На сайте с 2020 г. (блог)
Оглавление:
1)Простой случай.
1.1) первый способ
1.2) второй способ
1.3) третий способ
2)Два завода и FC
3)Убывающие MC
4)Постоянные MC
5)Комбинация постоянных и непостоянных

Представим, что вы производитель, располагающий несколькими заводами, (например двумя), Каждый завод имеет свою функцию издержек, перд вами стоит задача произвести Q $$(Q=q_1+q_2+...+q_i)$$как можно дешевле, каким-то образом распределить выпуск. Именно этому и посвящена задача про несколько заводов.

Простой случай

$$TC_1=q_1^2 \ \ \ TC_2=q_2^2$$

Данную задачу можно решить множеством способов.
$$\text{Способ №1}$$

Вспомним, что $$MC=TC'$$

$MC_1=2q_1$
$MC_2=2q_2$

Докажем, что если MC монотонно возрастают, то мы можем приравнять MC, с целью минимизировать издержки.

Пусть изначально мы производили K на первом заводе и L на втором заводе. Пусть мы распределим производство. Произведем $K+\epsilon$ на первом заводе и $L-\epsilon$ на втором заводе.

$$\Delta TC= \Delta TC_1 + \Delta TC_2$$ Как нетрудно убедиться $\Delta TC_1>0$ $\Delta TC_2<0$ $\Delta TC_1<\Delta TC_2 $ По модулю. Значит $$\Delta TC<0$$ Ч.Т.Д

$$MC_1=MC_2$$
$$q_1=q_2$$
$$Q=2q_1=2q_2$$
$$TC=TC_1+TC_2=(\frac{Q}{2})^2+(\frac{Q}{2})^2=\frac{Q^2}{2}$$

$$\text{Способ №2}$$

Записать общие издержки и проминимизировать: $$TC(Q)=TC(q_1)+TC(q_2) \to \text{min}$$

$$TC(Q)=q_1^2+q_2^2 \to \text{min}$$

$$q_2=Q-q_1$$

$$TC(Q)=q_1^2+(Q-q_1)^2 \to \text{min}$$

$$q_1^2+Q^2-2Qq_1+q_1^2=2q_1^2+Q^2-2Q \cdot q_1 \to \text{min}$$

$$4q_1-2Q=0 \to q_1=\frac{Q}{2}$$

Мы получаем тот же самый результат.

$$\text{Способ №3}$$

Нам все еще нужно минимизировать TC(Q)

запишем функцию в осях $q_1, q_2$ $q_1+q_2=Q$
$TC=q_1^2+q_2^2$

Зафиксируем некоторое Q, которое нам нужно произвести. Мы можем найти его из максимизации прибыли как пример. И подобрать такое соотношение q1 и q2, что б график TC лежал как можно ниже, а в оптимуме касался графика $q_1+q_2=Q$

Приравняем производные:

$$1=\frac{q_2}{\sqrt{TC-q_2^2}}$$
$$q_2=\sqrt{\frac{TC}{2}}$$
$$q_1=Q-\sqrt{\frac{TC}{2}}$$

$$TC(Q)=\frac{TC}{2}+(Q-\sqrt{\frac{TC}{2}})^2$$
$$TC=\frac{Q^2}{2}$$

Решив задачу тремя различными способами, мы получили одинаковый ответ.

Два завода и FC

Часто при производстве появляются постоянные издержки, связанные с закупкой оборудования или постройкой завода.

Рассмотрим такой пример $$TC_1=5q_1^2+9$$ $$TC_2=5q_2+5$$

Независимо от того, сколько мы производим на первом или на втором заводе мы всегда несем FC = 14 ден.ед

Запишем функцию издержек и проминимизируем её $$TC(Q)=5q_1^2+9+5q_2+5 \to \text{min}$$
$$q_1=\frac{Q}{2}=q_2$$
$$TC=\frac{5Q^2}{2}+14$$

раз уж мы и так и так несем FC, то задача эквивалентна прошлому случаю. ЕЕ так же можно попробовать решить одним из тремя способов.

Убывающие MC

Пусть MC монотонно убывают

Докажем, что нам всегда будет выгодно использовать только один завод.

для начала, построим графики MC

Для простоты, пусть у нас будут MC линейными (монотонно убывающими) функциями.

Если нам нужно произвести суммарное Q, которое меньше "H", то мы очевидно будем использовать первый завод, так как до точки H, в любой точке $ MC_1 < MC_2 $
После точки H, как видно из картинки $ MC_2 < MC_1 $ Давайте подумаем: "Выгодно ли нам переходить на новый завод?"
предположим мы хотим произвести восемь единиц продукции. При переходе на второй завод, мы теряем зеленую область, но зато приобретаем синюю область.

Теряем мы зеленую, так как, что бы произвести 8 единиц на новом заводе нам необходимо на нем понести издержки за первую, вторую и все предыдущие единицы продукции. До тех пор пока синяя область меньше зеленой, нам не выгодно производить на втором заводе

Предположим, что в какой-то точке синяя область стала равняться зеоленой, но тогда нам изначально без различно на каком из заводов производить. Как результат при любом Q мы всегда будем использовать только один завод.

Решим такую задачу.

TC $$TC_1=\sqrt{q_1}$$ $$TC_2=2 \sqrt{q_2}$$

$$MC_1=\frac{1}{2 \sqrt{q_2}}$$
$$MC_2=\frac{1}{\sqrt{q_2}}$$

$$TC(Q)=\sqrt{Q}$$ мы всегда используем первый завод

Постоянные MC

решим такую задачу. Есть два завода.

$$TC_1=3q_1$$
$$TC_2=4q_2$$

MC=const

Любая новая произведенная единица на первом заводе обойдется нам в 3 ден.ед, а на втором в 4. Вывод: всегда используем первый завод $TC(Q)=3Q$

Комбинация постоянных и непостоянных

Пусть на одном заводе у нас постоянные MC, а на другом заводе, $MC \neq const$

Пусть $$TC_1=5q_1$$
$$TC_2=q_2^2$$

$$MC_1=5$$
$$MC_2=2q_2$$

Если нам нужно произвести $Q$ такое, что Q меньше, чем точка пересечения MC1 и MC2.

то очевидно, что мы все произведем на первом заводе.

Если же нам нужно произвести, уже Q, который больше, чем точка пересечения MC, то мы произведем первые несколько единиц до точки пересеченя MC на первом заводе, а все остальное на втором.

Найдем точку пересечения. $5=2q_2$ $q-2=2,5$

$$ TC(Q)=
\begin{cases}
Q^2 \ \ \ \ \ \ \ \ {Q \leq 2.5}\\
5Q+2.5^2 \ \ \ {Q > 2.5}
\end{cases}$$