать цену в рублях за ящик, а потом стереть единицу измерения. Теперь надо быть начеку: прежде чем подставлять число в формулу, нужно убедиться, что это число ящиков, а не число бутылок. Зато не надо таскать за собой ворох единиц измерения в формулах.

В последней формуле P и Q теперь формально безразмерные величины, хотя мы и помним, что за ними стоит.

Абсолютные и относительные изменения

Пусть некоторая переменная $x$ меняется со временем. Зафиксируем два момента времени и назовём их 0 и 1. Обозначим $x_0$ – первоначальное значение нашей переменной, $x_1$ – новое значение. Например, x может быть ценой на хлеб, момент 0 – началом года, а момент 1 – концом года.

Абсолютное изменение (абсолютный прирост) переменной – это разность между новым и старым значением:

$\Delta x=x_1-x_0$

$\Delta \text{что-то} = \text{новое значение этого чего-то} - \text{старое значение этого чего-то}$

Абсолютное изменение измеряется в тех же единицах, что и сама переменная:
3 руб/шт – 2 руб/шт = 1 руб/шт

Абсолютные изменения часто малоинформативны. Представьте, что ваши доходы выросли на 1 млн рублей в год. Это может сильно изменить ваш образ жизни. А теперь представьте, что на тот же 1 млн рублей в год выросли доходы государственного бюджета. Много ли это? В соответствующей таблице Федеральной службы государственной статистики изменение доходов в 1 млн рублей даже не отразится, поскольку показатели там публикуются с точностью до сотен миллионов рублей. Видимо, потому что изменение в 1 млн рублей для госбюджета не слишком существенно.

Как говорится, всё относительно: один волос на голове – мало, один волос в супе – много. Чтобы оценить, насколько существенно изменение некоторой переменной, нужно сравнить его с какой-нибудь величиной той же размерности и понять, во сколько раз оно больше или меньше. Первое, что приходит в голову – сравнить изменение переменной с её первоначальным значением. Так рождается понятие относительного изменения.

$\text{относительное изменение}=\frac{\text{абсолютное изменение}}{\text{первоначальное значение}}$

$\Delta_\%x=\frac{\Delta x}{x_0}=\frac{x_1-x_0}{x_0}=\frac{x_1}{x_0}-1$

Я не знаю общепринятого обозначения для относительного изменения величины x, поэтому придумал своё: $\Delta_\%x $.

Замечу, что не для всех переменных имеет смысл считать относительное изменение. Если переменная – это количество каких-нибудь объектов, то, как правило, всё OK: если удвоилось количество денег в вашем кошельке, вы можете купить в два раза больше товаров (если цены не поменялись); в поход собралось в два раза больше людей – нужно запастись в два раза большим количеством спальных мешков, и т. п. А вот если вы узнаёте, что сегодня температура воздуха в два раза выше, чем вчера, то сам по себе этот факт мало о чём говорит. Если сейчас лето, то этот факт будет означать, что наступила жара, а если температура была чуть-чуть выше нуля, то вы можете не ощутить и стократное её увеличение. Если же вы приехали из США со своим термометром, то он в той же ситуации покажет увеличение температуры в гораздо более скромное число раз. Всё дело в условности температурных шкал: они просто дают тем большее значение, чем теплее, но начало отсчёта и единица измерения задаются достаточно произвольно.

Проценты

Относительные изменения многих переменных за типично рассматриваемые промежутки времени часто составляют несколько десятых или несколько сотых. К примеру, относительное изменение доходов госбюджета за 2008 год равно 0,20, а если с поправкой на инфляцию, то 0,06. В связи с этим (для удобства) для относительных изменений почти всегда используют особую "единицу измерения" – процент. Процент (от латинского pro centum – по отношению к ста) – это просто число $\frac{1}{100}$.
$100\%=100\cdot \%=100\cdot \frac{1}{100}=1$
0,20=20%
0,06=6%

Выражение "6% от чего-то" означает "6% $\cdot$ это что-то". Если относительное изменение переменной x равно 6%, то это значит, что она выросла на 6% от своего первоначального значения:
$x_1=x_0+x_0\cdot 6\%=x_0(1+6\%)=x_0(1+0,06)=1,06x_0$
Слова "от своего первоначального значения", в основном, всегда опускают для краткости, и говорят просто: "x вырос на 6%".

Замечу, что относительное изменение, формально говоря, безразмерная величина (даже если оно представлено в форме $x\cdot \%$), потому что оно равно некоторому числу. А вот, например, 5 кг не является безразмерной величиной, потому что 5 кг не равно никакому числу.

В процентах выражают не только относительное изменение, но и многие другие безразмерные величины. Как правило, эти величины меньше единицы, то есть меньше 100%. Приведу несколько примеров.
1) Доля, т. е. отношение части к целому. Например, уровень безработицы – отношение количества безработных к численности рабочей силы: этот показатель принципиально не больше единицы, да к тому же, как правило, не превышает 0,10, поэтому его удобно выражать в процентах.
Другой пример – ставка подоходного налога, т. е. доля той части заработанного дохода, которую вы отдаёте государству. Эта ставка тоже не бывает больше 100%, т. к. никто не станет работать, если придётся отдавать больше, чем он заработал.
2) Годовой темп инфляции (относительное изменение уровня цен за год). Он в приличных странах тоже меньше 100%, хотя теоретически он может быть сколь угодно большим.
3) Номинальная ставка процента по кредиту. Если годовая ставка равна i, то, взяв в долг сумму X, через год нужно будет вернуть $X+X\cdot i$. По каким-то неведомым мне причинам годовые ставки почти всегда меньше 100% (по крайней мере, в отсутствие высокой инфляции).
Кстати, словом "проценты" традиционно называют сумму денег, уплачиваемую за пользование кредитом; в нашем примере – величину $X\cdot i$.

Когда люди описывают изменение какой-то безразмерной величины вроде перечисленных выше, в большинстве случаев они вычисляют не относительные, а абсолютные изменения. Скажем, если уровень безработицы вырос с 5% до 6%, то удобнее говорить об абсолютном изменении в 1% ($6\%-5\%=1\%$), чем об относительном изменении в 20% ($\frac{6\%-5\%}{5\%}=20\%$). При этом, чтобы не возникало путаницы в выражении "x вырос на ...", говорят "уровень безработицы вырос на 1 процентный пункт" (сокращённо "п. п."). Ведь если сказать "уровень безработицы вырос на 1%", то можно подумать, что имеется в виду "на 1% от своего первоначального значения" (как это обычно бывает, когда говорят об изменении размерных величин), и новый уровень безработицы, таким образом, составляет $5\%\cdot(1+1\%)=5,05%$.

Все эти ухищрения нужны для того, чтобы люди поняли друг друга правильно, когда они выражают свои мысли словами. Когда же мы пишем формулами, проблем не возникает; есть всего два варианта: $x_1=x_0+6\%$ и $x_1=x_0\cdot 1,06$, и мы легко можем выбрать подходящий.

Упражнение 1. Цена градусника меняется каждый год: за каждый чётный год она растёт на 10%, а за каждый нечётный – падает на 10%. Сейчас градусник стоит 100 рублей. Сколько он будет стоить через 200 лет, если ближайший год – чётный? А если нечётный?

Я много раз встречал людей, которые считают, что нельзя писать 0,06=6%, а надо писать что-то вроде: $\frac{x_1-x_0}{x_0}=0,06,\text{ то есть x вырос на 6%}$. Многие пишут, что относительное изменение равно $\frac{x_1-x_0}{x_0}\cdot 100\%$, а некоторые даже используют разные термины в зависимости от того, умножили они на 100% или нет: что-то в духе "темп роста = коэффициент роста $\cdot$ 100%".
К сожалению, я так и не смог понять их аргументацию. Буду рад, если кто-нибудь мне объяснит.

Несколько слов о терминологии

Относительное изменение по-другому называют процентным изменением, а ещё темпом (при)роста. В русских учебниках различают темп прироста (относительное изменение) и темп роста (темп прироста плюс 100%, ну то есть плюс единица). Спрашивается, зачем нужно два термина, если можно просто прибавить единицу? Думаю, самое разумное объяснение заключается в том, что так удобно пудрить мозги: скажем, если прибыль упала на 20%, то можно гордо заявить, что "темп роста прибыли равен 80%".

В англоговорящем мире темп прироста называется "growth rate", что часто переводят на русский как "темп роста", так что будьте начеку.

В большинстве случаев, как его ни назови, имеется в виду именно относительное изменение, а не оно плюс единица.
Кстати, если кто не заметил: "оно плюс единица" – это просто отношение нового значения к старому.

Упражнение 2. Цена уменьшилась на 10%, а выручка увеличилась на 20%. На сколько процентов изменился объём продаж?