Глава 1. Множества

Лирическое отступление: определяемые и неопределяемые понятия

В математике новые понятия определяются через уже известные понятия. Например, квадрат можно определить как прямоугольник, у которого все стороны равны. Это определение имеет смысл для того, кто знает, что такое прямоугольник, сторона и что значит быть равным. При этом нельзя допускать циклов в определении: "корова – это та, кто даёт молоко, а молоко – это то, что даёт корова". Эти два предложения дают нам только одну мысль – "корова даёт молоко", но, зная только это, мы не сможем отличить корову от продавщицы за прилавком магазина. Но раз нельзя допускать циклов в определении, то, раскручивая цепочки определений, мы рано или поздно доберёмся до понятий, которые не имеют определений: ведь число определений в любой науке конечно (хотя бы потому, что они все должны быть где-то записаны). Это простой принцип: если имеем конечное число (например, миллион) кочек (понятий) и прыгаем по ним так, что никогда не возвращаемся на покинутую кочку (а прыгаем мы на одно из понятий, которое используется при определении понятия, с которого мы спрыгиваем), то рано или поздно мы очутимся на кочке, с которой прыгать уже некуда.

Такими неопределяемыми понятиями являются "множество" и "элемент множества". Множество членов семьи Колобковых может состоять из деда, бабки и Колобка; каждый из них является элементом множества "семья Колобковых". Определения мы не давали, но вроде всем понятно, о чём речь. Можно сказать, что понятие "множество" является элементом множества неопределяемых понятий:)

А вот понятие "подмножество" уже можно определить: множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A является элементом множества B.
Пусть B={дед, бабка, колобок}, A={дед, бабка}. Тогда A – это подмножество B. При этом B не является подмножеством A. Обратите внимание, как можно задать множество: перечислить его элементы через запятую внутри фигурных скобок (фигурные скобки, в отличие от круглых, означают, что порядок перечисления не важен).
Множества A и B называются равными, если они являются подмножествами друг друга. Иными словами, состоят из одних и тех же элементов.

Обозначения и терминология:

Упражнение 1: чтобы освоиться с этими понятиями, придумайте сами какие-нибудь множества и запишите утверждения об отношениях между ними, а также между ними и элементами (принадлежит/не принадлежит, является ли подмножеством). Постарайтесь, чтобы ваши примеры были как можно более разнообразными. Если придумали интересный пример – пишите его в комментариях, чтобы другие могли порадоваться. Заодно научитесь писать символы теории множеств в TeXе.

Существует понятие пустого множества: это множество, которое не содержит ни одного элемента. Обозначается $\varnothing$. Из этого определения следует, что $\varnothing$ является подмножеством любого другого множества. Это несложно доказать от противного. Действительно, предположим, что существует некоторое множество A, такое что $\varnothing$ не является его подмножеством. Это означает, что существует некоторый элемент $x$, который принадлежит пустому множеству, но не принадлежит множеству A. Первое из этих двух условий уже противоречит определению пустого множества.

Объединение множеств A и B (обозначается $A \cup B$) – это множество, содержащее все элементы, которые есть хотя бы в одном из этих двух множеств, и не содержащее ничего кроме этого. $\{1,2\}\cup\{2,3\}=\{1,2,3\}$.

Пересечение множеств A и B (обозначается $A \cap B$) – это множество, содержащее все элементы, которые есть одновременно и в A и в B, и ничего кроме этого.
$\{1,2\}\cap\{2,3\}=\{2\}$
$\{1\}\cap\{2\}=\varnothing$

Разность множеств A и B (обозначается $A \setminus B$) – это множество, содержащее все элементы множества A, которые при этом не являются элементами B (для простоты я обычно говорю "A кроме B", подразумевая "за исключением элементов множества B").
$\{1,2,3\}\setminus\{1\}=\{2,3\}$
$\{1,2,3\}\setminus \{4\}=\{1,2,3\}$

Не всегда удобно задавать множество перечислением всех его элементов. Например, можно рассмотреть "множество всех, кто сейчас читает этот текст". Мы не можем перечислить все элементы этого множества, но, тем не менее, можем использовать знание этого множества, выводить его свойства и т.д. Например, мы можем сказать, что все его элементы – это люди, которые умеют читать.
Полезно научиться определять, что является элементом некоторого множества, а что не является (естественно, когда множество задано перечислением всех его элементов через запятую, эта задача тривиальна). Рассмотрим некоторые примеры.

Упражнение 2. Принадлежит ли бабушка множеству всех мам?

Упражнение 3. Принадлежит ли множество {мама Оля, мама Лена} множеству всех мам?

Множество само может быть элементом другого множества. Пусть в семейном конкурсе участвуют семьи A={мама A, папа A, ребёнок A}, B= {мама B, папа B, ребёнок B}, $\dots$, Z= {мама Z, папа Z, ребёнок Z}. Рассмотрим множество П семей – победителей этого конкурса. Пусть П={Y,O,P,R,S,T}. Каждый элемент этого множества сам по себе является множеством, но когда мы объявляем список победителей, нам это не интересно, мы воспринимаем каждый элемент как единое целое. Это делает нашу жизнь проще: нам нужно перечислить лишь 6 элементов в списке победителей, а не $6\cdot 3=18$, как если бы мы не могли составлять множества из множеств.

Упражнение 4. Рассмотрим У – множество всех людей, участвующих в этом конкурсе. Какие из следующих утверждений верны?
1) $П\in У$
2) $П\subset У$

Упражнение 5: придумайте сами интересные примеры на эту тему и пишите их в комментариях.