Председатель: «Итак, наконец предлагаю утвердить установку в нашем торговом центре сушилок модели 243А. Общая стоимость установки будет 40 тыс. рублей, расходы электроэнергии – примерно 4 рубля на каждого посетителя, который ими пользуется. Все согласны?»
Акционеры утвердительно качают головами
Василий Петрович (ВП): «Подождите, а я вот слышал, что модель 243Б потребляет в два раза меньше электроэнергии, чем модель 243А! С учётом того, что мы рассчитываем, что сушилками будет пользоваться не менее 10 тыс. человек в месяц, это значимая экономия, даже несмотря на то, что издержки по установке в два раза выше!»
1) Прав ли ВП, если акционеров интересует чистая приведённая стоимость, их коэффициент дисконтирования равен 0,8, и они рассчитывают, что торговый центр будет работать бесконечно долго, а первые покупатели ожидаются через месяц после установки сушилок?
Афанасий Григорьевич (АГ): «Попрошу, Василий Петрович, вы же не учитываете опыт наших коллег! Последние оценки показали, что покупатели готовы пользоваться моделью Б на 80% чаще, чем моделью А, так что тут никакая экономия электроэнергии не поможет».
2) Прав ли Афанасий Григорьевич?}
Константин Владиславович (КВ): «Афанасий Григорьевич, вы совсем забыли про то, что наша репутация зависит как раз от таких мелочей, как современное оборудование! Если вы посмотрите на пятый слайд презентации нашего архитектора, то увидите, что по недавним опросам спрос на продукцию торговых центров имеет вид $Q=143/P +0,1*A$, где Q - общий объём продаж в центре в у.е. , $P$ – средняя цена в центре в тыс. рублей, а $A$ – расходы на благоустройство в тыс. рублей. При этом магазины в среднем готовы продавать товары в объёме $Q=94+0,75P$, а на благоустройство уже потрачен 1 млн рублей. С учётом этого, всем, я полагаю, очевидно, что в таких условиях все дополнительные расходы на покупку более дорогой модели окупаются в первый же месяц.»
3) Прав ли Константин Владиславович? Окупится ли более дорогая модель в долгосрочном периоде?
$$TC_A=40+4*40=200$$ $$TC_B=80+4*20=160 \lt TC_A$$
Ответ: да, ВП прав.
$$TC_B=80+1,8*4*20=224>TC_A$$
Ответ: да, АГ прав.
$$a. 143/P+104=94+0,75P \longrightarrow D=100+429=23^2 \longrightarrow P=22, Q=110,5$$
$$\pi_A=0,8*22*110,5-40=1904,8$$
$$b.143/P+108=94+0,75P \longrightarrow D=196+429=25^2 \longrightarrow P=26, Q=113,5 $$
$$\pi_B=0,8*26*113,5-80=2280,8$$
Таким образом, прибыль при покупке модели Б существенно превышает прибыль от модели А. Ежемесячные расходы на дорогую модель ниже, чем на дешёвую, а выручка при этом выше, так что в долгосрочном периоде модель тем более окупится.
Ответ: да, прав; да, окупится.
1 случай
$Q \in [0;5] \Rightarrow q_2 \in [0;Q]$. $(10 - Q) \geq 5$, то есть вершина параболы выходит за допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля вплоть до вершины, то минимальное значение она принимает при $q_2 = 0$. То есть при $Q \in [0;5] TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$ Графическая иллюстрация:
2 случай
$Q \in [5;10] \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. $(10 - Q) \in [0;5]$, то есть вершина параболы входит в допустимую область для $q_2$. Поскольку функция издержек возрастает по $q_2$ от нуля до вершины, а затем убывает до $q_2 = 5$ то минимальное значение она принимает либо при $q_2 = 0$, либо при $q_2 = 5$, то есть на концах отрезка. Иными словами, необходимо сравнить издержки при $q_2 = 0 \Rightarrow q_1 = Q$ и при $q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5$. Графическая иллюстрация:
$q_2 = 0 \Rightarrow TC(Q) = \frac{Q^2}{2}$, ~$q_2 = 5 \Rightarrow q_1 = Q - 5 \Rightarrow TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$. Сравнив данные функции, получим:
$$TC(Q) = \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [5; ~7,5]\\
25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \in [7,5;~ 10] \end{cases}$$
3 случай
$Q \geq 10 \Rightarrow q_2 \in [0;5]$. При данных значениях $Q$ вершина параболы $(10-Q)$ меньше 0, следовательно функция издержек убывает по $q_2$ при всех допустимых значениях $q_2$, то есть минимум достигается при $q_2 = 5$. Таким образом, $TC(Q) = 25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2$ при $Q \geq 10$. Итого:
$$TC(Q)= \begin{cases} \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\
25 + \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
В таком случае
$$MC(Q)= \begin{cases} Q, & Q \in [0; ~7,5]\\
Q-5, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
Предложение фирмы можно найти графически:
К аналогичному результату можно прийти сравнивая прибыли на разных участках в зависимости от цены: $PR_1(p) = \frac{p^2}{2}$, ~ $PR_2(p) = p(p+5) - 25 - \frac{p^2}{2} = \frac{p^2}{2} + 5(p-5)$. При $p=5$ фирме безразлично, на каком участке находиться (производить $Q=5$ или $Q=10$). Предложение фирмы в таком случае:
$$Q_s(P)= \begin{cases} P, & P \in [0; ~5]\\
P+5, & P \geq 5
\end{cases}$$
Фирма использует оба цеха при $P \geq 5$.
2. $P_d = 10 - \frac{Q}{3}$, выручка монополиста $TR = 10Q - \frac{Q^2}{3}$. В таком случае прибыль запишется в виде:
$$PR(Q)= \begin{cases} 10Q - \frac{Q^2}{3} - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; ~7,5]\\
10Q - \frac{Q^2}{3} - 25 - \frac{1}{2}(Q-5)^2, & Q \geq 7,5
\end{cases}$$
Максимизируя получившееся выражение на соответствующих участках получим точки $Q = 6$ на первом и $Q = 9$. Сравнивая значения прибыли при данных объемах, получим, что $PR(6) = PR(9) = 30$. Таким образом, $PR_{max} = 30$ достигается при $Q = 6$ или $Q = 9$.
3. При $Q=6$ $P=8$, а при $Q = 9$ $P = 7$. Очевидно, что при потолке цены выше 7, максимальный объем проданного товара фирмой-монополистом равен 9 (т.к. при $P = 7$ фирма получает максимальную прибыль). По мере уменьшения потолка цены вплоть до пересечения с графиком $MC$, изменяется график предельной выручки монополиста (график предельной выручки обозначен красным цветом):
При данном значении потолка цены ($P_{max} = 6,25$) максимальная прибыль для фирмы-монополиста достигается при $Q=11,25$, что следует из сравнения площадей под графиками предельных издержек и предельной выручки. Несложно заметить, что данное значение выпуска является максимальным.
К данному результату можно было прийти аналитически, сравнивая прибыли при всех возможных значениях потолка цены. Откуда следует зависимость оптимального объема выпуска от потолка цены:
$$Q^{*}(P_{max})= \begin{cases} 30 -3P_{max}, & P_{max} \in [6,25;~7]\\
P_{max} + 5, & P_{max} \in [5;~6,25]\\
P_{max}, & P_{max} \in [0;~5]
\end{cases}$$
Таким образом, государство должно установить потолок цены $P_{max} = 6,25$. Будет продано $Q=11,25$
Функция счастья Александра имеет следующий вид:
$$U_A=-(\pi-\pi^*)^2-(i-i^*)^2,$$
где $\pi$ и $\pi^*$ - фактический и желаемый уровни инфляции, а $i$ и $i^*$ - фактическая и желаемая процентная ставка.
$$U_O=-(\pi-\pi^*)^2,$$
где $\pi$ и $\pi^*$ - фактический и желаемый уровни инфляции.
Экономика государства характеризуется следующими особенностями. Во-первых, любой глава Центрального банка (но не президент) устанавливает уровень инфляции и процентную ставку с учетом правила Тейлора:
$$i=2+1/2(\pi-\pi^*)$$
Кроме того, известны желаемые уровни инфляции и ставки процента: $\pi^*=4, i^*=20$.
Президент хочет, чтобы счастье жителей страны было максимальным. Это счастье задается следующей функцией:
$$H= \begin{cases}
-(\pi-\pi^*)^2-(i-i^*)^2, & \text{ если выбрана альтернатива 1 или 2}\\
-400, & \text{ если выбрана альтернатива 3}
\end{cases}
$$
Иначе говоря, демократическому населению не нравится, когда Центральный банк не является независимым.
Помогите президенту выбрать наилучший вариант назначения монетарных властей.
Из функции счастья $U_O$ ясно, что председатель выберет $\pi=\pi^*=4$. Тогда из уравнения Тейлора $i=2$. Счастье людей при альтернативе 2: $H=-324$.
В последнем случае счастье $H=-400$.
Получается, что наилучшим вариантом для населения страны является назначение молодого Яблочкова. Именно такое решение примет президент.
Чтобы разбогатеть, авантюристы - копатель и два караванщика - отправляются в поход за алмазами, добыча которых - нелегкое занятие, и каждый добытый алмаз (1 шт.) обходится в 25 гривен. Копатель может выбрать любое место вдоль дороги для лагеря, где он будет добывать алмазы. Алмазы передаются караванщикам, и те честно везут их в города для продажи, каждый караванщик везет алмазы в свой город. Однако, чтобы отправить один алмаз из лагеря в город, в котором караванщик его продаст, необходимо потратить $s^2$ гривен, где $s$ - расстояние до города в км (не обязательно целое). Копатель и два караванщика максимизируют суммарную прибыль.
а) Какое место выберет копатель для лагеря, какую максимальную прибыль получит команда, сколько алмазов будет отправлено из лагеря? Сколько алмазов будет продано в каждом городе, если издержки связаны только с добычей и транспортировкой? Считайте, что караванщики могут назначать разные цены в городах.
б) В городе $B$ появились разбойники. Пусть они узнали, где копатель собирается разбить лагерь, и хотят ограбить караванщика. Разбойники выбирают ближайшее место для засады, причем доля алмазов, которая достанется им от грабежа описывается функцией $min\{{\frac{S_1}{5}; \frac{S_2}{5}}\}$, где $S_1$ - расстояние от засады до лагеря, $S_2$ - расстояние от засады до ближайшего города. Копатель ничего не знает о разбойниках. Какое место выберут разбойники для засады? Ответьте на вопросы предыдущего пункта. Считайте, что украденные алмазы также учитываются в издержках на перевозку.
в) Пусть копатель тайно узнал, где разбойники собираются устроить засаду. При этом он уже договорился, сколько алмазов передаст каждому караванщику в лагере (как в пункте а)), и не может это изменить. Однако он может изменить место, где будет разбит лагерь. (Если он решит, например, разбить его ближе к месту засады разбойников, то разбойникам может достаться меньше алмазов, чем раньше). Ответьте на вопросы первого пункта.
Проведем замену $t = s - 5$, раскроем скобки. При этом если $s\in[0;10]$, то $t\in[-5;5]$:
$$2t^4 - 100t^2 - 8750 \to max_t$$
Или же:
$$f(a) = a^2 - 50a \to max_a,$$
где $a \in [0;25]$. Это парабола, ветви вверх, следовательно максимум в одном из концов отрезка: при $a = 0$. Следовательно $t = 0$, а значит $s = 5$. Итого, лагерь будет разбит ровно на середине дороги. Тогда $q_1 = q_2 = 75$, $PR^{max} = 5625$
б) Легко заметить, что максимальное количество награбленного для разбойников достигается ровно на середине между городом и лагерем. С этой точки зрения им безразлично, где встать: между городом $A$ и лагерем или между городом $B$ и лагерем. Но поскольку они выбирают ближайшее место к городу $B$, то они встанут в 2.5 км от города $B$. Суммарная прибыль авантюристов составит 3046,875.
в) Возможны три варианта нового расположения лагеря($s$):
1 случай. Новый лагерь находится ближе к городу $A$, чем старый ($s \in [0;5]$)
2 случай. Новый лагерь находится ближе к разбойникам ($s \in [5;7.5]$). Заметим, что если $s =7.5$, то разбойникам ничего не достается.
3 случай. Новый лагерь находится за разбойниками ближе к городу $B$ ($s \in [7.5; 10]$).
1 случай. В $A$ доедет 75 алмазов, в $B$ доедет только половина, но в издержках мы будем учитывать 75. Выручка в таком случае постоянна, необходимо минимизировать суммарные издержки на перевозку:
$$75s^2 + 75(10-s)^2 \to min_s \Rightarrow s^* = 5$$
2 случай. В $A$ доедет 75 алмазов, в $B$: $15s - 37.5$ (теперь разбойникам достается меньше, при $s =7.5$ все 75 алмазов доедут до $B$). Поскольку выручка в $A$ - константа, ее можно не учитывать, а значит:
$$-75s^2 - 75(10-s)^2 + (15s - 37.5)(125 - 0.5(15s - 37.5)) \to max_s \Rightarrow s^* = 7.5$$
Поскольку $s=5$ также входило в рассматриваемый промежуток, значит $s^* = 7.5$ лучше.
3 случай является менее оптимальным как с точки зрения издержек, так и с точки зрения украденных алмазов. Двигаться дальше к городу $B$ не выгодно.
Итого: $s^* = 7.5$. Разбойникам ничего не достанется. В каждый город доедет 75 алмазов, а прибыль составит $PR = 4687,5$.
(а) Определите, является ли данная пропорция обмена взаимовыгодной?
(б) Задайте аналитически кривые торговых возможностей обеих стран.
Оказалось, что страна А может «купить» технологический прогресс при производстве товара $x$. За производство технологического прогресса отвечают нейтральные ученые, не живущие в стране А, которые кроме новых технологий ничего производить не могут. КПВ страны А с учетом «купленного» прогресса имеет вид $ax+2y=60,a\in (0,1).$
(в) Задайте аналитически в зависимости от значений параметра a кривые торговых возможностей стран $A$ и $B$.
Предпочтения жителей страны $B$ устроены так, что они любят потреблять только товар $x$.
Обратим свое внимание отдельно на страну $A$. Набор товаров $(x,y)$, который после обмена со страной $B$ находится в распоряжении у страны $A$, хочет купить страна С, не желающая вести дела со страной $B$. Страна $C$ платит стране $A$ 2 у.е. за одну единицу товара $x$ и 3 у.е. за одну единицу товара $y$. Соответственно, выручка страны $A$ имеет вид $u(x,y)=2x+3y.$
Нейтральные ученые работают не бесплатно при производстве технологического прогресса. Суммарная стоимость их работы, которую полностью оплачивают жители страны $A$, если производится прогресс на уровне $a$, равна:
$$\displaystyle \frac{125}{a} +20a - 145 ~~ y.e.$$
(г) Какой уровень прогресса выберут жители страны А, если их цель – максимизация дохода?
(б) При осуществлении торговли страна $A$ произведет 60 единиц товара $x$, однако обменять сможет только 40, так как страна $B$ производит максимум 40 единиц товара $y$. Таким образом, КТВ страны $B$ задается соотношением $y=40-x$. КТВ страны $A$ описывается ломаной линией в связи с ограничениями на обмен:
$$\displaystyle
y=
\begin{cases}
50-\displaystyle\frac{x}{2}, x \in [0,20]\\
60-x, x \in [20,60]
\end{cases}
$$
(в) В условиях технологического прогресса в стране $A$ будут только расти производственные возможности для товара $x$, а обменивать страна $A$ сможет все равно только 40 единиц, из-за ограничений по производству товара y страной $B$. Таким образом, КТВ страны $B$ не изменится, а КТВ страны $A$ будет иметь вид:
$$\displaystyle
y=
\displaystyle \begin{cases}
70-20a- \displaystyle\frac{ax}{2}, x \in [0,\displaystyle\frac{60}{a}-40]\\~\\
\displaystyle\frac{60}{a}-x, x \in [\displaystyle\frac{60}{a}-40,\displaystyle\frac{60}{a}]
\end{cases}
$$
(г) Отметим для начала, что жители страны $B$ в силу своих предпочтений будут согласны на любое предложение относительно обмена, так как это обеспечивает им большее количество товара $x$.
Максимум выручки страны $A$ при любом значении параметра a будет достигаться в точке излома КТВ. Ее координаты $(\displaystyle\frac{60}{a}-40,40)$.
Отметим также, что функция издержек по производству прогресса соответствует здравому смыслу. Она возрастает при увеличении прогресса, то есть при изменении a от 1 до 0. Кроме того, она стремится к бесконечности при максимально возможном уровне прогресса, то есть при $a\rightarrow0$, что отражает то, что слишком дорого бесконечно вкладываться в прогресс. Теперь найдем оптимальный уровень прогресса:
$
u(a)=2(\displaystyle\frac{60}{a}-40)+3*40- \frac{125}{a}-20a+145 = \displaystyle\frac{120}{a}+40- \frac{125}{a}-20a+145 = 185-\frac{5}{a}-20a
$
Максимум этой функции достигается при $a=0,5$. Суммарная выручка при этом равна 165.
Мороженое на рынок государства Дзета поставляет единственный поставщик – Мистер Эльфио. Функция издержек на производство мороженого состоит из двух частей: закупка импортного сырья и прочие издержки. Для 1 кг производства мороженого требуется закупить 0.5 кг импортного сырья. Стоимость сырья на мировом рынке составляется 2 уены за кг. Прочие издержки равны $0,004q^2$ френков, где $q$ – количество произведенного мороженного в килограммах.
Мистер Эльфио может продавать мороженое не только на внутреннем рынке, но и на мировом рынке по цене 7 уен за кг мороженого. На мировом рынке по такой цене он может продать произвольное количество мороженого. (При этом импортировать готовый товар ему запрещено введенными ограничениями – Гномы хотят потреблять только отечественные продукты).
Сегодня Мистер Эльфио планирует производство мороженого на следующий месяц. Из-за торговых войн Мистер Эльфио не знает каков будет курс национальной валюты в следующем месяце, но он обязательно должен выбрать объем производства на следующий месяц именно сегодня, изменить его не получится. (Это связано с необходимостью зарезервировать мощности, оформить на таможне ввоз сырья, оплатить электричество, оплатить зарплату и т.д.).
Мистер Эльфио считает, что валютный курс может колебаться и в следующем месяце примет одно из двух значений:
При этом в следующем месяце Мистер Эльфио может продать не весь товар, который был произведен. Хранить товар, а также сырье (в ожидании более выгодных цен) не имеет смысла, поскольку мороженое уже успеет испортиться и его придется утилизировать.
(а) Какое количество мороженого Мистер Эльфио решит производить в следующем месяце, если он максимизирует ожидаемую прибыль, которую получит?
(б) Какое количество товара и на какие рынки будет продано при развитии каждого из сценариев? Какая прибыль будет получена при реализации каждого сценария? Приведите объяснение получившейся ситуации.
2. Оптимум производства лежит между оптимумами производства, если бы мы заранее знали величину валютного курса. В этом нетрудно убедиться, рассчитав оптимальные значения для каждого из случаев и затем сравнив с полученным ответом ниже. Однако это утверждение не является ключевым и отражает некоторую экономическую интуицию.
3. Вычислим несколько промежуточных значений:
$
Q=100*(20-p)=2000-100p\\
p=20-0,01Q\\
MR_\text{внутренний}=20-0,02Q\\
MR_\text{внешний}(e=1)=7 \\
MR_\text{внешний}(e=2)=14 \\
$
Далее рассмотрим каждый из сценариев. (При этом помним, что $Q$ мы фиксируем заранее)
1) $e=1$:
Оптимум на локальном рынке: $q_\text{внутр}=650,P=13,5$
Тогда оптимум на международном рынке вычисляется как:
$q_\text{межд}=Q-650$
Прибыль можно записать следующим образом:
$Pr(e=1)=650*13,5+7(Q-650)-Q-0,004Q^2=4225+6Q-0,004Q^2 $
2) $e=2$:
Оптимум на локальном рынке: $q_\text{внутр}=300,P=17$
Прибыль можно записать следующим образом:
$Pr(e=2)=300*17+14(Q-300)-2Q-0,004Q^2=900+12Q-0,004Q^2 $
Мы понимаем, что не знаем точно, каков будет валютный курс. Для расчета величины прибыли с учетом вероятности наступления данных событий используется математическое ожидание прибыли, $E(Pr)$, то есть в некотором смысле "средняя сумма", которую будет получать Мистер Эльфио. Для ее расчета необходимо умножить величину прибыли при каждом из событий на вероятность его наступления. Запишем математическое ожидание прибыли и промаксимизируем его:
$ E(Pr)=p_1*Pr_1+p_2*Pr_2=0,6*(4225+6Q-0,004Q^2)+0,4*(900+12Q-0,004Q^2)= 2895+8,4*Q-0,004 Q^2$
Находим максимум параболы с ветвями вниз: $Q^*=1050$.
1. В начале года правительство анонсирует, что будет добиваться инфляции и безработицы на уровне соответственно $\pi_0$ и $u_0$. Предполагая, что население верит в успех политики и рационально формирует свои инфляционные ожидания, определите оптимальные значения $\pi_0$ и $u_0$ с точки зрения правительства.
2. Представим теперь, что сделав анонс и убедив население, что инфляция в стране по итогам года составит $\pi_0$, правительство передумало и в тайне от всех решило пересчитать целевые показатели. Чему равны оптимальные значения инфляции $\pi_1$ и безработицы $u_1$?
Как скажется такой обман на потерях экономики? Объясните.
3. Из-за утечки информации из министерства финансов население узнало о новых целевых значениях правительства и успело обновить свои инфляционные ожидания. Понимая, что прежнего не вернуть, правительство решило вновь пересчитать целевые значения, исходя из новых инфляционных ожиданий. Приведет ли это к росту или падению инфляции $\pi_2$ и безработицы $u_2$?
4. Последовавшие новые утечки заставили население серьезно призадуматься. Постепенно граждане пришло к печальному выводу, что какие бы инфляционные ожидания $\pi^e$ они не сформировали, правительство после этого выберет оптимальную с его точки зрения инфляцию вместо обещанной. Не доверяя правительству и не желая быть обманутым, население страны теперь формирует свои инфляционные ожидания таким образом, чтобы они совпали с реальной инфляцией, которую выберет правительство после пересмотра целей в конце года. Найдите это равновесное значение инфляции $\overline{\pi}=\overline{\pi^e}$ и соответствующую безработицу $\bar{u}$. Будут ли потери экономики выше или ниже в этом случае чем в пункте (1), когда правительство следовало своим обещаниям? Почему?
5. Борясь с непоследовательной политикой, государство решает ввести “политику по правилам”: правительство публично заявляет в начале года, что если ему не удастся удержать инфляцию на уровне $\pi_0$, то оно в полном составе уйдет в отставку. Поскольку уходить в отставку министрам не хочется и населению об этом известно, в обществе устанавливается консенсус, что инфляция действительно составит $\pi_0$. Однако неожиданный рост мировых цен на нефть в середине года привёл к сдвигу совокупного предложения $\pi=10+\pi^e-u$.
Сравните потери экономики в случае, если правительство будет придерживаться данного обещания, и если оно его нарушит.
6. На основе предыдущего анализа сформулируйте, в чем преимущества и недостатки “политики по правилам”, когда правительство во что бы то ни стало добивается уровня инфляции, аносированного в начале года.
7. Что может заставить правительство следовать “политике по правилам” в реальной экономике?
2. Поскольку население ориентируется на $\pi^e=\pi_0=0$, функция совокупного предложения равна $\pi = 6 − u$. Подставляя это ограничение в целевую функцию правительства, получаем $L = (6 − u)^2 + u^2$. Минимизируя с помощью производной или нахождения вершины параболы, находим $u_1 = 3, \pi_1 = 3$. Таким образом, $L_1 = 18$, в то время как $L_0 = 36$. Обман государства выгоден экономике, поскольку позволяет существенно снизить безработицу путем малого увеличения инфляции.
3. Теперь $\pi^e=\pi_1=3$ и функция совокупного предложения $\pi = 9 − u$. Соответственно правительство минимизирует $L = (9 − u)^2 + u^2$ и выбирает $u_2 = \pi_2 = 4.5$. Таким образом, равновесные безработица и инфляции будут выше, чем до утечки информации.
4. После того, как население нацелилось на инфляцию $\overline{\pi}$, функция совокупного предложения становится $\pi=6+\bar{\pi}-u$. Правительство соответственно минимизирует $L = (6 +\bar{\pi} − u)^2+u^2$ по переменной u и выбирает $\bar{u} = 3 + \bar{\pi}/2$. Так как равновесное значение инфляции равно ожидаемому, $\pi=\bar{\pi}$ и согласно функции совокупного предложения $\bar{u}= 6$. Из двух последних выражений следует, что $\bar{\pi}= 6$. Потери экономики при этом равны $\bar{L}= 72$, что выше чем $L_0 = 36$. Население знает, что государство склонно выбирать более высокую инфляцию, чем обещало, чтобы снизить безработицу в экономике, а потому изначально закладывает высокие инфляционные ожидания. Если государство выберет инфляцию ниже ожидаемой, это приведет к росту безработицы. В результате правительству приходится выбирать высокую инфляцию без всякого выигрыша с точки зрения безработицы.
5. Поскольку население доверяет правительству, $\pi^e=\pi_0=0$ и функция совокупного предложения равна $\pi = 10 − u$. Если правительство действительно следует своему обещанию, то $\pi = 0, u = 10$ и $L = 100$. С другой стороны, если бы правительство решило отклониться от исходной политики и минимизировало потери экономики $L = (10 − u)^2 + u^2$, то оно бы молгло имплементировать $\pi = 5, u = 5$ и L = 50. Таким образом, с точки зрения общества, было бы лучше нарушить данное правительством обещание.
6. С одной стороны, преимущество политики по правилам заключается в том, что она позволяет избавиться от завышенной инфляции из пункта (4), которая возникает из-за недоверия населения к правительству. С другой стороны, политика по правилам не позволяет правительству реагировать на неожиданные шоки в экономике в пункте (5), что чревато большими издержками.
7. Во-первых, можно принять законы, которые напрямую регламентируют целевую инфляцию. При этом важно, чтобы правительство не могло легко отменить подобный закон. Во-вторых, для того, чтобы правительство следовало своим обещаниям, часто достаточно одной угрозы. Например, если население верит правительству до первого обмана, а после этого полностью теряет доверие и ожидает всегда высокую инфляцию, то государству может быть не выгодно отклоняться от исходной политики.
Егор закончил курсы по финансам и знает, что свое состояние можно приумножить, если грамотно распорядиться своими активами. Только сейчас (вечером в воскресенье) у него есть уникальная возможность купить акции некоторой компании $Dengoff ~Group$ по цене 1 рубль за акцию.
В дальнейшем купить эти акции будет невозможно. Количество акций не обязательно целое. На протяжении первой недели Егор сможет продать 1 акцию только за 0,5 рублей, зато на протяжении второй недели - за целых 2 рубля. Еще у юного финансиста есть счет в некотором $Credit ~Svas$ банке, где он может взять кредит или же оформить вклад по ставке 25% в неделю. Егор может осуществлять операции в банке только по утрам в понедельник. Егор все свои деньги тратит на мятную жвачку, которая всегда стоит 1 руб за штуку. Количество штук не обязательно целое. Егор не расстраивает маму, поэтому, когда она приедет, у него не может быть долгов перед банком.
1) Функция полезности Егора $U(C_1, C_2) = C_1^2 \cdot C_2$, где $C_1$ - потребленная жвачка в течение первой недели, $C_2$ - потребленная жвачка в течение второй недели. Егор максимизирует полезность. Изобразите в координатах $C_1, C_2$ возможности Егора. Сколько жвачки купит Егор в течение каждой недели, сколько акций купит и будет ли пользоваться возможностями банка и, если будет, то как?
2) В $Credit ~Svas$ банке произошли перемены, и теперь максимальная сумма взятого в течение первой недели кредита не может превышать половины дохода, получаемого от мамы в начале недели. Изобразите в координатах $C_1, C_2$ все доступные Егору комбинации уровней потребления в первом и втором периодах.
3) Ответьте на вопросы первого пункта.
2). При $C_1 \leq 50$ имеем старое бюджетное ограничение: Егор покупает 100 акций и берет кредит на первой неделе (наклон 1,25). При $C_1 \geq 50$ Егор не может брать кредит, поэтому, чтобы увеличить потребление в первом периоде, он вынужден отказываться от купленных акций (наклон 2). Больше, чем 150, в первом периоде Егор потребить не может: он тратит 100 и берет кредит в размере 50, выплачивает 62,5 на второй неделе. Таким образом, у него остается 37,5 на второй неделе.
3) $C_1^* = 112,5$, $C_2^* = 112,5$
Берёт кредит в размере 50, покупает 37,5 акций.
Встретив в пятницу вечером изрядно покусанного, но довольного Кролика, Винни-Пух сообразил, что их поход за медом может оказаться гораздо труднее, чем казалось изначально. Поэтому он отправился к Пятачку и предложил тому заключить сделку: Винни-Пух заберет себе ровно 8 баночек из всего собранного ими меда (в том числе весь мед, если 8 баночек не наберется), а остальное достанется Пятачку. Взамен этого он прямо сейчас готов отдать Пятачку 3 баночки из собственной кладовой. Пятачку такой договор пришелся по душе, однако он добавил, что Винни-Пух всегда может отказаться от предложенного условия, доплатив ему еще две баночки.
(а) Изобразите графически чистый доход Винни-Пуха, выраженный в баночках меда, в зависимости от величины собранного угощения. Сколько баночек меда необходимо собрать, чтобы заключение сделки для Винни-Пуха было целесообразным?
Встретив в субботу вечером слегка поправившегося и по-прежнему довольного Кролика, Пятачок осознал, в какое неприятное положение поставила его заключенная сделка. Поэтому он отправился к Винни-Пуху и предложил добавить пункт, согласно которому доля Пятачка будет составлять 20\% от общего числа собранных баночек меда. Взамен этого он прямо сейчас готов отдать Винни-Пуху одну баночку из своих запасов. Винни-Пуху такой договор пришелся по душе, однако он добавил, что Пятачок всегда может отказаться от предложенного условия, доплатив ему еще одну баночку. В случае, если каждый захочет воспользоваться своим условием, первоочередным будет именно предложение Пятачка.
(б) Изобразите графически чистый доход Пятачка, выраженный в баночках меда, в зависимости от величины собранного угощения, исходя из того, что Винни-Пух будет действовать в строгом соответствии с решением предыдущего пункта. Сколько баночек меда необходимо собрать, чтобы заключение новой сделки для Пятачка было целесообразным?
Изломы графика в точках $(8;5)$ и $(20;5)$. Использовать опцию сделки имеет смысл, если собрано от $0$ до $20$ баночек меда.
(б) Рассмотрим варианты Пятачка:
Соблюдать сделку – тогда его чистый доход составит $3-1+0.2Q=2+0.2Q$ баночки.
Не соблюдать сделку – тогда его чистый доход составит $3-1-1+Q-8=Q-7$ баночек для $8\leqslant Q\leqslant 20$ (Винни-Пух пользуется своим правом) и $3-1-1+2+0.5Q=0.5Q+3$ для $Q\geqslant 20$ (Винни-Пух не пользуется своим правом). При $Q\leqslant 8$ Пятачок не будет получать меда вообще, этот случай из рассмотрения убираем. Поскольку предложение Пятачка превалирует, решение Винни-Пуха кроме вышеупомянутого разделения нас ничем не интересует.
Изломы в точках $(11.25;4.25)$ и $(20;13)$. Использовать опцию сделки имеет смысл, если собрано от $0$ до $11.25$ баночек меда.
Предположим, жители острова каждое утро независимо друг от друга принимают решение о подключении к сети или отключении от нее. Помимо этого каждое утро они могут наблюдать точное количество пользователей, подключившихся к сети в предыдущие дни. Принимая решение, каждый житель предполагает, что его соплеменники будут действовать так же, как они это делали в прошлом периоде. В день появления сети единственным, кто к ней подключился, был смелый вождь племени $(i=1)$.
(а) Для каждого натурального значения параметра $A$ определите, на какой день после появления сети к ней подключатся все жители острова.
Вскоре после описанных событий на острове появился мессенджер, ничуть не уступающий существующей сети по всем потребительским характеристикам. Мнения жителей разделились: ровно половина отдала предпочтение старой сети, а все остальные прельстились бесплатными стикерами и перешли на пользование новым мессенджером. Соответственно, теперь каждое утро жители независимо друг от друга принимают решение о том, каким способом они будут коммуницировать в этот день, или не будут этого делать вовсе.
(б) Предположим, что $A=0$. Покажите, как будет меняться количество пользователей обеих сетей, начиная с первого дня после появления нового мессенджера.
(в) Исходя из условия задачи, предположите, что экономисты подразумевают под термином {\it{сетевой эффект}}. Приведите пример блага (кроме социальных сетей), в отношении которого может быть применим этот термин. Приведите пример не более двух отрицательных последствий сетевого эффекта для потребителей блага.
Все остальные жители будут оценивать полезность
$$U_i=i\cdot (n_1+1-1)-A=i\cdot(501-A)-A$$
Предлагается следующее: ввиду крайне быстрого роста числа пользователей сети поймем, при каких $A$ она не будет заполнена на второй день. Это можно интерпретировать как значения $A$, при которых на второй день вождь, как житель с наименьшим $i$, не подключится:
$$501-A-A<0\to A>250.5\to A\geqslant 251$$
Убедимся: $n_1(A=251)=250\Longrightarrow n_2(A=251):i\cdot 250-251\geqslant 0\Longrightarrow i_{\max}=2$
Значит, при всех $A\leqslant 250$ сеть заполнится на второй день.
На третий день задача неподключенного жителя будет выглядеть так:
$$U_i=i\cdot\left(500-\left\lfloor\dfrac{A}{501-A}\right\rfloor\right)-A\geqslant 0$$
Снова найдем наименьшее значение, при котором не подключится вождь. Без ограничения целочисленности получаем неравенство $$500\cdot 501-500A-A-501A+A^2\geqslant0\to A^2-2\cdot 501A+500\cdot 501\geqslant 0$$
$$A^2-2\cdot 501A+501^2-501\geqslant 0$$
$$501-A\leqslant \sqrt{501}\Longrightarrow A\geqslant 501-\sqrt{501}\Longrightarrow A\geqslant 501-22=479$$
Проверим $479$: $n_1=22,n_2=500-\left\lfloor\dfrac{479}{22}\right\rfloor=500-21=479$ - на третий день вождь подключится.
Понятно, что $A$ надо увеличить
Проверим $480$:
$n_1=21,n_2=500-\left\lfloor\dfrac{480}{21}\right\rfloor=500-22=478$ - на третий день вождь не подключится.
Ответ: при $0\leqslant A\leqslant 250$ на второй день
при $251\leqslant A\leqslant 479$ на третий день
при $480\leqslant A\leqslant 499$ на четвертый день
при $500\leqslant A$ никогда
(б) Каждый из половины пользователей сети на следующий день захочет стать $251$-ым пользователем мессенджера и наоборот. Соответственно, каждый житель племени будет ежедневно менять способ коммуникации, однако на количествах пользователей сети и мессенджера это не отразится.
(в) Согласно определению, сетевой эффект - эффект в экономике и бизнесе, который пользователь товара или услуги оказывает на ценность этого продукта или услуги для других пользователей.
(а) В данный момент государством установлен налоговый сбор в размере 25% от цены производителя за каждую единицу проданной продукции. Для каждого производителя определите уровень выпуска, прибыль и величину налоговых сборов, сложившиеся при таких условиях.
(б) Государство рассматривает возможность введения линейной шкалы налогообложения вида $t(q_i )=aq_i+b, \; i=1,2$ таким образом, чтобы при этом величина налогового сбора с каждого производителя осталась на прежнем уровне. Существует ли такая шкала? В случае утвердительного ответа на этот вопрос найдите все подходящие комбинации параметров $a$ и $b$.
(б) Новая задача производителя:
$$Pr_i=8q_i-TC_i(q_i)-T(q_i)=8q_i-TC_i(q_i)-aq_i-b \to \max_{(q_i)}$$
$$Pr_1'=8-q_1-a=0$$
$$Pr_1'=8-\dfrac{q_2}{2}-a=0$$
Либо через вершину параболы.
Тогда налоговые сборы соответственно равны
$$T_1=(8-a)a+b=12$$
$$T_2=2(8-a)a+b=24$$
Очевидно, $(8-a)a=12$, откуда $b=0$. Корни квадратного уравнения на $a$ равны соответственно $2$ и $6$. Тем самым вводится фиксированный налог в размере $2$ или $6$ в расчете на единицу произведенной продукции.
Как и в любом нормальном классе, у ребят различаются предпочтения в вопросе того, где и с кем сидеть, ведь кто-то любит сидеть сзади и болтать с соседом по парте, а кому-то безразлично, где сидеть, лишь бы списать удалось. Предпочтения ребят устроены не так уж и просто: к примеру, для Миши в первую очередь важно сидеть вместе с Антоном (назовём это желанием 1 степени важности), чуть меньше его волнует то, что он любит сидеть сзади (желание 2 степени важности), и еще чуть меньше – то, что он любит сидеть у прохода (желание 3 степени важности), потому что часто выбегает попить. То есть для Миши лучше сидеть с Антоном спереди, чем с Колей или Сережей сзади, а если Мише удаётся сидеть вместе с Антоном, то лучше сзади (даже у окна), чем спереди, и т.д.
Предпочтения всех опоздавших (где и с кем сидеть) описываются следующим образом:
Будем называть итоговую рассадку школьников неэффективной, если опоздавшие могут перераспределить между собой эти 4 места так, чтобы хотя бы одному из них стало лучше, а остальным – не хуже. В противном случае рассадку будем называть эффективной.
(a) Приведите пример неэффективной рассадки и обоснуйте её неэффективность. Приведите пример эффективной рассадки и обоснуйте её эффективность. Сколько всего существует эффективных и неэффективных рассадок?
Взаимодействие между мальчиками происходит последовательно: первым в 9:05 приходит Миша и занимает какое-то место. Затем в 9:20 прибегают Коля и Антон, Мальчики договариваются о том, кто из них куда сядет, причем если они захотят сесть на одно и то же место, то Коле придётся уступить Антону и выбрать другое место, потому что он зачастую у него списывает и не хочет с ним спорить лишний раз. Наконец, в 9:30 прибегает Серёжа – самый сильный мальчик в классе, который без промедления занимает единственное оставшееся свободное место. Однако если Серёже не понравится это место, то он может быстро поменяться своим местом с любым из опоздавших.
(б) Все опоздавшие действуют рационально, зная о порядке взаимодействия и о предпочтениях других. Определите, может ли Миша в итоге оказаться сзади? Как в итоге рассядутся мальчики? Обязательно ли итоговая рассадка будет эффективной?
1) Антон сзади не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Коля (Сережа) спереди, Антон может поменяться с ним.
Антону станет лучше (сядет вперед), и Коле (Сереже) станет лучше (сядет назад), и Мише станет лучше (будет с Антоном), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).
2) Сережа спереди у окна, Коля спереди у прохода, Антон сзади с Мишей: 2.
Сережа может поменяться местами с Колей, и Сереже станет лучше (сядет у прохода), а всем остальным станет не хуже.
3) Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у окна, а Коля - у прохода: 2.
Сережа может поменяться с Колей, Сереже станет лучше (сядет справа), Коле не станет хуже, а Антону с Мишей не стало хуже, так как они остались на своих местах.
4) те, где Антон спереди не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Миша сзади, а Коля (Сережа) спереди, значит Миша может поменяться с Колей (Сережей) местами, и Мише станет лучше (сядет с Антоном), и Коле (Сереже) (сядет сзади), и Антону станет лучше (будет с Мишей), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).
Эффективные рассадки: $2+1+1=4$.
Чтобы доказать эффективность рассадки, необходимо продемонстрировать, что при любом изменении местоположения ребят хотя бы одному из них станет хуже.
1) те, где Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у прохода, а Коля сзади у окна: 2.
Докажем вначале, что для обоих случаев нельзя пересаживать Сережу и Колю со своих мест: до пересадки Сережа сидит сзади у прохода с Колей - наилучшее возможное расположение для него, поэтому если в результате пересадок как-то изменятся места Сережи или Коли, то Сереже гарантированно станет хуже.
Осталось рассмотреть возможность поменять местами только Мишу с Антоном спереди: если это сделать, то тому, кто сидел до пересадки у прохода, станет хуже.
Таким образом, данные расположения эффективны.
2) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у окна, Миша сзади у прохода: 1.
Если в результате пересадки как-то изменится положение Миши и Антона, то Мише станет хуже, потому что сейчас для него наилучшее возможное расположение.
Осталось рассмотреть возможность поменять спереди местами Колю с Сережей, но тогда станет хуже Сереже.
Данное расположение также эффективно.
3) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у прохода, Миша сзади у окна: 1
Если в результате пересадки Миша окажется спереди, то ему станет хуже.
Если в результате пересадки Антон окажется спереди, то Мише станет хуже.
Если поменять местами Мишу с Антоном, то хуже станет Антону (окажется у окна).
Значит, осталось рассмотреть перестановку Сережи с Колей: Сережа окажется не у прохода - ему станет хуже.
Данное расположение также эффективно.
(б) Взаимодействие стоит воспринимать как динамическое: сначала место выбирает Миша, потом - Антон, только потом - Коля (так как при совпадении желаний Антона и Коли место отдается Антону, то взаимодействие между ними двумя можно трактовать как последовательное), и в конце - Сережа выбирает одно место для себя, а школьник, на место которого он садится, попадает на оставшееся свободное (либо Сережа занимает оставшееся свободное место).
Докажем несколько утверждений последовательно, чтобы ограничить число возможных равновесий (это всего лишь один из возможных путей решения).
(1) Сережа всегда сядет и окажется сзади у прохода:
Это местоположение для него лучше всего независимо от того, кто будет его соседом, то есть он не будет садиться ни на какое другое место – это заведомо ухудшит его положение.
(2) Антон не окажется на заднем ряду:
Для Антона важнее всего оказаться спереди, поэтому если мы покажем, что для любого выбора места Мишей Антон сможет оказаться спереди, то так и произойдёт. Куда бы Миша ни сел, на переднем ряду в любом случае останется хотя бы 1 свободное место. Если Антон займёт его, то сместить его сможет только Сережа, который не будет этого делать в силу утверждения (1).
(3) Миша сядет на место спереди у прохода и останется на нём:
Миша понимает, что Антон, действуя рационально, в итоге всегда окажется спереди. Поскольку Миша выбирает первым, покажем, что он может добиться наилучшего возможного для себя при этих условиях расположения (с Антоном, у прохода - сзади Миша вместе с Антоном оказаться не может никак исходя из предыдущего доказанного утверждения) тогда и только тогда, когда он изначально сядет на переднее место у прохода.
1) Если он сядет спереди у прохода, то исходя из утверждения (1) Антон окажется в итоге спереди у окна. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
2) Если он сядет спереди у окна, то исходя из утверждения (1) Антон окажется спереди у прохода. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
3) Если он сядет сзади у окна, то Сережа не будет смещать его, и в итоге Миша окажется сзади, а Антон - спереди.
4) Если он сядет сзади у прохода, то Сережа сместит его на оставшееся свободным место после выбора Антона и Коли. Если при этом Антон с Колей сядут спереди, то Миша окажется сзади, а Антон – спереди. Если Антон сядет сзади у окна, то Миша в итоге окажется спереди (его пересадит Сережа, а Антон – сзади). Если Антон сядет спереди, а Коля – сзади, то в итоге Миша попадёт на оставшееся свободным место спереди рядом с Антоном, но так как они оба в таких условиях хотят сидеть у прохода, то Антон сядет спереди у прохода и останется там. В итоге Миша будет спереди у окна с Антоном.
Из (1), (2) и (3) утверждений однозначно следует, что спереди у прохода сядет и окажется в итоге Миша, спереди у окна окажется в итоге Антон, а сзади у прохода сядет и окажется Сережа. Чтобы оказаться спереди у окна после того, как Миша сел спереди у прохода, Антону нужно сесть либо спереди у окна (тогда Коля займет любое место на заднем ряду и окажется сзади у окна), либо сзади у прохода (тогда Коля сядет сзади у окна и останется там, что для него лучше, чем сесть спереди у окна и остаться там, значит, Антон в итоге будет пересажен Сережей на место спереди у окна). Если же Антон сядет сзади у окна, то Сережа не сместит его оттуда, и Антон останется сзади.
Значит, в равновесии возможны следующие варианты взаимодействия:
1) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел спереди у окна, Коля сел сзади у прохода или у окна, после чего Сережа занял место сзади у прохода, а Коля оказался сзади у окна.
2) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел сзади у прохода, тогда Коля сядет сзади у окна, а Сережа сместит Антона вперед к окну и окажется сзади у прохода.
В обоих вариантах в итоге спереди у окна сидит Антон, спереди у прохода – Миша, сзади у окна – Коля, сзади у прохода – Сережа. Эта итоговая рассадка эффективна.
Как-то утром бедняк, купаясь в лучах весеннего солнца, вдруг понял, что лето, по всей видимости, выдастся крайне благоприятным, а тогда губернатор может установить цену на хлеб ниже ожидаемого уровня. Он отправился к кулаку и попросил того заранее обговорить детали сделки и утвердить закупочную цену на уровне 100 монет за мешок. Кулак готов согласиться на это условие, если бедняк сиюминутно заплатит ему 75 монет в качестве компенсации возможных потерь. При этом за бедняком сохранится право расторгнуть договор, но если он откажется продать кулаку весь собранный хлеб, ему придется заплатить штраф в размере 100 монет.
(а) Предположим, осенью бедняк собрал 10 мешков хлеба. Изобразите зависимость чистого дохода бедняка от утвержденной цены в случае своевременного заключения сделки. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?
Как-то летом в уезде проводилась ярмарка, на которой был представлен новейший образец инструмента для обработки земли. Кулак справедливо ожидает роста производительности крестьян, однако опасается скептически настроенного губернатора, который, по его предположениям, может утвердить слишком высокую закупочную цену. Поэтому он предлагает бедняку встречную сделку: утвердить закупочную цену на уровне 80 монет за мешок. Бедняк готов согласиться на это условие, если кулак сиюминутно заплатит ему 50 монет в качестве компенсации возможных потерь. При этом за кулаком сохранится право расторгнуть договор, но если он вовсе откажется закупать хлеб у бедняка, ему придется заплатить штраф в размере 100 монет. В случае, если каждая сторона захочет предложить свой вариант сделки, решающим по праву первого будет предложение бедняка.
(б) Предположим, для удовлетворения своих потребностей кулаку необходимо ровно 10 мешков хлеба. Изобразите зависимость чистых расходов кулака от утвержденной цены в случае заключения только новой сделки. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?
(в) Изобразите зависимость чистого дохода бедняка от утвержденной цены в случае заключения обеих сделок, считая, что кулак будет действовать строго в соответствии с решением предыдущего пункта. При каких значениях утвержденной цены заключение сделки является целесообразным?
У кулака имеется три варианта: покупать хлеб у губернатора по цене выше утвержденной, покупать хлеб у бедняка по утвержденной цене и покупать хлеб у бедняка по цене сделки. И снова второй вариант строго доминирует первый.
В случае покупки хлеба у губернатора чистые расходы кулака составят $11p+150$.
В случае покупки у бедняка по утвержденной цене расходы составят $10p+150$.
В случае покупки у бедняка по цене сделки расходы составят $10\cdot 80+50=850$.
Строим графики и выбираем нижнюю огибающую:
Излом в точке $(70;850)$. Использовать сделку имеет смысл при $p\leqslant 70$.
(в) Разбиваем ось на три участка:
При $p\leqslant 70$ кулак будет готов заключить свою сделку, следовательно, он освобожден от уплаты штрафа. Доход бедняка составит $1000-75+50=975$ монет.
При $70\lt p\leqslant 110$ кулак будет хотеть нарушить свою сделку, следовательно, он должен будет уплатить штраф. Доход бедняка составит $1000-75+50+100=1075$ монет.
При $p\geqslant 110$ никто не захочет зключать сделку, следовательно, оба заплатят штраф. Доход бедняка составит $10p-75-100+50+100=10p-25$ монет.
Строим графики и верхнюю огибающую:
Изломы в точках $(70;975)$, $(70;1075)$, $(110;1075)$. Относительно вертикального участка возможны следующие интерпретации:
Некорректен только вариант с обеими выколотыми точками.
Экономисты Уганды ещё не успели досконально изучить спрос соседней страны, но смогли узнать, какая равновесная цена была на рынке Ваканды до открытия границ - она составляла 70 долларов за грамм. Кроме того экономисты выяснили, что функции спроса и предложения в Ваканде имеют линейный вид, а местные производители готовы продавать вибраниум только при цене выше 10 долларов за грамм. Потребители Ваканды, в свою очередь, по этой цене готовы приобрести суммарно 600 тонн металла.
Помогите экономистам Уганды узнать цену, которая установится на открытом рынке, и оценить объемы международной торговли вибраниумом.
(а) Выведите функцию спроса на резиновых уточек.
(б) Выведите функцию общих издержек фирмы "LaTeX".
(в) Определите, сколько уточек будет продавать монополист и по какой цене.
(б) $FC=10, TC(10)=240\longrightarrow VC(10)=230$. $MC(Q)=c+4Q$ из условия.
Используем эти условия для нахождения функции издержек. Поскольку уточки могут быть только целыми, то $$VC(1)=MC(1)=c+4, $$ $$VC(2)=MC(1)+MC(2)=(c+4)+(c+8)$$ $$VC(3)=MC(1)+MC(2)+MC(3)=(c+4)+(c+8)+(c+12),\ldots,$$ $$VC(Q)=MC(1)+…+MC(Q)=(c+4)+…(c+4Q)=cQ+2Q+2Q^2$$
Мы знаем, что $VC(10)=230$, откуда находим $c=1$ и итоговую функцию общих издержек $$TC(Q)=2Q^2+3Q+10$$
(в) $TR(Q)=39Q-2Q^2$
Запишем функцию прибыли $PR(Q)=36Q-4Q^2$ и промаксимизируем ее по $Q$ с учетом целочисленности, в результате чего получим $Q^*=4$ или $Q^*=5$ и $P^*=31$ или $P^*=29$ соответственно.
Как и в любом нормальном классе, у ребят различаются предпочтения в вопросе того, где и с кем сидеть, ведь кто-то любит сидеть сзади и болтать с соседом по парте, а кому-то безразлично, где сидеть, лишь бы списать удалось. Предпочтения ребят устроены не так уж и просто: к примеру, для Миши в первую очередь важно сидеть вместе с Антоном (назовём это желанием 1 степени важности), чуть меньше его волнует то, что он любит сидеть сзади (желание 2 степени важности), и еще чуть меньше – то, что он любит сидеть у прохода (желание 3 степени важности), потому что часто выбегает попить. То есть для Миши лучше сидеть с Антоном спереди, чем с Колей или Сережей сзади, а если Мише удаётся сидеть вместе с Антоном, то лучше сзади (даже у окна), чем спереди, и т.д.
Предпочтения всех опоздавших (где и с кем сидеть) описываются следующим образом:
Будем называть итоговую рассадку школьников неэффективной, если опоздавшие могут перераспределить между собой эти 4 места так, чтобы хотя бы одному из них стало лучше, а остальным – не хуже. В противном случае рассадку будем называть эффективной.
(a) Приведите пример неэффективной рассадки и обоснуйте её неэффективность. Приведите пример эффективной рассадки и обоснуйте её эффективность. Сколько всего существует эффективных и неэффективных рассадок?
Взаимодействие между мальчиками происходит последовательно: первым в 9:05 приходит Миша и занимает какое-то место. Затем в 9:20 прибегают Коля и Антон, Мальчики договариваются о том, кто из них куда сядет, причем если они захотят сесть на одно и то же место, то Коле придётся уступить Антону и выбрать другое место, потому что он зачастую у него списывает и не хочет с ним спорить лишний раз. Наконец, в 9:30 прибегает Серёжа – самый сильный мальчик в классе, который без промедления занимает единственное оставшееся свободное место. Однако если Серёже не понравится это место, то он может быстро поменяться своим местом с любым из опоздавших.
(б) Все опоздавшие действуют рационально, зная о порядке взаимодействия и о предпочтениях других. Определите, может ли Миша в итоге оказаться сзади? Как в итоге рассядутся мальчики? Обязательно ли итоговая рассадка будет эффективной?
1) Антон сзади не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Коля (Сережа) спереди, Антон может поменяться с ним.
Антону станет лучше (сядет вперед), и Коле (Сереже) станет лучше (сядет назад), и Мише станет лучше (будет с Антоном), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).
2) Сережа спереди у окна, Коля спереди у прохода, Антон сзади с Мишей: 2.
Сережа может поменяться местами с Колей, и Сереже станет лучше (сядет у прохода), а всем остальным станет не хуже.
3) Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у окна, а Коля - у прохода: 2.
Сережа может поменяться с Колей, Сереже станет лучше (сядет справа), Коле не станет хуже, а Антону с Мишей не стало хуже, так как они остались на своих местах.
4) те, где Антон спереди не с Мишей: $2\cdot2\cdot2=8$.
Миша сзади, а Коля (Сережа) спереди, значит Миша может поменяться с Колей (Сережей) местами, и Мише станет лучше (сядет с Антоном), и Коле (Сереже) (сядет сзади), и Антону станет лучше (будет с Мишей), и Сереже (Коле) станет лучше (будет с Колей (Сережей)).
Эффективные рассадки: $2+1+1=4$.
Чтобы доказать эффективность рассадки, необходимо продемонстрировать, что при любом изменении местоположения ребят хотя бы одному из них станет хуже.
1) те, где Антон спереди с Мишей, Сережа сзади у прохода, а Коля сзади у окна: 2.
Докажем вначале, что для обоих случаев нельзя пересаживать Сережу и Колю со своих мест: до пересадки Сережа сидит сзади у прохода с Колей - наилучшее возможное расположение для него, поэтому если в результате пересадок как-то изменятся места Сережи или Коли, то Сереже гарантированно станет хуже.
Осталось рассмотреть возможность поменять местами только Мишу с Антоном спереди: если это сделать, то тому, кто сидел до пересадки у прохода, станет хуже.
Таким образом, данные расположения эффективны.
2) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у окна, Миша сзади у прохода: 1.
Если в результате пересадки как-то изменится положение Миши и Антона, то Мише станет хуже, потому что сейчас для него наилучшее возможное расположение.
Осталось рассмотреть возможность поменять спереди местами Колю с Сережей, но тогда станет хуже Сереже.
Данное расположение также эффективно.
3) Сережа спереди у прохода, Коля спереди у окна, Антон сзади у прохода, Миша сзади у окна: 1
Если в результате пересадки Миша окажется спереди, то ему станет хуже.
Если в результате пересадки Антон окажется спереди, то Мише станет хуже.
Если поменять местами Мишу с Антоном, то хуже станет Антону (окажется у окна).
Значит, осталось рассмотреть перестановку Сережи с Колей: Сережа окажется не у прохода - ему станет хуже.
Данное расположение также эффективно.
(б) Взаимодействие стоит воспринимать как динамическое: сначала место выбирает Миша, потом - Антон, только потом - Коля (так как при совпадении желаний Антона и Коли место отдается Антону, то взаимодействие между ними двумя можно трактовать как последовательное), и в конце - Сережа выбирает одно место для себя, а школьник, на место которого он садится, попадает на оставшееся свободное (либо Сережа занимает оставшееся свободное место).
Докажем несколько утверждений последовательно, чтобы ограничить число возможных равновесий (это всего лишь один из возможных путей решения).
(1) Сережа всегда сядет и окажется сзади у прохода:
Это местоположение для него лучше всего независимо от того, кто будет его соседом, то есть он не будет садиться ни на какое другое место – это заведомо ухудшит его положение.
(2) Антон не окажется на заднем ряду:
Для Антона важнее всего оказаться спереди, поэтому если мы покажем, что для любого выбора места Мишей Антон сможет оказаться спереди, то так и произойдёт. Куда бы Миша ни сел, на переднем ряду в любом случае останется хотя бы 1 свободное место. Если Антон займёт его, то сместить его сможет только Сережа, который не будет этого делать в силу утверждения (1).
(3) Миша сядет на место спереди у прохода и останется на нём:
Миша понимает, что Антон, действуя рационально, в итоге всегда окажется спереди. Поскольку Миша выбирает первым, покажем, что он может добиться наилучшего возможного для себя при этих условиях расположения (с Антоном, у прохода - сзади Миша вместе с Антоном оказаться не может никак исходя из предыдущего доказанного утверждения) тогда и только тогда, когда он изначально сядет на переднее место у прохода.
1) Если он сядет спереди у прохода, то исходя из утверждения (1) Антон окажется в итоге спереди у окна. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
2) Если он сядет спереди у окна, то исходя из утверждения (1) Антон окажется спереди у прохода. Сережа не будет смещать Мишу, так как хочет сидеть сзади у прохода в первую очередь.
3) Если он сядет сзади у окна, то Сережа не будет смещать его, и в итоге Миша окажется сзади, а Антон - спереди.
4) Если он сядет сзади у прохода, то Сережа сместит его на оставшееся свободным место после выбора Антона и Коли. Если при этом Антон с Колей сядут спереди, то Миша окажется сзади, а Антон – спереди. Если Антон сядет сзади у окна, то Миша в итоге окажется спереди (его пересадит Сережа, а Антон – сзади). Если Антон сядет спереди, а Коля – сзади, то в итоге Миша попадёт на оставшееся свободным место спереди рядом с Антоном, но так как они оба в таких условиях хотят сидеть у прохода, то Антон сядет спереди у прохода и останется там. В итоге Миша будет спереди у окна с Антоном.
Из (1), (2) и (3) утверждений однозначно следует, что спереди у прохода сядет и окажется в итоге Миша, спереди у окна окажется в итоге Антон, а сзади у прохода сядет и окажется Сережа. Чтобы оказаться спереди у окна после того, как Миша сел спереди у прохода, Антону нужно сесть либо спереди у окна (тогда Коля займет любое место на заднем ряду и окажется сзади у окна), либо сзади у прохода (тогда Коля сядет сзади у окна и останется там, что для него лучше, чем сесть спереди у окна и остаться там, значит, Антон в итоге будет пересажен Сережей на место спереди у окна). Если же Антон сядет сзади у окна, то Сережа не сместит его оттуда, и Антон останется сзади.
Значит, в равновесии возможны следующие варианты взаимодействия:
1) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел спереди у окна, Коля сел сзади у прохода или у окна, после чего Сережа занял место сзади у прохода, а Коля оказался сзади у окна.
2) Миша сел спереди у прохода, затем Антон сел сзади у прохода, тогда Коля сядет сзади у окна, а Сережа сместит Антона вперед к окну и окажется сзади у прохода.
В обоих вариантах в итоге спереди у окна сидит Антон, спереди у прохода – Миша, сзади у окна – Коля, сзади у прохода – Сережа. Эта итоговая рассадка эффективна.