Форвардный валютный курс

(а) Выведем общую формулу для возможных значений форвардного курса, а затем применим ее к ситуациям (i)-(iii). Обозначим ставки по кредитам и депозитам в валютах $\alpha$, $\beta$ за $r_d^{\alpha}$, $r_c^{\alpha}$, $r_d^{\beta}$, $r_c^{\beta}$. Обозначим текущий курс покупки $\beta$ за $E$, курс продажи за $e$, $E\geqslant e$. Рассмотрим две арбитражные стратегии. Стратегия 1. \begin{enumerate} - Заключаем сегодня форвардный контракт на продажу 1 млн единиц $\beta$ через год по курсу $F$ (выплат сегодня это не потребует). - Берем в кредит сумму $x_{\alpha}$ в валюте $\alpha$ (такую, чтобы реализовать форвардный контракт ровно на 1 млн единиц $\beta$, см. ниже). - Покупаем валюту $\beta$ на всю сумму $x_{\alpha}$ по курсy $E$, получаем $x_{\alpha}/E$ единиц $\beta$. - Кладем валюту $\beta$ на депозит на год, через год получаем $(1+r_d^{\beta})x_{\alpha}/E$ единиц валюты. - Реализуем форвардную сделку, получаем валюту $\alpha$ в объеме $F(1+r_d^{\beta})x_{\alpha}/E$. - Возвращаем кредит с процентами: выплачиваем $x_{\alpha}(1+r_c^{\alpha})$. \end{enumerate} В итоге, наша прибыль составит \[\pi_1= F(1+r_d^{\beta})x_{\alpha}/E-x_{\alpha}(1+r_c^{\alpha})=x_{\alpha}\left(F(1+r_d^{\beta})/E-(1+r_c^{\alpha})\right).\] Чтобы арбитраж был невозможен, эта прибыль должна быть неположительна: \[\pi_1= x_{\alpha}\left(F(1+r_d^{\beta})/E-(1+r_c^{\alpha})\right)\leqslant 0.\] Так как $x_{\alpha}>0$ ($x_{\alpha}=E/(1+r_d^{\beta})$ млн), получаем \[F\leqslant E\frac{1+r_c^{\alpha}}{1+r_d^{\beta}}.\] Стратегия 2. \begin{enumerate} - Заключаем сегодня форвардный контракт на покупку 1 млн единиц $\beta$ через год по курсу $F$ (выплат сегодня это не потребует). - Берем в кредит сумму $x_{\beta}$ в валюте $\beta$ (такую, чтобы реализовать форвардный контракт ровно на 1 млн единиц $\beta$, см. ниже). - Покупаем валюту $\alpha$ на весь взятый кредит по курсy $е$, получаем $x_{\beta}e$ единиц $\alpha$. - Кладем валюту $\alpha$ на депозит на год, через год получаем $(1+r_d^{\alpha})x_{\beta}e$ единиц валюты $\alpha$. - Реализуем форвардную сделку, чтобы получить валюту $\beta$ для уплаты тела кредита и процентов, по ней уплачиваем $x_{\beta}(1+r_c^{\beta})F$ единиц валюты $\alpha$. - Возвращаем кредит с процентами. \end{enumerate} В итоге, наша прибыль составит \[\pi_2= (1+r_d^{\alpha})x_{\beta}e-x_{\beta}(1+r_c^{\beta})F=x_{\beta}\left((1+r_d^{\alpha})e-(1+r_c^{\beta})F\right).\] Чтобы арбитраж был невозможен, эта прибыль должна быть неположительна: \[\pi_2= x_{\beta}\left((1+r_d^{\alpha})e-(1+r_c^{\beta})F\right)\leqslant 0.\] Так как $x_{\beta}>0$ ($x_{\beta}=1/(1+r_c^{\beta})$ млн), получаем \[e\frac{1+r_d^{\alpha}}{1+r_c^{\beta}}\leqslant F.\] Объединяя два неравенства, получаем, что арбитраж невозможен при \[e\frac{1+r_d^{\alpha}}{1+r_c^{\beta}}\leqslant F\leqslant E\frac{1+r_c^{\alpha}}{1+r_d^{\beta}}.\] Теперь подставим числа. В ситуации (i) имеем $r_d^{\alpha}=r_c^{\alpha}=0,26$, $r_d^{\beta}=r_c^{\beta}=0,12$, $e=E=40$, откуда \[40\frac{1+0,26}{1+0,12}\leqslant F\leqslant 40\frac{1+0,26}{1+0,12}\] \[F=45.\] В ситуации (ii), \[40\frac{1+0,26}{1+0,2}\leqslant F\leqslant 40\frac{1+0,4}{1+0,12}\] \[42\leqslant F\leqslant 50.\] Наконец, в ситуации (iii), \[38\frac{1+0,26}{1+0,2}\leqslant F\leqslant 42\frac{1+0,4}{1+0,12}\] \[39,9\leqslant F\leqslant 52,5.\] Чем больше несовершенств рынка мы вводим в модель, тем шире получается диапазон возможных курсов.

(б) Раз только долю $1-s$ средств нужно будет брать в кредит, то ставка $r_c$ применится только к доле $1-s$ средств, к оставшейся доле $s$ применится ставка $r_d$ --- альтернативные издержки использования собственных средств. Значит, формула для возможных значений $F$ видоизменится так, что вместо $r_с$ везде нужно поставить $(1-s)r_c+s r_d$ в соответствующей валюте, то есть \[e\frac{1+r_d^{\alpha}}{1+(1-s_{\beta})r_c^{\beta}+s_{\beta}r_d^{\beta}}\leqslant F\leqslant E\frac{1+(1-s_{\alpha})r_c^{\alpha}+s_{\alpha}r_d^{\alpha}}{1+r_d^{\beta}}.\] $s$ меняется от агента к агенту, принимая значения от 0 до 0,5. Нам нужно, чтобы неравенства были выполнены для всех агентов. Поскольку ставки по депозитам меньше ставок по кредитам, самые сильные неравенства будут получаться при максимальных значениях $s_{\alpha}$, $s_{\beta}$, то есть при $s_{\alpha}=s_{\beta}=0,5$. Отсюда получаем \[40\frac{1+0,26}{1+(0,2+0,12)/2}\leqslant F\leqslant 40\frac{1+(0,4+0,26)/2}{1+0,12}\] \[43,49\leqslant F\leqslant 47,5.\]

(в) Форвардные контракты нужны для хеджирования (страховки от) валютных рисков, возникающих в будущем. Например, импортерам товаров из Альфа в Бета или производителям страны Альфа, использующим импортные комплектующие, нужно застраховаться от риска резкого удорожания валюты $\beta$, и им будет выгодно заключить форвардный контракт на покупку этой валюты по заранее оговоренному курсу. Напротив, экспортерам, получающим валютную выручку (в валюте $\beta$) нужно застраховаться от удешевления валюты $\beta$, и им будет выгодно заключить форвардный контракт на продажу этой валюты по заранее оговоренному курсу.