Страной "Infinity" управляет король, который правит вот уже целую вечность. Проживая каждую неделю он потребляет товар X. В первую неделю правления полезность от потребления x была равной $\frac{1}{2}$. В на следующей неделе $\frac{2}{4}$ Как итог его полезность можно задать таким образом:
$$U_{\text{короля}}=\sum \limits_1^\infty \frac{t}{2^t}$$ (t)=номер недели, которою проживает король.
В стране еще живут бесконечно много жителей. Каждый последующий ценит потребление товара X меньше, чем предыдущий: так полезность первого жителя равна $$U_{1}=\sum \limits_1^\infty \frac{1}{2^t}$$
полезность второго равна полезности первого минус удовольствие от потребление товара X первого жителя в первую неделю. $$U_{2}=\sum \limits_1^\infty \frac{1}{2^t}-U_1(t=1)$$
Полезность третьего:
$$U_{3}=\sum \limits_1^\infty \frac{1}{2^t}-U_1(t=1)-U_2(t=2)$$
$$\text{...}$$

А) Докажите, или опровергните, что суммарная полезность Короля равна суммарной полезности всех жителей.

Б) Король решает взять налог со своих подданных забирая у каждого жителя его личную полезность от потребления товара X в первую неделю, На сколько % увеличилась суммарная полезность короля. И на сколько % уменьшилась суммарная полезность всех жителей?

Файлы: