10 класс

1. GDP — это не всё

Наряду с рейтингом государств по показателю реального ВВП на душу населения, составляются также и рейтинги по индексу развития человеческого потенциала, качеству жизни и т. д. Считается, что показатель ВВП не может выступать идеальным индикатором благосостояния.

  1. Почему реальный ВВП на душу населения не может выступать в качестве универсального индикатора общественного благосостояния? Что не учитывает этот показатель? Предложите несколько (достаточно четырёх) различных примеров, в каждом случае приведите пояснение.
  2. Несмотря на то, что американская экономика демонстрирует достаточно устойчивый экономический рост в течение длительного периода времени, нельзя утверждать, что уровень счастья (уровень удовлетворённости жизнью, "happiness") каждого американского гражданина растёт вслед за ростом реальных доходов. Обратимся к графику ниже:
    В то время как реальные доходы населения (real income per capita) росли, средний уровень счастья американских граждан оставался относительно постоянным и колебался незначительно. Объясните, почему долгосрочный экономический рост необязательно влечёт за собой увеличение уровня счастья граждан.
Решение

  1. ВВП не отражает изменений в текущей экологической обстановке. Как различные экологические процессы влияют на устойчивый экономический рост? И наоборот, как рост экономики влияет на экологию? Индикатор реального ВВП на душу населения не даёт возможности ответить на эти вопросы, хотя экономисты отмечают, что в большинстве случаев рост экономики сопровождается значительным ущербом, наносимым окружающей среде (загрязнение воды, воздуха, почвы и т.д.), разрушением природного капитала. Таким образом, мы не учитываем тот факт, что рост объёмов производства может повлечь за собой подобные отрицательные экстерналии, снижающие уровень благосостояния граждан: во-первых, неблагоприятная экологическая обстановка оказывает значительное негативное воздействие на здоровье людей, во-вторых, нам приходится инвестировать всё большее количество ресурсов для решения экологических проблем, сокращая свое текущее потребление.

    ВВП не учитывает уровень существующего социально-экономического неравенства. Хотя неравенство в рыночной экономике – явление совершенно закономерное, избыточное неравенство является одним из наиболее серьёзных поводов для недовольства населения. Сильная дифференциация доходов в обществе влечёт за собой и неравенство возможностей (порождает неравный доступ для большинства людей к ограниченным и необходимым ресурсам), разрушает социальную сплочённость (как следствие зачастую возникает недовольство существующей политической системой). Реальный ВВП на душу населения не учитывает неравенство: пусть, например, ВВП на душу населения в стране вырос на $x$%. Означает ли это, что в среднем доходы каждого выросли на $x$%, или же они выросли только у самых богатых, а у других выросли в куда меньшей степени или даже сократились? Дать однозначный ответ, используя лишь показатель ВВП на душу населения, трудно: вполне возможно, что крупные доходы получает малая доля людей, в то время как остальные живут за чертой бедности.

    ВВП не учитывает свободное время (время досуга), которым располагают люди. Рассмотрим следующий пример. Реальный ВВП на душу населения в стране Х может быть намного больше, чем реальный ВВП на душу населения в стране Y, потому что в стране Х люди работают в среднем на несколько часов больше, чем в стране Y. Однако жители страны Y могут ценить свое свободное время куда выше, чем жители страны X. Поэтому нельзя утверждать, что благосостояние граждан в стране X должно быть больше, чем в стране Y: мы не можем объяснить разрыв в благосостоянии между странами исключительно разницей в уровне реального ВВП на душу населения.

    ВВП не учитывает технологический прогресс. Благосостояние граждан определяется не только их материальным благополучием. Важно не только то, каков наш доход, но и то, как мы им можем распорядиться. Увеличение качества жизни обусловлено не только ростом реального ВВП на душу населения, но и существенными технологическими изменениями, появлением инновационных технологий, продуктов.

    ВВП не учитывает уровень образования, медицинских технологий. Хотя при расчёте ВВП мы и учтём покупку нового медицинского оборудования или строительство новой школы, оценить качественные изменения с помощью этого индикатора мы не сумеем. Расходы на медицину могут быть высокими, но увеличивается ли продолжительность жизни граждан, качество предоставляемого медицинского обслуживания? Расходы на образование могут расти, но действительно ли повышается качество предоставляемых образовательных услуг?

    ВВП не учитывает накопленное богатство и то, как оно изменяется, поскольку является показателем потока.

    При расчёте ВВП мы, во-первых, не можем учесть степень вовлечённости граждан в политические процессы (уровень политической активности граждан), во-вторых – предоставляемые гражданские, политические, культурные и социально-экономические права, нарушение и ущемление которых может иметь место.

    Приведённые выше примеры – далеко не единственные: участник мог привести и другие (с соответствующими пояснениями).

  2. Подобная закономерность впервые была отмечена Ричардом Истерлином в 1974 году в работе Does Economic Growth Improve the Human Lot? Some Empirical Evidence (так называемый парадокс Истерлина). Выделяют два основных объяснения:

    • Эффект социального сравнения (social comparison): люди не только оценивают свой абсолютный доход, но и сравнивают его с доходом других людей, некоторой референтной группы (comparison group) – мы счастливее, когда наш доход выше, чем у людей, её составляющих. В референтную группу могут входить, например, друзья, соседи, члены семьи, люди того же пола, уровня образования, обладающие схожими социоэкономическими характеристиками и т.д. Таким образом, важен рост относительного, а не абсолютного дохода (4 балла).
    • Эффект адаптации (adaptation mechanism): во-первых, в течение всего жизненного цикла рост реальных доходов сопровождается существенными изменениями в структуре потребностей – происходит переход от удовлетворения более простых, базовых потребностей к более сложным. Поэтому увеличение нашего материального благосостояния даёт всё меньший прирост уровня счастья. Во-вторых, мы оцениваем наши текущие доходы, принимая во внимание доходы предыдущих периодов (что, безусловно, находит своё отражение на нашем субъективном восприятии настоящего и будущего): разовое увеличение дохода делает нас счастливыми лишь на некоторый короткий срок, необходимый для адаптации к новому уровню дохода. Длительное и достаточно стабильное увеличение доходов практически не приумножает нашего счастья, поскольку наш абсолютный доход будет становиться всё больше по сравнению с предыдущими периодами, но относительный остается почти таким же (4 балла).

    Конечно, нельзя отрицать наличие положительной корреляции между уровнем реальных доходов на душу населения и уровнем удовлетворённости жизнью, однако подобная взаимосвязь отчётливо прослеживается в основном лишь в краткосрочном периоде, а не в долгосрочном, где, наоборот, подобная взаимосвязь практически не обнаруживается (этот факт также отмечен Ричардом Истерлином в одной из работ 2013 года в ходе исследований «экономики счастья»).

    Отметим следующие детали:

    • В долгосрочном периоде зависимость между реальными доходами на душу населения и уровнем счастья практически не прослеживается, в краткосрочном она прослеживается куда более отчётливо (см. выше).
    • Идея о «точке насыщения» – уровне дохода, начиная с которого прирост счастья индивида становится незначительным (факт, подтверждённый некоторыми эмпирическими исследованиями).

2. Дисбалансы в мировой экономике

В начале 2000-х годов в мировой экономике накапливались значительные дисбалансы. Так, суммарный профицит счёта текущих операций за 5 лет с 2003 по 2007 год в Китае составлял \$900 млрд, большая часть из которых была направлена на покупку долгосрочных государственных облигаций США, а также долгов государственных ипотечных компаний. Также довольно большой спрос на эти бумаги предъявляли многие другие страны Азии, у которых суммарно профицит счёта текущих операций составлял \$600 млрд (из которых половина была потрачена на покупку бумаг в США), и страны ОПЕК, потратившие на покупку активов в США около \$100 млрд из \$700 млрд профицита счёта текущих операций.

  1. Объясните, что такое счёт текущих операций и почему его профицит позволяет покупать активы других стран.
  2. На фоне вышеуказанных событий в США все ставки процента (и долгосрочные, и краткосрочные) довольно сильно сократились, что стало беспокоить монетарные власти, поскольку оказывало стимулирующее воздействие на экономику и могло привести к росту инфляции. В ответ на это ФРС начала предпринимать стандартные меры сдерживающей монетарной политики, что непосредственно приводит к росту краткосрочных ставок. Объясните механизм, через который повышение краткосрочной ставки процента могло привести к росту долгосрочных ставок.
  3. Несмотря на то, что стандартная экономическая логика говорит о том, что долгосрочные ставки должны меняться вслед за краткосрочными, в США ставки по 10-летним облигациям не изменились после повышения ставок ФРС. Объясните, как данное поведение ставок может быть связано с профицитом счёта текущих операций в Китае, странах ОПЕК и других азиатских странах?
Решение

  1. Счёт текущих операций – это один из двух основных счетов платежного баланса любой страны, который отражает все операции, не связанные с куплей/продажей активов, а также с изменением обязательств (эти операции отражаются в счёте движения капитала). Большая часть этого счёта приходится на чистый экспорт, но также туда могут входить денежные трансферты через границу и т.п.
    Поскольку в равновесии сальдо платёжного баланса должно равняться нулю, то сальдо счёта текущих операций должно совпадать по величине с сальдо счёта движения капитала, но с противоположным знаком. Соответственно, если в перечисленных странах был такой большой избыток счёта текущих операций, то в них формировался большой отток средств по счёту движения капитала. Последнее может означать не только то, что иностранные инвесторы выводят большое количество средств из данной страны, но ещё и то, что сама страна активно покупает различные иностранные активы либо выдаёт большое количество кредитов иностранным агентам. Собственно, последний канал и говорит о том, что страны с избытком счёта текущих операций покупают активы других стран.
  2. Долгосрочные ставки процента отражают, по сути, ожидания экономических агентов относительно будущей динамики краткосрочных ставок, поскольку людям должно быть безразлично, в какой из активов вкладываться (иначе все переключаются на более выгодный). Соответственно, если текущую ставку по депозитам на один год увеличивают, то и ставка по вкладам, например, на 5 лет, тоже должна увеличиться.
    Можно рассуждать следующим образом. Рост краткосрочной ставки привлекает внимание инвесторов к соответствующему типу активов, поэтому они переключаются с долгосрочных активов на краткосрочные. Из-за этого спрос на долгосрочные активы падает, из-за этого цена актива падает, а доходность – растёт. Аналогичное рассуждение могло приводиться не для спроса на активы, а для спроса на кредиты (если краткосрочные ставки растут, то люди будут переключаться с краткосрочных кредитов на долгосрочные, и рост спроса на них приведет к росту ставки процента по данному типу кредитов).
  3. Огромный спрос Китая, ОПЕК и Азии на облигации США привёл к значительному росту их стоимости и снижению ставок. И, несмотря на попытку монетарных властей поднять краткосрочные ставки процента, долгосрочные ставки определялись не столько внутренней ситуацией на рынке активов, сколько спросом других стран (которые, по сути, заинтересованы по большей части в долгосрочных вложениях).

3. Прорыв и стабильность

В стране Х правительство и центробанк пытаются улучшить макроэкономическую ситуацию, а именно добиться стабильности (т. е. низкой и предсказуемой инфляции) и экономического прорыва (т. е. сделать так, чтобы уровень выпуска был выше потенциального значения).
Пусть $\pi^d$ и $y^d$ — желаемые (desired) уровни инфляции и выпуска в стране Х. Монетарную политику в стране Х осуществляет центральный банк, чьи потери из-за отклонения инфляции и выпуска от желаемых уровней составляют $L = (\pi-\pi^d)^2 + \alpha(y-y^d)^2$. Таким образом, чем дальше уровень инфляции от $\pi^d$ или уровень выпуска от $y^d$, тем хуже центробанку; $\alpha > 0$ — параметр, показывающий, как для центробанка соотносятся потери, связанные с инфляцией и с выпуском.
Известно, что фактические уровни инфляции и выпуска в стране Х в любой момент времени удовлетворяют условию $\pi-\pi^e = \lambda(y-y^*)$, где $\pi^e$ — ожидаемый уровень инфляции, $y^*$ — потенциальный уровень выпуска, $\lambda>0$ — параметр, отражающий, какому отклонению инфляции от ожидаемого уровня соответствует единичное отклонение выпуска от потенциального уровня. Это уравнение принято называть кривой Лукаса.
Центральный банк, минимизирующий свои потери, в рамках своей монетарной политики может выбирать любое значение уровня инфляции, воздействуя на совокупный спрос.

  1. Разумно было бы считать, что $y^d = y^*$; однако данная модель строится на предпосылке, что $y^d>y^*$. Почему в реальном мире центробанк может желать таргетировать выпуск на уровне выше потенциального? Кроме того, подразумевается, что $\pi^d>0$. Почему современные центробанки обычно таргетируют инфляцию на уровне выше нулевого?
  2. Какой уровень инфляции $\pi$ установит центробанк в зависимости от ситуации в экономике, т. е. от переменных $\pi^d$, $y^d$, $\alpha$, $\pi^e$, $y^*$, $\lambda$?
  3. Предположим, что ожидания экономических агентов в стране Х рациональны. Это значит, что агенты знают структуру экономики и функцию потерь центробанка (в том числе знают, чему равны величины $\pi^d$, $y^d$, $\alpha$, $\pi^e$, $y^*$, $\lambda$) и на основе этого способны в точности прогнозировать поведение центрального банка, ожидая именно тот уровень инфляции, который будет «назначен». Стало быть, в равновесии ожидаемый и фактический уровень инфляции совпадут: $\pi=\pi^e$. Какие будут равновесные уровни инфляции и выпуска?
  4. Допустим, взаимодействие теперь длится не один, а несколько периодов, в каждом из которых потери центробанка и кривая Лукаса имеют одинаковый вид. Инфляционные ожидания теперь формируются иначе: в каждом периоде ожидаемый уровень инфляции равен фактическому уровню инфляции предыдущего периода, т. е. $\pi^e_t = \pi_{t-1}$. Это называется наивные (статические) ожидания. Центробанк «близорукий»: в каждом периоде он минимизирует свои текущие потери, не принимая во внимание предыдущие или следующие периоды. Верно ли, что со временем уровни инфляции и выпуска стабилизируются около каких-то значений? Если да, то каких?
  5. Интерпретируйте результаты, полученные в предыдущих пунктах. Как найденный уровень инфляции соотносится (меньше/равен/больше) с таргетируемым уровнем? Как найденный уровень выпуска соотносится с таргетируемым и потенциальным уровнем? Почему так, а не иначе?
Решение

  1. $y^d>y^*$. 1) Популизм: в условиях недостаточной автономности ЦБ от органов исполнительной власти на центробанк может оказываться давление со стороны политических властей с целью простимулировать спрос и разогреть экономику (например, накануне выборов). 2) Потенциальный выпуск нельзя назвать общественно оптимальным: при потенциальном выпуске на рынках остаются некоторые искажения (например, наличие стимулирующей безработицы на рынке труда), и если привлечь неиспользуемые ресурсы к делу, то можно увеличить выпуск и благосостояние общества.
    $\pi^d>0$. Дефляция опасна по многим причинам, одна из них – стремление потребителей отложить покупки на будущее, поскольку люди ожидают дальнейшего снижения цен. Соответственно, происходит падение потребительских расходов и снижение ВВП.
  2. Запишем задачу центробанка, выразив выпуск из кривой Лукаса:
    $$ L(\pi) = (\pi - \pi^d)^2 +\alpha \left( \frac{\pi - \pi^d}{\lambda} +y^*-y^d \right)^2 \rightarrow \min_\pi $$
    Квадратная парабола с ветвями вверх относительно инфляции, вершина в точке
    $$\pi = \frac
    {\alpha\pi^e + \lambda^2\pi^d + \alpha\lambda(y^d - y^*)}
    {\alpha + \lambda^2}$$
  3. Подставив $\pi = \pi^e$ в выражение из пункта 2. и преобразовав, получим $\pi = \pi^d + \frac{\alpha}{\lambda}\left( y^d - y^* \right)$.
    Напрямую из кривой Лукаса можно получить $y = y^*$.
  4. На самом деле, уровни инфляции и выпуска стабилизируются при тех же значениях, что и в пункте 1. Вспомним из пункта 2, что
    $$\pi_t = \frac{\alpha}{\alpha+\lambda^2}\pi^e_t +
    \frac
    {\lambda^2\pi^d + \alpha \lambda (y^d - y^*)}
    {\alpha+\lambda^2}$$
    Обозначим $\frac{\alpha}{\alpha+\lambda^2} = \varphi$, $\frac
    {\lambda^2\pi^d + \alpha \lambda (y^d - y^*)}
    {\alpha+\lambda^2} = \theta$.
    Заметим, что $0<\varphi<1$, и учтем ожидания $\pi^e_t = \pi_{t-1}$, тогда $\pi_t = \varphi\pi_{t-1} + \theta$. Значит,
    $\pi_1 = \varphi\pi_{0} + \theta$
    $\pi_2 = \varphi\pi_{1} + \theta = \varphi^2\pi_0 + \varphi\theta + \theta$
    $\pi_3 = \varphi\pi_{2} + \theta = \varphi^3\pi_0 + \varphi^2\theta +\varphi\theta + \theta$
    $\dots$
    $\pi_t = \varphi^t\pi_0 + \varphi^{t-1}\theta + \ldots + \theta$.
    Если $0<\varphi <1$ и $t \rightarrow \infty$, то $\varphi^t \rightarrow 0$. Значит, по прошествии большого числа периодов, свернув бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в скобках, получим
    $\pi_t = \theta\frac{1}{1-\varphi}$.
    Выполнив обратную замену, получим уровни инфляции и выпуска: $\pi = \pi^d + \frac{\alpha}{\lambda}(y^d-y^*)$, $y = y^*$.
    С таким же успехом это можно было увидеть на графике в координатах $(\pi_{t-1}; \pi_t)$, нарисовав график $\pi_t = \varphi\pi_{t-1}+\theta$ и прямую $\pi_t = \pi_{t-1}$. Нарисованный график и показанная на нём динамика – тоже правильное решение (притом более «изящное», чем алгебраическое, приведённое здесь).
  5. Во-первых, в оптимуме $\pi>\pi^d$, т.е. фактическая инфляция оказалась выше таргетируемой. Перед нами пример, иллюстрирующий динамическую непоследовательность (dynamic inconsistency) низкоинфляционной монетарной политики. Пусть ЦБ объявил, что целевой уровень инфляции равен $\pi^d$. Если бы население поверило ЦБ, то центробанку было бы выгодно установить фактический уровень инфляции выше $\pi^d$, напечатав денег для стимулирования экономики. Однако в реальности центробанку не удастся обмануть население – оно понимает, как поступит ЦБ, и заранее ожидает более высокую инфляцию. Столкнувшись с высокими инфляционными ожиданиями, далее ЦБ уже вынужден печатать деньги, чтобы не пустить экономику в рецессию: если инфляция ниже ожидаемой, то, по кривой Лукаса, экономика падает ниже потенциального уровня.
    Во-вторых, в оптимуме $y = y^* < y^d$, т.е. экономика останется на потенциальном уровне, её не удастся разогнать до желаемого уровня, добившись «прорыва». Это видно и напрямую из кривой Лукаса без расчётов, поскольку $\pi = \pi^d$. Действительно, превышение выпуска над потенциальным уровнем означало бы превышение фактической инфляции над ожидаемой, что не является равновесной ситуацией.

4. Максимальный профицит

В стране Альфа производится и потребляется всего два товара — X и Y. В 2018 году объём производства товара X составлял 100 единиц при цене 50 рублей за единицу, а объём производства товара Y был равен 110 единицам при цене 100 рублей за единицу. В 2019 году функции спроса на товар X и его предложения имеют вид $x_d = 400-2p_x$ и $x_s = 2p_x$. Функции спроса на товар Y и его предложения, в свою очередь, заданы уравнениями $y_d = 200-2p_y$ и $y_s = 2p_y$.
В 2019 году правительство планирует установить потоварный налог, взимаемый с производителей товара X. Других источников доходов, кроме поступлений в казну от этого налога, у государственного бюджета нет. Также правительство собирается ввести потоварную субсидию, выплачиваемую производителям товара Y. Все расходы государственного бюджета, кроме выплаты данной субсидии, фиксированы и составляют 1000 рублей в год.

  1. Определите, какого максимального профицита бюджета может достичь правительство в 2019 году в рамках указанной политики при условии, что реальный ВВП страны Альфа в 2019 году по сравнению с 2018 годом должен вырасти на 25 %? При определении реального ВВП считайте 2018 год базовым.
  2. Из каких соображений, помимо упомянутых в условии задачи, может исходить правительство при определении величины дефицита/профицита государственного бюджета?
Решение

  1. При введении потоварного налога на рынке товара Х равновесие будет определяться системой уравнений $400 - 2p_x^d = 2p_x^s$ и $p_x^d - p_x^s = t$.
    Далее находим равновесный выпуск $x = 200-t$.
    Налоговые поступления составят $T = tx = 200t-t^2$.
    При введении потоварной субсидии на рынке товара Y равновесие будет определяться системой уравнений $200 - 2p_y^d = 2p_y^s$ и $p_y^s - p_y^d = s$.
    Далее находим равновесный выпуск $y = 100+s$.
    Расходы на субсидирование составят $S = sy = 100s+s^2$.
    Реальный ВВП 2018 года равен $GDP^{18}_{real} = 100\cdot 50 + 110\cdot 100 = 16000$.
    Реальный ВВП 2019 года будет равен $GDP^{19}_{real} = (200-t)50 + (100+s)100 = 20000 - 50t + 100s$.
    По условию рост реального ВВП должен составить 25%, тогда $20000 - 50t + 100s = 1.25 \cdot 16000$.
    Упростив последнее уравнение, получим $t = 2s$.
    Тогда сальдо бюджета будет равно $$T-S-1000 = 200t - t^2 - 100s-s^2-1000 = 300s-5s^2 -1000 \rightarrow \max{s\geqslant 0}.$$
    Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $s = 30$, тогда сама величина профицита бюджета составит 3500.
  2. Например, увеличение общественного благосостояния за счёт производства общественных благ или стабилизационная политика.

5. Балансировка бюджета и поддержка населения

В стране Z товар X производится единственной фирмой, причём производство $q$ единиц продукции связано с издержками в размере $q^2$ д. е. Внутри страны Z спрос на продукцию фирмы определяется как $q_d = 35-p$, но есть ещё и конкурентный мировой рынок, на котором фирма может продать любое количество продукции по цене 60 д. е. (эту цену фирма воспринимает как заданную), а производители с мирового рынка не могут зайти в страну Z.
Государство обеспокоено обнищанием населения: готовность потребителей внутри страны платить за товар X намного ниже, чем цена на мировом рынке. Государство хочет повысить благосостояние своих граждан, однако лишних денег на это нет, поэтому необходимые средства придётся собирать на этом же рынке. Государство желает добиться того, чтобы внутри страны продавалось как можно больше единиц товара X, поэтому оно вводит потоварную субсидию потребителям по ставке $s$ д. е. за каждую купленную внутри страны единицу продукции. Чтобы финансировать программу субсидирования, государство вводит потоварный налог на экспорт по ставке $t$ д. е. за каждую вывезенную из страны единицу продукции. При этом общая сумма денег, потраченная на предоставление субсидии, не должна превышать сумму, полученную благодаря налогу.

  1. По какой ставке следует ввести субсидию? По какой ставке следует ввести налог? Сколько единиц продукции будет продаваться внутри страны, а сколько — отправляться на экспорт? Сколько составят расходы на предоставление субсидии и доходы от взимания налога?
  2. Если бы государство рассматривало только вариант введения потоварного налога на экспорт с целью максимально возможного пополнения бюджета, то по какой ставке следовало бы ввести такой налог?
Решение

  1. Заметим, что у фирмы предельная выручка на внутреннем рынке убывает, на мировом рынке постоянна, а предельные издержки производства возрастают, поэтому в оптимуме будет $MR_h = MR_f = MC$. При субсидировании внутренний спрос становится равным $q_d = 25+s-5$, тогда $MR_h = 35+s-2q$. Предельная выручка на конкурентном внешнем рынке равна мировой цене за вычетом экспортного налога, т.е. $MR_f = p_w-t = 60-t$. Наконец, $MC = 2q$, где $q = q_h+q_f$. Таким образом, оптимум фирмы описывается равенством $35+s-2q_h = 60-t = 2(q_h+q+f)$. Фактически это система двух уравнений с двумя неизвестными ($q_h$ и $q_f$) и двумя параметрами ($s$ и $t$). Решив систему относительно выпусков, получим $q_h = \frac{s+t-25}{2}$, $q_f= \frac{85-s-2t}{2}$.
    Естественно, это при $s+t-25 \geqslant0$ и $85-s-2t\geqslant0$ – выпуск продукции не может быть отрицательным (случаи, когда один из выпусков равен нулю, тоже нет смысла рассматривать в этой задаче). Всё это можно было получить и без знания о предельных издержках и предельной выручке, а просто рассматривая квадратичную функцию прибыли от двух аргументов. Теперь можно записать, как от ставок субсидии и налога зависят расходы на субсидирование и доходы от налогообложения: $S = q_h s = s \frac{s+t-25}{2} \leqslant T = q_f t = t\frac{85-s-2t}{2}$.
    Это неравенство можно привести к виду $25s+85t -s^2-2st-2t^2 \geqslant 0$.
    Это будет «бюджетное ограничение» государства. Задача государства – максимизировать количество продаж на внутреннем рынке: $$q_h = \frac{s+t-25}{2} \rightarrow \max_{s, t}$$
    Это равносильно максимизации суммы $s+t$; эту величину можно назвать $u=s+t$. Преобразуем бюджетное ограничение: $25u+60t-u^2-t^2 \geqslant 0$.
    Таким образом, надо относительно $u$ решить квадратное неравенство $u^2 - 25u +(t^2-60t) \leqslant 0$, но не просто решить, а так, чтобы во множество решений вошло как можно большее значение $u$. Это означает, что неравенство будет выполнено как равенство и что искомое $u$ – это правый корень квадратного уравнения $u^2-25u+(t^2-60t) = 0$. Видим, что при $u^2$ и при $u$ стоят уже известные коэффициенты, а $t$ влияет только на параллельный сдвиг графика вверх-вниз, поэтому чтобы правый корень был как можно больше, надо сдвинуть график – параболу с ветвями вверх – как можно ниже, а для этого, очевидно, минимизировать $t^2-60t$.
    Минимум достигается в $t=30$. Далее можно различным путями найти ставку субсидии. Например, подставить $t=30$, получить уравнение $u^2-25u -900 = 0$ и увидеть, что интересующий нас корень составляет $u=45$, откуда $s=15$. Значит, $q_h = 10$, $q_f = 5$, при этом $S=T = 150$. Достигнутый внутренний выпуск $q_h$ больше, чем можно было бы добиться простым запретом торговать на мировом рынке: в таком случае фирма внутри страны продавала бы $q_h = 8.75 < 10$.
  2. Если налог вводится по ставке не выше чем $t=25$, то фирма по-прежнему будет работать только на внешнем рынке, как и в отсутствие государственного вмешательства. Оптимум фирмы будет определяться равенством мировой цены за вычетом налога и предельных издержек: $60-t = 2q_f$, откуда $q_f = \frac{60-t}{2}$, $T = tq_f = t\frac{60-t}{2}$.
    Если налог вводится по ставке выше $t = 25$, то фирма будет работать уже на обоих рынках, как в пункте 1, только этот случай будет отличаться отсутствием субсидии. Оптимум фирмы будет определяться равенством внутренней предельной выручки, мировой цены за вычетом налога и предельных издержек. Таким образом, можно просто в выкладки пункта 1 подставить $s=0$ и получить $q_f = \frac{85-2t}{2}$, $T = tq_f = t\frac{85-2t}{2}$.
    Это будет продолжаться до тех пор, пока мировая цена минус налог не опустится ниже значения внутренней предельной выручки, которую в оптимуме получала бы фирма, если бы совсем не торговала на мировом рынке: $MR_h(8.75) = 17.5$. Таким образом, фирма будет торговать на двух рынках, если $60-t \geqslant 17.5$, или $t\leqslant 42.5$. При дальнейшем повышении ставки налога фирма перестаёт работать на мировом рынке: $q_f = 0$, $T=0$.
    Итак,
    $T = 0.5t(60-t)$ при $0\leqslant t \leqslant 25$
    $T = 0.5t(85-2t)$ при $25\leqslant t \leqslant 42.5$
    $T = 0$ при $ t \geqslant 42.5$.
    Таким образом, вершина первой параболы с ветвями вниз находится правее границы, а вершина второй параболы с ветвями вниз находится левее границы. Это значит, что максимум будет достигаться в точности на границе промежутков при $t=25$.

11 класс

1. Политика отрицательных процентных ставок

Начиная с 2009 года центральные банки Швеции, Дании, Швейцарии, Японии, а также Европейский центробанк проводят политику отрицательных процентных ставок (далее NIRP — Negative Interest Rate Policy), опуская ниже нуля или непосредственно ключевую ставку, или ставку по депозитам, которые коммерческие банки размещают в ЦБ. Иными словами, в условиях политики NIRP центробанк «штрафует» банковский сектор за депонирование средств на своих счетах, заставляя вместо этого увеличивать объёмы кредитования. Отрицательные номинальные ставки — относительно новое явление в монетарной политике.

  1. Если вы обратили внимание, в условии задачи перечислены развитые страны и ни одной развивающейся. Почему ставка процента в развитых экономиках обычно ниже, чем в развивающихся?
  2. В каких случаях (достаточно двух) и почему ЦБ может осуществлять политику NIRP и устанавливать не просто низкую ключевую или депозитную ставку, а ниже нуля? Как политика NIRP поможет в этих случаях ЦБ достичь своих целей?
  3. Даже если ЦБ установит отрицательную депозитную ставку, ставка по розничным депозитам останется, с большой вероятностью, положительной. Объясните, почему отрицательные депозитные ставки почти не транслируются в отрицательные процентные ставки по вкладам. Какими способами можно ослабить этот эффект?
  4. Какие риски для финансовой системы страны могут возникнуть на фоне реализации политики NIRP?
  5. Результативность проводимой политики NIRP зависит от множества макропараметров. Прокомментируйте, как эффективность NIRP может зависеть от следующих характеристик экономики:
    • отношение наличности к ВВП;
    • размер гарантированного государством пенсионного обеспечения.
Решение

  1. Самый очевидный ответ – это премия за риск. В развивающихся странах обычно выше различные экономические и политические риски, что ведёт к тому, что инвесторы требуют большую премию за страновой риск, и, как следствие, ставка в развивающихся странах оказывается выше.
    Также верным ответом может считаться объяснение через разницу инфляций. Так, в развивающейся стране уровень инфляции будет выше, чем в развитой, поэтому номинальная ставка скорее всего окажется выше.
  2. Первый случай. Дефляция (или же ловушка ликвидности). При дефляции в экономике реальная процентная ставка, которая примерно равна номинальной ставке за вычетом инфляции, начинает сокращаться. Соответственно, если бы номинальные ставки в экономике были довольно высоки, была бы возможность снизить их, но оставить в положительном диапазоне. Однако поскольку ставки уже довольно низкие, чтобы стимулировать экономику и увеличить инфляцию, ЦБ приходится снижать ставку ниже нуля. В данном случае установление отрицательной процентной ставки приводит к тому, что банкам становится невыгодно держать избыточные резервы на депозитах ЦБ, что стимулирует их активнее выдавать кредиты, это ведёт к росту совокупного спроса, который, в свою очередь, стимулирует увеличение инфляции (или в данном случае выход из ситуации дефляции).
    Второй случай. Эффект переноса. Имеет место в случае, если соседние страны существенно снижают ставки процента в экономике или даже устанавливают отрицательные процентные ставки. Один из реальных примеров такой ситуации – установление отрицательных процентных ставок в Швейцарии. Из-за того, что в ЕС ставка по депозитам в ЦБ отрицательная, у банков возникают стимулы хранить большее количество денег в своих подразделениях в Швейцарии. Это приводит к огромному притоку капитала из Европы в Швейцарию, что оказывает воздействие на обменный курс швейцарского франка, который начинает укрепляться. Это создает проблемы с конкурентоспособностью на мировых рынках у отечественных экспортёров. Чтобы уменьшить негативные последствия такого притока, Швейцария может также установить отрицательную процентную ставку, чтобы не допустить излишнего укрепления национальной валюты.
  3. Если коммерческие банки установят отрицательные процентные ставки по вкладам, то у населения будет возможность держать все свободные деньги в виде наличности. Это приведёт к сокращению объёма депозитов, и, следовательно, у коммерческих банков не будет средств на ведение своей деятельности.
    Ослабить этот эффект можно любыми мерами, которые способны сократить желание или возможности населения хранить наличность. Это могут быть законодательные ограничения, вывод из обращения купюр с большим номиналом и др.
  4. Проведение такой политики подразумевает, что в экономике формируются очень низкие ставки, а банки заставляют активнее вкладывать деньги в различные активы. Всё это стимулирует рост спроса на рискованные активы, что может привести к избыточному накоплению рисков и, как следствие, к возникновению экономического кризиса.
    Помимо этого банки могут начать вывозить деньги в другие страны, где нет отрицательных ставок, что приведёт к обесценению валюты рассматриваемой страны, что также может оказать негативный эффект на финансовые рынки (например, если есть другие финансовые институты, которые активно кредитовались в какой-то иностранной валюте).
    Также возможно, что население, боясь, что банки начнут устанавливать отрицательные ставки процента по депозитам, станет активно снимать деньги со счетов, предпочитая хранение их в наличности – тем самым формируются предпосылки к возникновению набегов вкладчиков и, как следствие, к возникновению проблем с ликвидностью у банков.
  5. Комментарии к параметрам:

    • Чем меньше наличности к ВВП, тем больше население склонно хранить денег на депозитах. Поэтому, несмотря на низкие (или даже отрицательные) ставки, население будет продолжать держать депозиты в банках, что будет стимулировать коммерческие банки выдавать больше кредитов в экономике, что будет сильнее воздействовать на спрос и, как следствие, на инфляцию, быстрее приводя её к целевому значению.
    • Чем больше гарантированная государством пенсия, тем меньше стимулов у населения сберегать деньги самостоятельно. Поскольку время, когда человек работает, довольно длительное, пенсионные накопления являются в большинстве стран основным источником долгосрочных инвестиций в экономику. Соответственно, если пенсия небольшая, населению приходится больше сберегать, т.е. меньше денег тратить на потребление и брать меньше кредитов. В то же время, NIRP основана на том, что она стимулирует банки выдавать больше кредитов и тем самым подогревать совокупный спрос, а в описанных условиях население будет не так сильно реагировать на рост доходов (не так активно брать кредиты); всё это ведёт к снижению эффективности данного типа политики.

2. Дисбалансы в мировой экономике

В начале 2000-х годов в мировой экономике накапливались значительные дисбалансы. Так, суммарный профицит счёта текущих операций за 5 лет с 2003 по 2007 год в Китае составлял \$900 млрд, большая часть из которых была направлена на покупку долгосрочных государственных облигаций США, а также долгов государственных ипотечных компаний. Также довольно большой спрос на эти бумаги предъявляли многие другие страны Азии, у которых суммарно профицит счёта текущих операций составлял \$600 млрд (из которых половина была потрачена на покупку бумаг в США), и страны ОПЕК, потратившие на покупку активов в США около \$100 млрд из \$700 млрд профицита счёта текущих операций.

  1. Объясните, что такое счёт текущих операций и почему его профицит позволяет покупать активы других стран.
  2. На фоне вышеуказанных событий в США все ставки процента (и долгосрочные, и краткосрочные) довольно сильно сократились, что стало беспокоить монетарные власти, поскольку оказывало стимулирующее воздействие на экономику и могло привести к росту инфляции. В ответ на это ФРС начала предпринимать стандартные меры сдерживающей монетарной политики, что непосредственно приводит к росту краткосрочных ставок. Объясните механизм, через который повышение краткосрочной ставки процента могло привести к росту долгосрочных ставок.
  3. Несмотря на то, что стандартная экономическая логика говорит о том, что долгосрочные ставки должны меняться вслед за краткосрочными, в США ставки по 10-летним облигациям не изменились после повышения ставок ФРС. Объясните, как данное поведение ставок может быть связано с профицитом счёта текущих операций в Китае, странах ОПЕК и других азиатских странах?
Решение

  1. Счёт текущих операций – это один из двух основных счетов платежного баланса любой страны, который отражает все операции, не связанные с куплей/продажей активов, а также с изменением обязательств (эти операции отражаются в счёте движения капитала). Большая часть этого счёта приходится на чистый экспорт, но также туда могут входить денежные трансферты через границу и т.п.
    Поскольку в равновесии сальдо платёжного баланса должно равняться нулю, то сальдо счёта текущих операций должно совпадать по величине с сальдо счёта движения капитала, но с противоположным знаком. Соответственно, если в перечисленных странах был такой большой избыток счёта текущих операций, то в них формировался большой отток средств по счёту движения капитала. Последнее может означать не только то, что иностранные инвесторы выводят большое количество средств из данной страны, но ещё и то, что сама страна активно покупает различные иностранные активы либо выдаёт большое количество кредитов иностранным агентам. Собственно, последний канал и говорит о том, что страны с избытком счёта текущих операций покупают активы других стран.
  2. Долгосрочные ставки процента отражают, по сути, ожидания экономических агентов относительно будущей динамики краткосрочных ставок, поскольку людям должно быть безразлично, в какой из активов вкладываться (иначе все переключаются на более выгодный). Соответственно, если текущую ставку по депозитам на один год увеличивают, то и ставка по вкладам, например, на 5 лет, тоже должна увеличиться.
    Можно рассуждать следующим образом. Рост краткосрочной ставки привлекает внимание инвесторов к соответствующему типу активов, поэтому они переключаются с долгосрочных активов на краткосрочные. Из-за этого спрос на долгосрочные активы падает, из-за этого цена актива падает, а доходность – растёт. Аналогичное рассуждение могло приводиться не для спроса на активы, а для спроса на кредиты (если краткосрочные ставки растут, то люди будут переключаться с краткосрочных кредитов на долгосрочные, и рост спроса на них приведет к росту ставки процента по данному типу кредитов).
  3. Огромный спрос Китая, ОПЕК и Азии на облигации США привёл к значительному росту их стоимости и снижению ставок. И, несмотря на попытку монетарных властей поднять краткосрочные ставки процента, долгосрочные ставки определялись не столько внутренней ситуацией на рынке активов, сколько спросом других стран (которые, по сути, заинтересованы по большей части в долгосрочных вложениях).

3. Прорыв и стабильность

В стране Х правительство и центробанк пытаются улучшить макроэкономическую ситуацию, а именно добиться стабильности (т. е. низкой и предсказуемой инфляции) и экономического прорыва (т. е. сделать так, чтобы уровень выпуска был выше потенциального значения).
Пусть $\pi^d$ и $y^d$ — желаемые (desired) уровни инфляции и выпуска в стране Х. Монетарную политику в стране Х осуществляет центральный банк, чьи потери из-за отклонения инфляции и выпуска от желаемых уровней составляют $L = (\pi-\pi^d)^2 + \alpha(y-y^d)^2$. Таким образом, чем дальше уровень инфляции от $\pi^d$ или уровень выпуска от $y^d$, тем хуже центробанку; $\alpha > 0$ — параметр, показывающий, как для центробанка соотносятся потери, связанные с инфляцией и с выпуском.
Известно, что фактические уровни инфляции и выпуска в стране Х в любой момент времени удовлетворяют условию $\pi-\pi^e = \lambda(y-y^*)$, где $\pi^e$ — ожидаемый уровень инфляции, $y^*$ — потенциальный уровень выпуска, $\lambda>0$ — параметр, отражающий, какому отклонению инфляции от ожидаемого уровня соответствует единичное отклонение выпуска от потенциального уровня. Это уравнение принято называть кривой Лукаса.
Центральный банк, минимизирующий свои потери, в рамках своей монетарной политики может выбирать любое значение уровня инфляции, воздействуя на совокупный спрос.

  1. Разумно было бы считать, что $y^d = y^*$; однако данная модель строится на предпосылке, что $y^d>y^*$. Почему в реальном мире центробанк может желать таргетировать выпуск на уровне выше потенциального? Кроме того, подразумевается, что $\pi^d>0$. Почему современные центробанки обычно таргетируют инфляцию на уровне выше нулевого?
  2. Какой уровень инфляции $\pi$ установит центробанк в зависимости от ситуации в экономике, т. е. от переменных $\pi^d$, $y^d$, $\alpha$, $\pi^e$, $y^*$, $\lambda$?
  3. Предположим, что ожидания экономических агентов в стране Х рациональны. Это значит, что агенты знают структуру экономики и функцию потерь центробанка (в том числе знают, чему равны величины $\pi^d$, $y^d$, $\alpha$, $\pi^e$, $y^*$, $\lambda$) и на основе этого способны в точности прогнозировать поведение центрального банка, ожидая именно тот уровень инфляции, который будет «назначен». Стало быть, в равновесии ожидаемый и фактический уровень инфляции совпадут: $\pi=\pi^e$. Какие будут равновесные уровни инфляции и выпуска?
  4. Допустим, взаимодействие теперь длится не один, а несколько периодов, в каждом из которых потери центробанка и кривая Лукаса имеют одинаковый вид. Инфляционные ожидания теперь формируются иначе: в каждом периоде ожидаемый уровень инфляции равен фактическому уровню инфляции предыдущего периода, т. е. $\pi^e_t = \pi_{t-1}$. Это называется наивные (статические) ожидания. Центробанк «близорукий»: в каждом периоде он минимизирует свои текущие потери, не принимая во внимание предыдущие или следующие периоды. Верно ли, что со временем уровни инфляции и выпуска стабилизируются около каких-то значений? Если да, то каких?
  5. Интерпретируйте результаты, полученные в предыдущих пунктах. Как найденный уровень инфляции соотносится (меньше/равен/больше) с таргетируемым уровнем? Как найденный уровень выпуска соотносится с таргетируемым и потенциальным уровнем? Почему так, а не иначе?
Решение

  1. $y^d>y^*$. 1) Популизм: в условиях недостаточной автономности ЦБ от органов исполнительной власти на центробанк может оказываться давление со стороны политических властей с целью простимулировать спрос и разогреть экономику (например, накануне выборов). 2) Потенциальный выпуск нельзя назвать общественно оптимальным: при потенциальном выпуске на рынках остаются некоторые искажения (например, наличие стимулирующей безработицы на рынке труда), и если привлечь неиспользуемые ресурсы к делу, то можно увеличить выпуск и благосостояние общества.
    $\pi^d>0$. Дефляция опасна по многим причинам, одна из них – стремление потребителей отложить покупки на будущее, поскольку люди ожидают дальнейшего снижения цен. Соответственно, происходит падение потребительских расходов и снижение ВВП.
  2. Запишем задачу центробанка, выразив выпуск из кривой Лукаса:
    $$ L(\pi) = (\pi - \pi^d)^2 +\alpha \left( \frac{\pi - \pi^d}{\lambda} +y^*-y^d \right)^2 \rightarrow \min_\pi $$
    Квадратная парабола с ветвями вверх относительно инфляции, вершина в точке
    $$\pi = \frac
    {\alpha\pi^e + \lambda^2\pi^d + \alpha\lambda(y^d - y^*)}
    {\alpha + \lambda^2}$$
  3. Подставив $\pi = \pi^e$ в выражение из пункта 2. и преобразовав, получим $\pi = \pi^d + \frac{\alpha}{\lambda}\left( y^d - y^* \right)$.
    Напрямую из кривой Лукаса можно получить $y = y^*$.
  4. На самом деле, уровни инфляции и выпуска стабилизируются при тех же значениях, что и в пункте 1. Вспомним из пункта 2, что
    $$\pi_t = \frac{\alpha}{\alpha+\lambda^2}\pi^e_t +
    \frac
    {\lambda^2\pi^d + \alpha \lambda (y^d - y^*)}
    {\alpha+\lambda^2}$$
    Обозначим $\frac{\alpha}{\alpha+\lambda^2} = \varphi$, $\frac
    {\lambda^2\pi^d + \alpha \lambda (y^d - y^*)}
    {\alpha+\lambda^2} = \theta$.
    Заметим, что $0<\varphi<1$, и учтем ожидания $\pi^e_t = \pi_{t-1}$, тогда $\pi_t = \varphi\pi_{t-1} + \theta$. Значит,
    $\pi_1 = \varphi\pi_{0} + \theta$
    $\pi_2 = \varphi\pi_{1} + \theta = \varphi^2\pi_0 + \varphi\theta + \theta$
    $\pi_3 = \varphi\pi_{2} + \theta = \varphi^3\pi_0 + \varphi^2\theta +\varphi\theta + \theta$
    $\dots$
    $\pi_t = \varphi^t\pi_0 + \varphi^{t-1}\theta + \ldots + \theta$.
    Если $0<\varphi <1$ и $t \rightarrow \infty$, то $\varphi^t \rightarrow 0$. Значит, по прошествии большого числа периодов, свернув бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в скобках, получим
    $\pi_t = \theta\frac{1}{1-\varphi}$.
    Выполнив обратную замену, получим уровни инфляции и выпуска: $\pi = \pi^d + \frac{\alpha}{\lambda}(y^d-y^*)$, $y = y^*$.
    С таким же успехом это можно было увидеть на графике в координатах $(\pi_{t-1}; \pi_t)$, нарисовав график $\pi_t = \varphi\pi_{t-1}+\theta$ и прямую $\pi_t = \pi_{t-1}$. Нарисованный график и показанная на нём динамика – тоже правильное решение (притом более «изящное», чем алгебраическое, приведённое здесь).
  5. Во-первых, в оптимуме $\pi>\pi^d$, т.е. фактическая инфляция оказалась выше таргетируемой. Перед нами пример, иллюстрирующий динамическую непоследовательность (dynamic inconsistency) низкоинфляционной монетарной политики. Пусть ЦБ объявил, что целевой уровень инфляции равен $\pi^d$. Если бы население поверило ЦБ, то центробанку было бы выгодно установить фактический уровень инфляции выше $\pi^d$, напечатав денег для стимулирования экономики. Однако в реальности центробанку не удастся обмануть население – оно понимает, как поступит ЦБ, и заранее ожидает более высокую инфляцию. Столкнувшись с высокими инфляционными ожиданиями, далее ЦБ уже вынужден печатать деньги, чтобы не пустить экономику в рецессию: если инфляция ниже ожидаемой, то, по кривой Лукаса, экономика падает ниже потенциального уровня.
    Во-вторых, в оптимуме $y = y^* < y^d$, т.е. экономика останется на потенциальном уровне, её не удастся разогнать до желаемого уровня, добившись «прорыва». Это видно и напрямую из кривой Лукаса без расчётов, поскольку $\pi = \pi^d$. Действительно, превышение выпуска над потенциальным уровнем означало бы превышение фактической инфляции над ожидаемой, что не является равновесной ситуацией.

4. Максимальный профицит

В стране Альфа производится и потребляется всего два товара — X и Y. В 2018 году объём производства товара X составлял 100 единиц при цене 50 рублей за единицу, а объём производства товара Y был равен 110 единицам при цене 100 рублей за единицу. В 2019 году функции спроса на товар X и его предложения имеют вид $x_d = 400-2p_x$ и $x_s = 2p_x$. Функции спроса на товар Y и его предложения, в свою очередь, заданы уравнениями $y_d = 200-2p_y$ и $y_s = 2p_y$.
В 2019 году правительство планирует установить потоварный налог, взимаемый с производителей товара X. Других источников доходов, кроме поступлений в казну от этого налога, у государственного бюджета нет. Также правительство собирается ввести потоварную субсидию, выплачиваемую производителям товара Y. Все расходы государственного бюджета, кроме выплаты данной субсидии, фиксированы и составляют 1000 рублей в год.

  1. Определите, какого максимального профицита бюджета может достичь правительство в 2019 году в рамках указанной политики при условии, что реальный ВВП страны Альфа в 2019 году по сравнению с 2018 годом должен вырасти на 25 %? При определении реального ВВП считайте 2018 год базовым.
  2. Из каких соображений, помимо упомянутых в условии задачи, может исходить правительство при определении величины дефицита/профицита государственного бюджета?
Решение

  1. При введении потоварного налога на рынке товара Х равновесие будет определяться системой уравнений $400 - 2p_x^d = 2p_x^s$ и $p_x^d - p_x^s = t$.
    Далее находим равновесный выпуск $x = 200-t$.
    Налоговые поступления составят $T = tx = 200t-t^2$.
    При введении потоварной субсидии на рынке товара Y равновесие будет определяться системой уравнений $200 - 2p_y^d = 2p_y^s$ и $p_y^s - p_y^d = s$.
    Далее находим равновесный выпуск $y = 100+s$.
    Расходы на субсидирование составят $S = sy = 100s+s^2$.
    Реальный ВВП 2018 года равен $GDP^{18}_{real} = 100\cdot 50 + 110\cdot 100 = 16000$.
    Реальный ВВП 2019 года будет равен $GDP^{19}_{real} = (200-t)50 + (100+s)100 = 20000 - 50t + 100s$.
    По условию рост реального ВВП должен составить 25%, тогда $20000 - 50t + 100s = 1.25 \cdot 16000$.
    Упростив последнее уравнение, получим $t = 2s$.
    Тогда сальдо бюджета будет равно $$T-S-1000 = 200t - t^2 - 100s-s^2-1000 = 300s-5s^2 -1000 \rightarrow \max{s\geqslant 0}.$$
    Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $s = 30$, тогда сама величина профицита бюджета составит 3500.
  2. Например, увеличение общественного благосостояния за счёт производства общественных благ или стабилизационная политика.

5. Балансировка бюджета и поддержка населения

В стране Z товар X производится единственной фирмой, причём производство $q$ единиц продукции связано с издержками в размере $q^2$ д. е. Внутри страны Z спрос на продукцию фирмы определяется как $q_d = 35-p$, но есть ещё и конкурентный мировой рынок, на котором фирма может продать любое количество продукции по цене 60 д. е. (эту цену фирма воспринимает как заданную), а производители с мирового рынка не могут зайти в страну Z.
Государство обеспокоено обнищанием населения: готовность потребителей внутри страны платить за товар X намного ниже, чем цена на мировом рынке. Государство хочет повысить благосостояние своих граждан, однако лишних денег на это нет, поэтому необходимые средства придётся собирать на этом же рынке. Государство желает добиться того, чтобы внутри страны продавалось как можно больше единиц товара X, поэтому оно вводит потоварную субсидию потребителям по ставке $s$ д. е. за каждую купленную внутри страны единицу продукции. Чтобы финансировать программу субсидирования, государство вводит потоварный налог на экспорт по ставке $t$ д. е. за каждую вывезенную из страны единицу продукции. При этом общая сумма денег, потраченная на предоставление субсидии, не должна превышать сумму, полученную благодаря налогу.

  1. По какой ставке следует ввести субсидию? По какой ставке следует ввести налог? Сколько единиц продукции будет продаваться внутри страны, а сколько — отправляться на экспорт? Сколько составят расходы на предоставление субсидии и доходы от взимания налога?
  2. Если бы государство рассматривало только вариант введения потоварного налога на экспорт с целью максимально возможного пополнения бюджета, то по какой ставке следовало бы ввести такой налог?
Решение

  1. Заметим, что у фирмы предельная выручка на внутреннем рынке убывает, на мировом рынке постоянна, а предельные издержки производства возрастают, поэтому в оптимуме будет $MR_h = MR_f = MC$. При субсидировании внутренний спрос становится равным $q_d = 25+s-5$, тогда $MR_h = 35+s-2q$. Предельная выручка на конкурентном внешнем рынке равна мировой цене за вычетом экспортного налога, т.е. $MR_f = p_w-t = 60-t$. Наконец, $MC = 2q$, где $q = q_h+q_f$. Таким образом, оптимум фирмы описывается равенством $35+s-2q_h = 60-t = 2(q_h+q+f)$. Фактически это система двух уравнений с двумя неизвестными ($q_h$ и $q_f$) и двумя параметрами ($s$ и $t$). Решив систему относительно выпусков, получим $q_h = \frac{s+t-25}{2}$, $q_f= \frac{85-s-2t}{2}$.
    Естественно, это при $s+t-25 \geqslant0$ и $85-s-2t\geqslant0$ – выпуск продукции не может быть отрицательным (случаи, когда один из выпусков равен нулю, тоже нет смысла рассматривать в этой задаче). Всё это можно было получить и без знания о предельных издержках и предельной выручке, а просто рассматривая квадратичную функцию прибыли от двух аргументов. Теперь можно записать, как от ставок субсидии и налога зависят расходы на субсидирование и доходы от налогообложения: $S = q_h s = s \frac{s+t-25}{2} \leqslant T = q_f t = t\frac{85-s-2t}{2}$.
    Это неравенство можно привести к виду $25s+85t -s^2-2st-2t^2 \geqslant 0$.
    Это будет «бюджетное ограничение» государства. Задача государства – максимизировать количество продаж на внутреннем рынке: $$q_h = \frac{s+t-25}{2} \rightarrow \max_{s, t}$$
    Это равносильно максимизации суммы $s+t$; эту величину можно назвать $u=s+t$. Преобразуем бюджетное ограничение: $25u+60t-u^2-t^2 \geqslant 0$.
    Таким образом, надо относительно $u$ решить квадратное неравенство $u^2 - 25u +(t^2-60t) \leqslant 0$, но не просто решить, а так, чтобы во множество решений вошло как можно большее значение $u$. Это означает, что неравенство будет выполнено как равенство и что искомое $u$ – это правый корень квадратного уравнения $u^2-25u+(t^2-60t) = 0$. Видим, что при $u^2$ и при $u$ стоят уже известные коэффициенты, а $t$ влияет только на параллельный сдвиг графика вверх-вниз, поэтому чтобы правый корень был как можно больше, надо сдвинуть график – параболу с ветвями вверх – как можно ниже, а для этого, очевидно, минимизировать $t^2-60t$.
    Минимум достигается в $t=30$. Далее можно различным путями найти ставку субсидии. Например, подставить $t=30$, получить уравнение $u^2-25u -900 = 0$ и увидеть, что интересующий нас корень составляет $u=45$, откуда $s=15$. Значит, $q_h = 10$, $q_f = 5$, при этом $S=T = 150$. Достигнутый внутренний выпуск $q_h$ больше, чем можно было бы добиться простым запретом торговать на мировом рынке: в таком случае фирма внутри страны продавала бы $q_h = 8.75 < 10$.
  2. Если налог вводится по ставке не выше чем $t=25$, то фирма по-прежнему будет работать только на внешнем рынке, как и в отсутствие государственного вмешательства. Оптимум фирмы будет определяться равенством мировой цены за вычетом налога и предельных издержек: $60-t = 2q_f$, откуда $q_f = \frac{60-t}{2}$, $T = tq_f = t\frac{60-t}{2}$.
    Если налог вводится по ставке выше $t = 25$, то фирма будет работать уже на обоих рынках, как в пункте 1, только этот случай будет отличаться отсутствием субсидии. Оптимум фирмы будет определяться равенством внутренней предельной выручки, мировой цены за вычетом налога и предельных издержек. Таким образом, можно просто в выкладки пункта 1 подставить $s=0$ и получить $q_f = \frac{85-2t}{2}$, $T = tq_f = t\frac{85-2t}{2}$.
    Это будет продолжаться до тех пор, пока мировая цена минус налог не опустится ниже значения внутренней предельной выручки, которую в оптимуме получала бы фирма, если бы совсем не торговала на мировом рынке: $MR_h(8.75) = 17.5$. Таким образом, фирма будет торговать на двух рынках, если $60-t \geqslant 17.5$, или $t\leqslant 42.5$. При дальнейшем повышении ставки налога фирма перестаёт работать на мировом рынке: $q_f = 0$, $T=0$.
    Итак,
    $T = 0.5t(60-t)$ при $0\leqslant t \leqslant 25$
    $T = 0.5t(85-2t)$ при $25\leqslant t \leqslant 42.5$
    $T = 0$ при $ t \geqslant 42.5$.
    Таким образом, вершина первой параболы с ветвями вниз находится правее границы, а вершина второй параболы с ветвями вниз находится левее границы. Это значит, что максимум будет достигаться в точности на границе промежутков при $t=25$.

5 класс

1. Ягодный пирог — 5 класс

После приключения с Серым волком бабушка отправила Красную шапочку в лес за ягодами, чтобы испечь пироги для лесорубов.
Бабушка знает, что Красная шапочка на сбор каждого килограмма черники тратит ровно 1/8 дня, а на сбор каждого килограмма земляники — ровно 1/12 дня. Девочка собирает ягоды с постоянной скоростью, а количество собранных ей ягод любого вида может быть любым (для упрощения будем считать, что Красная шапочка не обязательно собирает целое количество килограммов ягод).
Бабушка собирается испечь диетический пирог по старинному тайному рецепту, благодаря которому масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов.
Рецепт гласит: «В каждый пирог массой 1 килограмм нужно положить 1/2 килограмма земляники, 1/3 килограмма черники и добавить необходимое по массе количество теста. Других ингредиентов кроме теста, земляники и черники в пирог добавлять не нужно. Вылепить пирог и поставить в печь. Печь до готовности».
Бабушка посчитала, что если Красная шапочка весь день будет работать с максимальной производительностью, ее усилий хватит на то, чтобы собрать ягоды для нужного количества пирогов, причем не останется ни одного лишнего ингредиента.

  1. Сколько килограммовых пирогов планирует испечь бабушка?
  2. Сколько земляники и черники соберет Красная шапочка, если выполнит поручение?
  3. Сколько теста будет потрачено бабушкой на изготовление пирогов?
Решение

Способ 1.

  1. Заметим, что лесорубов целое количество – поэтому пирогов будет целое количество. (альтернативное замечание: вопрос задачи «сколько килограммовых пирогов сможет испечь бабушка» – следовательно, пирогов целое количество).
    Для одного пирога нужно: $1/2$ килограмма земляники и $1/3$ килограмма черники. На сбор ингредиентов для одного пирога уйдёт:
    $1/2 \cdot 1/12 = 1/24$ дня на сбор земляники
    $1/3 \cdot 1/8 = 1/24$ дня на сбор черники.
    Тогда общее время на сбор ингредиентов для одного пирога составит $2/24 = 1/12$ дня.
    Следовательно, Красная шапочка сможет собрать ингредиенты на 12 пирогов.
    Значит бабушка испечет 12 пирогов (из условия известно, что ничего лишнего не осталось)
  2. Следовательно Красная шапочка соберет $1/2 \cdot 12 = 6$ килограммов земляники и $1/3 \cdot 12 = 4$ килограмма черники
  3. Пирог состоит из 3 частей и весит 1 килограмм Земляника и черника весят 1⁄2 + 1/3 = 5/6 килограмма.
    Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит 1/6 килограмма
    В 12 пирогах 12 * 1/6 = 2 килограмма теста

Способ 2.

  1. Обозначим количество собранной Красной шапочкой земляники за $S$, а черники – за $B$. Нам известна производительность Красной шапочки в час, поэтому мы можем определить, что вместо 8 килограммов черники она может собрать 12 килограммов земляники. Так как она может собирать в течение дня оба вида ягод, а скорость сбора (производительность) постоянна, то очевидно, что вместо 1 единицы черники она может собрать $12/8=1,5$ единицы земляники.
    Тогда, собирая $B$ черники, Красная шапочка лишится возможности собрать $1,5\cdot B$ земляники из максимального количества в 12 килограммов.
    Получим $S = 12 – 1,5B$
    По условию в пироге $S/B = (1/2)/(1/3) \Leftrightarrow S/b = 3/2 \Leftrightarrow S=1,5B$
    Подставим: $1,5B = 12 – 1,5B \Leftrightarrow 3B = 12 \Leftrightarrow B = 4 \Rightarrow S = 6$ Тогда пирогов будет 12.
  2. Земляники будет собрано 6 килограммов, черники будет собрано 4 килограмма.
  3. Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», можно найти массу теста в каждом пироге.
    Пирог состоит из 3 частей и весит 1 килограмм.
    Каждый пирог весит 1 килограмм и на $1/2$ состоит из земляники, $1/3$ из черники и некоторую часть – из теста
    Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма. Значит теста в каждом пироге по 1/6 килограмма, а во всех пирогах – $1/6\cdot 12 = 2$ килограмма.

2. Разве можно списывать?! — 5 класс

Однажды пятиклассник Артём, недавно прочитавший интересную книжку про экономику, услышал, как его старшая сестра Маша рассказывала подруге про свое участие в олимпиаде.
– Представляешь, в нашем кабинете сидела девочка, которая списывала во время олимпиады! Это же ужасно!
– Конечно, ужасно, — ответила Машина подруга — но разве ты сама иногда не списываешь во время контрольных?
– Но это же только во время контрольных! Контрольная — не олимпиада, а только проверка знаний...
– Нет, списывать всегда плохо, из-за этого...
Артём не дослушал этот диалог, потому что ему позвонил друг. Но у него возникло несколько вопросов, над которыми мы предлагаем порассуждать Вам:

  1. Если во время олимпиады (или другого интеллектуального соревнования) кто-то из участников выполняет задания несамостоятельно, к каким издержкам для всех людей, связанных с проведением олимпиады (участников, организаторов, составителей заданий, членов жюри), это может привести?
  2. Какие издержки несёт общество (учитель, ученики, администрация школы, кто-то еще) в том случае, если списывание происходит во время контрольной работы в классе, результатом которой является лишь индивидуальная оценка каждого учащегося?
Решение

  1. Издержки для участников: искажение результатов олимпиады, потери ресурсов, не приводящие к результату (искажение распределения ресурсов, снижающее эффективность), искажение стимулов
    Издержки для организаторов и составителей заданий: затруднение с достижением цели отбора
    Издержки для жюри: проблемы с проверкой работ (недостаток информации о том, честно ли написана робота)
  2. Издержки для участников: искажение стимулов, снижение результата образовательной деятельности
    Издержки для преподавателя: проблемы с проверкой работ (недостаток информации о том, честно ли написана робота) Невозможность понять, насколько хорошо изучен материал
    Издержки для администрации: невозможно проверить, насколько хорошо работает учитель

3. Время на задачки — 5 класс

Двум составителям заданий олимпиады «Верная победа» (которую сокращенно называют ВП) — Александру и Максиму — необходимо составить некоторое количество задачек для этой олимпиады.
Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа.
Максим и Александр работают в команде и стремятся распределить работу так, чтобы их суммарное время на составление задач для ВП было как можно меньше: всё остальное время каждый из них планирует составлять задания для Московской олимпиады школьников по экономике.

  1. Пусть Александру и Максиму необходимо составить 5 хороших задач для ВП. Сколько часов каждый из них потратит на составление задач?
  2. Пусть Александру и Максиму необходимо составить $Q$ хороших задач для ВП ($Q$ — количество задач, которые им нужно составить). Сколько часов каждый из них потратит на составление?
  3. Предположим, что олимпиада ВП уже очень скоро, и Александру с Максимом необходимо объединить усилия. Если они будут работать вместе и составят при этом 26 хороших задач, сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
  4. Предположим, что Александр и Максим объединили усилия и работаю вместе, но теперь им нужно составить $Q$ хороших задач для ВП. Сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
  5. Предположим, что у Максима на составление задач для ВП имеется всего 21 час, а Александр временем не ограничен. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление 12 хороших задач для ВП?
  6. Предположим, что у Максима на составление задач имеется всего $T$ часов, а Александр временем не ограничен. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление $Q$ хороших задач для ВП?
Решение

  1. Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима = $15$ часов, время Александра = $0$ часов.
  2. Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима = $3Q$ часов, время Александра = $0$ часов.
  3. Производительность Александра ($AP_{Александра}$) = $1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$) =$1/3$ (задач/час); Общая производительность при одновременной работе (AP_{А+М})$=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками $= 26/(8/15) = 390/8 = 48,75$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $48,75\cdot 2=97,5$ часов.
  4. Производительность Александра ($AP_{Александра}$) = $1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$) = $1/3$ (задач/час); Общая производительность при одновременной работе ($AP_{А+М}$)$=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками = $Q/(8/15)=15Q/8$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $15Q/8\cdot 2=15Q/4$ часов.
  5. Максим успеет сделать $21/3 = 7$ задач; Александру останутся $12 – 7 = 5$ задач, тогда Александр потратит $5 \cdot 5 = 25$ ч.; суммарное время $= 21+25=46$ ч.
  6. Из пункта $4$ мы знаем, что при одновременной работе каждый потратит по $15Q/8$ часов, соответственно, если $15Q/8 < T$, то каждый потратит $15Q/8$ ч., и суммарное время составит $15Q/4$ ч.
    Если $15Q/8>T$, то Максим успеет сделать $T/3$ задач, тогда Александру останутся $Q-(T/3)$ задач, следовательно суммарное время составит = $T+(Q-(T/3))\cdot 5=5Q-2T/3$

4. Справедливые пельмени вскладчину

Четверо студентов — Андрей, Полина, Маша и Антон — живут в общежитии. Однажды они решили организовать пельменную вечеринку для друзей. Когда они посмотрели, сколько пельменей имеется у каждого из них, то поняли, что придётся объединять усилия. В итоге Андрей принёс пачку, в которой оставалось 33 пельменя, Полина принесла упаковку, в которой был 41 пельмень, у Маши пельмени почти кончились, поэтому она принесла лишь 26 пельменей. Антон пельменями не запасся, поэтому он внёс в общий фонд 200 рублей, что все сочли справедливым. Как эту сумму следует разделить между остальными тремя студентами, учитывая их «пельменный» вклад?
Решение

Всего на четверых студенты принесли 33+41+26=100 пельменей и 200 рублей. Значит на одного человека в среднем пришлось 100/4=25 пельменей. Следовательно, эти 25 пельменей эквивалентны 200 рублям, которые внес Антон.
Значит 100 пельменей стоят 800 рублей, один пельмень стоит 8 рублей.
Каждый должен был принести по 25 пельменей, поэтому 200 рублей необходимо разделить следующим образом:
Андрею $(33 – 25) \cdot 8 = 64$ рубля
Полине $(41 – 25) \cdot 8 = 128$ рублей
Маше $(26 – 25) \cdot 8 = 8$ рублей

5. Бесплатный сыр? — 5 класс

В настоящее время многие средства массовой информации (газеты и журналы) и киностудии предоставляют пользователям Интернета возможность онлайн-доступа к своим продуктам.
При этом многие онлайн-версии печатных изданий (например, газета "The Times") и сервисы для просмотра фильмов и сериалов (например, видеосервис "Netflix") предлагают пользователям бесплатно воспользоваться своими услугами в течение некоторого периода времени (обычно недели или месяца) перед покупкой подписки на какой-либо срок.

  1. Зачем владельцы этих сервисов так поступают, ведь потребитель за время действия бесплатной подписки (например, за месяц) может получить всю информацию, которая ему нужна, и не захотеть купить платную подписку?
  2. Часто при первом и даже втором использовании услуги сервисы такси или доставки еды предоставляют своим клиентам очень значительную (иногда — до 60–70 процентов) скидку — в итоге стоимость этих услуг становится не только намного ниже, чем у конкурентов, но и приносит убытки фирмам, их предоставляющим. Цель любой фирмы — получить прибыль от своей деятельности, зачем же фирмы так поступают?
Решение

  1. Они продают не стабильный массив информации, а постоянно увеличивающуюся с течением времени (на «Нетфликс» постоянно выходят новые сериалы и фильмы, а у журналов каждую неделю – новый выпуск). Предельные издержки продавцов (то есть издержки на каждую дополнительную единицу продукции) незначительны
    Сетевой эффект для привлечения потребителей (чем больше людей потребляют это благо, тем выше ценность этого блага для каждого отдельного потребителя).
    Не оценивается аргумент: «люди могут забыть про то, что подписались и с них снимут деньги».
    Снижает издержки на ассиметрию информации (у людей есть издержки на ассиметрию информации например они не знают какого качества журнал и из за этого не хотят тратить деньги на его покупку или с нетфликсом то же самое, а бесплатный месяц снизит их издержки и увеличит спрос (при этом по минимум предельных издержек для фирмы) – то есть данное предложение позволяет оценить качество услуги. Скидка нужна на первое время существования сервиса, чтобы привлечь новых клиентов. Впоследствии клиенты не захотят переходить (возвращаться) на другие сервисы, так как у них будут издержки на это (или возникнет привычка потреблять услуги данного сервиса при условии его высокой репутации.
  2. Новые продавцы «захватывают» долю рынка (например, как компания «Ситимобил») – такая акция позволяют людям быстрее и легче начать пользоваться этими услугами при качественной услуге у клиентов возникает доверие к сервису («привычка» использовать данный сервис, если он оказывает качественные услуги).
    Снижение издержек клиента на переход на новый сервис (цель – стимулировать спрос)
    Реклама (при условии, если участник объяснил, почему эта акция может быть рекламой).
    Скидка нужна на первое время существования сервиса, чтобы привлечь новых клиентов. Впоследствии клиенты не захотят переходить (возвращаться) на другие сервисы, так как у них будут издержки на это (или возникнет привычка потреблять услуги данного сервиса при условии его высокой репутации.
    Сетевой эффект: чем больше людей потребляют данный сервис, тем больше продавцов (таксистов или ресторанов) используют его для продажи своих услуг.

6 класс

1. Ягодный пирог — 6 класс

После приключения с Серым волком бабушка отправила Красную шапочку в лес за ягодами, чтобы испечь пироги для лесорубов.
Бабушка знает, что Красная шапочка за день может собрать не более 8 килограммов черники, а скорость сбора земляники Красной шапочкой ровно в полтора раза выше. Девочка собирает ягоды с постоянной скоростью, а количество собранных ей ягод любого вида может быть любым (для упрощения будем считать, что нецелым может быть не только количество килограммов, но даже и количество ягод).
Бабушка собирается испечь диетический пирог по старинному тайному рецепту, благодаря которому масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов.
Рецепт гласит: «В каждый пирог, весящий один килограмм, нужно положить 1/2 килограмма земляники, 1/3 килограмма черники и добавить необходимое по массе количество теста. Других ингредиентов кроме теста, земляники и черники в пирог добавлять не нужно. Вылепить пирог и поставить в печку. Печь до готовности».
Бабушка точно подсчитала, сколько ягод нужно принести внучке и велела ей работать весь день с максимальной производительностью. Что послушная девочка и выполнила.

  1. Сколько земляники и черники собрала Красная шапочка?
  2. Сколько килограммовых пирогов сможет испечь бабушка?
  3. Сколько теста будет потрачено бабушкой на изготовление пирогов?
Решение

Способ 1.

  1. Найдем, что 1 килограмм черники можно собрать за $1/8$ дня, а земляники – за $1/12$ дня $(1/8)/(1,5)= 1/12$ (может быть просто указано, что $1/12$ – в полтора раза меньше, чем $1/8$.
    Для одного пирога нужно: $1/2$ килограмма земляники и $1/3$ килограмма черники. На сбор ингредиентов для одного пирога уйдёт:
    $1/2 \cdot 1/12 = 1/24$ дня на сбор земляники
    $1/3 \cdot 1/8 = 1/24$ дня на сбор черники.
    Тогда общее время на сбор ингредиентов для одного пирога составит $2/24 = 1/12$ дня.
    Тогда Красная шапочка сможет собрать ингредиенты на $12$ пирогов, поэтому бабушка испечет $12$ пирогов.
  2. Следовательно Красная шапочка соберет $1⁄2 \cdot 12 = 6$ килограммов земляники и $1/3 \cdot 12 = 8$ килограммов черники.
  3. Пирог состоит из $3$ частей и весит $1$ килограмм. Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма.
    Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит $1/6$ килограмма.
    В $12$ пирогах $12 \cdot 1/6 = 2$ килограмма теста

Способ 2.

  1. Обозначим количество собранной Красной шапочкой земляники за $S$, а черники – за $B$. Нам известна производительность Красной шапочки в день при сборе черники, ее производительность при сборе земляники в полтора раза выше (по условию). Тогда вместо $1$ единицы черники она может собрать $1,5$ единицы земляники.
    Максимально Красная шапочка может собрать $8\cdot 1,5=12$ килограммов земляники. Собирая $B$ единиц черники, Красная шапочка лишится возможности собрать $1,5\cdot B$ единиц земляники, то есть соберет $S = 12 – 1,5B$.
    По условию в пироге $S/B = (1/2)/(1/3)\Leftrightarrow S/b = 3/2\Leftrightarrow S=1,5B$.
    Подставим: $1,5B = 12 – 1,5B\Leftrightarrow 3B = 12\Leftrightarrow B = 4 \Rightarrow S = 6$ Тогда пирогов будет $12$.
  2. Земляники будет собрано $6$ килограммов, черники будет собрано $4$ килограмма.
  3. Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», можно найти массу теста в каждом пироге.
    Пирог состоит из $3$ частей и весит $1$ килограмм.
    Каждый пирог весит $1$ килограмм и на $1/2$ состоит из земляники, $1/3$ из черники и некоторую часть – из теста.
    Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма.
    Значит теста в каждом пироге по $1/6$ килограмма, а во всех пирогах – $1/6\cdot 12 = 2$ килограмма.

2. Разве можно списывать?! — 6-7 класс

Однажды шестиклассник Артём, недавно прочитавший интересную книжку про экономику, услышал, как его старшая сестра Маша рассказывала подруге про свое участие в олимпиаде.
– Представляешь, в нашем кабинете сидела девочка, которая списывала во время олимпиады! Это же ужасно!
– Конечно, ужасно, — ответила Машина подруга — но разве ты сама иногда не списываешь во время контрольных?
– Но это же только во время контрольных! Контрольная — не олимпиада, а только проверка знаний...
– Нет, списывать всегда плохо, из-за этого...
Артём не дослушал этот диалог, потому что ему позвонил друг. Но у него возникло несколько вопросов, над которыми мы предлагаем порассуждать Вам:

  1. Если во время олимпиады (или другого интеллектуального соревнования) кто-то из участников выполняет задания несамостоятельно, к каким издержкам для всех людей, связанных с проведением олимпиады (участников, организаторов, составителей заданий, членов жюри), это может привести по сравнению с ситуацией, когда все пишут олимпиаду честно?
  2. Какие издержки несёт общество (учитель, ученики, администрация школы, кто-то ещё) в том случае, если списывание происходит во время контрольной работы, результатом которой является лишь индивидуальная оценка каждого учащегося (сравните эту ситуацию с ситуацией, когда все ученики пишут контрольную работу честно)?
  3. Некоторые экономисты отмечают, что существует обратная корреляция между уровнем честности в учёбе и количеством дорожно-транспортных происшествий (ДТП) в стране: в странах, где выше выше уровень честности в учёбе, совершается меньше ДТП. Как вы считаете, что может быть причиной наблюдаемой обратной корреляции?
Решение

  1. Издержки для участников: искажение результатов соревнования; потери ресурсов, не приводящие к результату (искажение распределения ресурсов, снижающее эффективность); искажение стимулов.
    Издержки для организаторов и составителей заданий: затруднение с достижением цели отбора; потери ресурсов без достижения цели отбора.
    Издержки для жюри: проблемы с проверкой работ (недостаток информации о том, честно ли написана робота).
  2. Издержки для участников: искажение стимулов; снижение результата образовательной деятельности.
    Издержки для преподавателя: проблемы с проверкой работ (недостаток информации о том, честно ли написана робота); невозможность понять, насколько хорошо изучен материал.
    Издержки для администрации: невозможно проверить, насколько хорошо работает учитель
  3. Плохие институты. Работает принцип «правила можно нарушать». Нарушают в школе – нарушают и на дорогах.
    Приемлемость жульничества в обучении. В итоге при сдаче экзаменов на права также жульничают, поэтому хуже водят.
    Плохие институты. Привычка жульничать создает общественную приемлемость взяток в ДПС. Зная это, водители чаще нарушают правила.

3. Время на задачки — 6 класс

Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа.
Максим и Александр работают в команде и стремятся распределить работу так, чтобы их суммарное время на составление задач для ВП было как можно меньше: всё остальное время каждый из них планирует составлять задания для Московской олимпиады школьников по экономике.

  1. Пусть Александру и Максиму необходимо составить 5 хороших задач для ВП. Сколько часов каждый из них потратит на составление задач?
  2. Пусть Александру и Максиму необходимо составить $Q$ хороших задач для ВП ($Q$ — количество задач, которые им нужно составить). Сколько часов каждый из них потратит на составление?
  3. Предположим, что олимпиада ВП уже очень скоро, и Александру с Максимом необходимо объединить усилия. Если они будут работать вместе и составят при этом 26 хороших задач, сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
  4. Предположим, что Александр и Максим объединили усилия и работают вместе, но теперь им нужно составить $Q$ хороших задач для ВП. Сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
  5. Предположим, что у Максима на составление задач для ВП имеется всего 21 час, а у Александра — 20 часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление 12 хороших задач для ВП?
  6. Предположим, что у Максима на составление задач имеется всего $M$ часов, а у Александра — $N$ часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление $Q$ хороших задач для ВП?
Решение

  1. Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима = $15$ ч., время Александра = $0$ ч.
  2. Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима = $3Q$ ч., время Александра = $0$ ч.
  3. Производительность Александра ($AP_{Александра}$) =$1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$)=$1/3$ (задач/час). Общая производительность при одновременной работе ($AP_{А+М}$)$=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками $= 26/(8/15)=390/8= 48,75$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $48,75\cdot 2=97,5$ часов.
  4. Производительность Александра ($AP_{Александра}$) =$1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$) = $1/3$ (задач/час); Общая производительность при одновременной работе ($AP_{А+М}$)$=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками $= Q/(8/15)=15Q/8$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $15Q/8\cdot 2=15Q/4$ часов.
  5. Максим успеет сделать $21/3=7$ задач; Александр успеет сделать $20/5=4$ задачи, тогда суммарно они успеют сделать $7+4=11$ задач. Вывод: $11<12$, поэтому ребята не успеют сделать все $12$ задач.
  6. Максимально возможное количество задач $Q_{max}=M/3+N/5$.
    Если $Q_{max}>Q$, $N<1.875Q$ и $M < 1.875Q$, то ограничение на нас не влияет и всё как в пункте $4$ и $15Q/8$ часов для каждого.
    Если $Q_{max}>Q$ и $N<1.875Q < M$: Александр успеет сделать $N/5$ задач, тогда на Максима приходятся $Q-N/5$ задач и его время составит $3Q-(3N/5)$ часов и суммарное время составит $3Q+2N/5$ часов.
    Если $Q_{max}>Q$ и $M<1.875Q < N$: Максим успеет сделать $M/3$ задач, тогда на Александра приходятся $Q-M/3$ задач и его время составит $5Q-(5M/3)$ часов и суммарное время составит $5Q-2M/3$ часов.

4. Справедливые пельмени вскладчину

Четверо студентов — Андрей, Полина, Маша и Антон — живут в общежитии. Однажды они решили организовать пельменную вечеринку для друзей. Когда они посмотрели, сколько пельменей имеется у каждого из них, то поняли, что придётся объединять усилия. В итоге Андрей принёс пачку, в которой оставалось 33 пельменя, Полина принесла упаковку, в которой был 41 пельмень, у Маши пельмени почти кончились, поэтому она принесла лишь 26 пельменей. Антон пельменями не запасся, поэтому он внёс в общий фонд 200 рублей, что все сочли справедливым. Как эту сумму следует разделить между остальными тремя студентами, учитывая их «пельменный» вклад?
Решение

Всего на четверых студенты принесли 33+41+26=100 пельменей и 200 рублей. Значит на одного человека в среднем пришлось 100/4=25 пельменей. Следовательно, эти 25 пельменей эквивалентны 200 рублям, которые внес Антон.
Значит 100 пельменей стоят 800 рублей, один пельмень стоит 8 рублей.
Каждый должен был принести по 25 пельменей, поэтому 200 рублей необходимо разделить следующим образом:
Андрею $(33 – 25) \cdot 8 = 64$ рубля
Полине $(41 – 25) \cdot 8 = 128$ рублей
Маше $(26 – 25) \cdot 8 = 8$ рублей

5. Бесплатный сыр? — 6 класс

Современная экономика изучает, среди прочего, как на поведение людей могут повлиять те или иные факторы. При этом очень важным для качественного исследования является и правильно поставленная гипотеза (предположение), и верно выбранные методы исследования. Одно из таких исследований мы предлагаем вам обсудить.
В одном из отелей, расположенных в курортном городе, в стоимость проживания включается питание в виде полного пансиона (то есть завтрак, обед и ужин) по системе «шведский стол»: все блюда располагаются на общем столе, а каждый может подойти и взять себе то количество еды, которое хочет. При этом за каждый завтрак (обед, ужин) каждый клиент платит фиксированную сумму, независящую от объёма съеденного. Оплата полного пансиона по системе «шведский стол» в этом отеле уже включена в стоимость, по условиям отеля в нём нельзя проживать, отказавшись при этом от оплаты питания.
Исследователи решили проанализировать, как зависит потребление еды за «шведским столом» от размера оплаты за питание. Для этого в течение недели был организован следующий эксперимент:

  • Всем туристам, у которых номер паспорта заканчивался на нечётную цифру, при заселении в отель сообщали, что они получают скидку на питание в размере 50 % (то есть пользование «шведским столом» обойдётся им в два раза дешевле, чем было изначально включено в стоимость).
  • Всех, чей номер паспорта заканчивался на чётную цифру, информировали, что им питание предоставляется бесплатно. При этом и той, и другой группе клиентов разница в стоимости немедленно переводилась на карту или выдавалась наличными (на их усмотрение)

В течение недели исследователи внимательно наблюдали за постояльцами отеля, учитывая, кто из них сколько съел за шведским столом». После этого информация была обработана и было рассчитано, сколько еды в среднем потребляли представители каждой из групп.

  1. Как вы считаете, представители какой части туристов потребляли в среднем больше еды: те, кто в итоге получил полный пансион бесплатно или те, кому дали лишь 50 % скидку? Приведите аргументы, объясняющие такие результаты эксперимента.
  2. Как вы считаете, почему в качестве критерия разделения на группы была выбрана «последняя цифра номера паспорта»?
  3. Предложите несколько других критериев деления на группы, позволяющих добиться той же цели, что и тот, который выбрали исследователи.
Решение

  1. Предложенный способ формирования групп для исследования позволяет сформировать две группы, относительно равные по всем показателям (см. 2). Поэтому, казалось бы, в среднем представитель каждой группы должен потреблять одинаковое количество еды. На практике люди, которые ничего не заплатили, едят меньше, так как 1) у них пропадает стимул потреблять (нулевые издержки посещения шведского стола) и 2) у них больше денег остаётся, чтобы есть в других местах между посещением шведского стола в отеле.
  2. Данный способ позволяет распределить клиентов отеля на две группы, относительно равные по всем показателям (так как значение последней цифры номера паспорта не связано с характеристиками человека, каждая цифра может выпасть с одинаковой вероятностью). При этом издержки, которые несут организаторы эксперимента на формирование групп, практически нулевые – клиент в любом случае сообщает отелю номер своего паспорта.
  3. Все разумные аргументы, отвечающие двум условиям: 1) обеспечение случайности выборки 2) низкие затраты на реализацию деления на группы.

7 класс

1. Ягодный пирог — 7 класс

Даша и Катя, известные московским семиклассникам по Муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников по экономике, вновь пошли в лес собирать ягоды.
На этот раз Даша за день может собрать не более 3 килограммов черники или 6 килограммов земляники, а Катя за день максимально может собрать 4 килограмма черники или 13,5 килограммов земляники. Девочки по-прежнему собирают ягоды с постоянной скоростью, а количество собранных ими ягод любого вида может быть любым (для упрощения будем считать, что нецелым может быть не только количество килограммов, но даже и количество ягод).
Собранные ягоды девочки приносят домой бабушке, которая из них печет диетический пирог по старинному тайному рецепту, благодаря которому масса готового пирога строго равна сумме масс ингредиентов.
Рецепт гласит: «Для того, чтобы получить килограммовую порцию пирога, необходимо взять 1/2 килограмма земляники, 1/3 килограмма черники и добавить необходимое по массе количество теста. Других ингредиентов кроме теста, земляники и черники в пирог добавлять не нужно. Вылепить пирог и поставить в печку. Печь до готовности».
Мудрая бабушка распределила работу между девочками, чтобы они смогли принести домой столько ягод, чтобы их хватило на максимальное количество килограммовых порций пирога.

  1. Сколько земляники и черники соберет каждая из девочек?
  2. Сколько порций пирога сможет испечь бабушка?
  3. Сколько теста будет потрачено бабушкой на изготовление пирогов?
Решение

Способ 1.

  1. Обратим внимание, что девочки собирают ягоды с постоянной скоростью.
    Заметим тогда, что, собирая единицу черники, Даша теряет возможность собрать $2$ единицы земляники, а Катя – $135/40=27/8$ (то есть больше $2$) единиц земляники.
    Поэтому землянику в первую очередь собирает Катя, а чернику – Даша.
    Предположим, что Даша собирает только чернику. Тогда за день она соберет черники на $3/(1/3) = 9$ пирогов.
    В этом случае Маше необходимо собрать для $9$ пирогов $9 \cdot (1/2) = 4,5$ килограмма земляники.
    На это у Маши уйдет $4,5/13,5 = 1/3$ дня.
    Еще $2/3$ дня Маша будет собрать и землянику, и чернику.
    Найдем, что $1$ килограмм черники Маша будет собирать за $1/4$ дня, а земляники – за $10/135 = 2/27$ дня.
    Для одного пирога нужно: $1/2$ килограмма земляники и $1/3$ килограмма черники. На сбор ингредиентов для одного пирога уйдёт: $1/2 \cdot 2/27 = 1/27$ дня на сбор земляники, $1/3 \cdot 1/4 = 1/12$ дня на сбор черники.
    Тогда общее время на сбор Машей ингредиентов для одного пирога составит $1/27 + 1/12 = 13/108$ дня.
    За $2/3$ дня Маша сможет собрать ягоды для $(2/3)/(13/108)=(2\cdot 108)/(3\cdot 13)=(2\cdot 36)/13=72/13$ пирога.
    То есть для $5$ целых и $7/13$ пирога.
    Маша за $2/3$ дня соберет $(72/13) \cdot (1/2) = 36/13=2\frac{10}{13}$ килограмма земляники. Маша за $2/3$ дня соберет $(72/13) \cdot (1/3) = 24/13 = 1\frac{11}{13}$ килограмма черники.
    В итоге за день: Даша соберет $3$ килограмма черники и $0$ килограммов земляники Маша соберет $24/13=1\frac{11}{13} килограмма черники.
    Маша соберет $4,5 + 2\frac{10}{13} = 6 + (1/2 + 10/13) = 6 + 33/26 = 7\frac{7}{26}$ килограмма земляники.
  2. Бабушка сможет испечь $14\frac{7}{13}$ килограммовых пирогов (как указано выше).
  3. Пирог состоит из $3$ частей и весит $1$ килограмм.
    Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма.
    Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит $1/6$ килограмма
    Всего для изготовленных пирогов требуется $14\frac{7}{13}\cdot 1/6 = 2\frac{11}{26}$ килограмма теста.
    Если было округление до целого, то $14 \cdot 1/6 = 7/3$ килограмма теста.

Способ 2.

  1. Обратим внимание, что девочки собирают ягоды с постоянной скоростью.
    Построим КПВ Даши и Кати. Они линейны, так как скорость постоянна
    Найдем альтернативные издержки Даши и Кати, $В$ – черника, $S$ – земляника. У Даши: $АИ (1B) = 2 (S)$. У Кати: $АИ (1B) = 27/8 (S)$.
    Альтернативные издержки у Даши ниже, поэтому чернику в первую очередь собирает она.
    Построим общую КПВ.
    По условию в пироге $S/B = (1/2)/(1/3)\Leftrightarrow S/b = 3/2 \Leftrightarrow B=(2/3)S$.
    Заметим, что земляники в полтора раза больше, чем черники, поэтому следует учитывать ограничение на «участке Кати» общей КПВ
    Уравнение на участке Кати имеет вид $B = 7 – (40/135)S$.
    При этом $B=(2/3)S$.
    Решая систему, получим $S = 7\frac{7}{26}$, откуда $B = 4\frac{11}{13}$.
    В итоге за день: Даша соберет $3$ килограмма черники и $0$ килограммов земляники
    Маша соберет $24/13 = 1\frac{11}{13}$ килограмма черники.
    Маша соберет $7\frac{7}{26}$ килограмма земляники
  2. Тогда бабушка сможет испечь $4\frac{11}{13} \cdot 2 + 5 = 14\frac{7}{13}$ килограммовых пирогов.
  3. Пирог состоит из $3$ частей и весит $1$ килограмм.
    Земляника и черника весят $1/2 + 1/3 = 5/6$ килограмма.
    Так как сказано, что «масса готового пирога строго равна сумме масс его ингредиентов», тогда значит тесто в пироге весит $1/6$ килограмма
    Всего для изготовленных пирогов требуется $2\frac{11}{26}$ килограмма теста.

2. Разве можно списывать?! — 6-7 класс

Однажды шестиклассник Артём, недавно прочитавший интересную книжку про экономику, услышал, как его старшая сестра Маша рассказывала подруге про свое участие в олимпиаде.
– Представляешь, в нашем кабинете сидела девочка, которая списывала во время олимпиады! Это же ужасно!
– Конечно, ужасно, — ответила Машина подруга — но разве ты сама иногда не списываешь во время контрольных?
– Но это же только во время контрольных! Контрольная — не олимпиада, а только проверка знаний...
– Нет, списывать всегда плохо, из-за этого...
Артём не дослушал этот диалог, потому что ему позвонил друг. Но у него возникло несколько вопросов, над которыми мы предлагаем порассуждать Вам:

  1. Если во время олимпиады (или другого интеллектуального соревнования) кто-то из участников выполняет задания несамостоятельно, к каким издержкам для всех людей, связанных с проведением олимпиады (участников, организаторов, составителей заданий, членов жюри), это может привести по сравнению с ситуацией, когда все пишут олимпиаду честно?
  2. Какие издержки несёт общество (учитель, ученики, администрация школы, кто-то ещё) в том случае, если списывание происходит во время контрольной работы, результатом которой является лишь индивидуальная оценка каждого учащегося (сравните эту ситуацию с ситуацией, когда все ученики пишут контрольную работу честно)?
  3. Некоторые экономисты отмечают, что существует обратная корреляция между уровнем честности в учёбе и количеством дорожно-транспортных происшествий (ДТП) в стране: в странах, где выше выше уровень честности в учёбе, совершается меньше ДТП. Как вы считаете, что может быть причиной наблюдаемой обратной корреляции?
Решение

  1. Издержки для участников: искажение результатов соревнования; потери ресурсов, не приводящие к результату (искажение распределения ресурсов, снижающее эффективность); искажение стимулов.
    Издержки для организаторов и составителей заданий: затруднение с достижением цели отбора; потери ресурсов без достижения цели отбора.
    Издержки для жюри: проблемы с проверкой работ (недостаток информации о том, честно ли написана робота).
  2. Издержки для участников: искажение стимулов; снижение результата образовательной деятельности.
    Издержки для преподавателя: проблемы с проверкой работ (недостаток информации о том, честно ли написана робота); невозможность понять, насколько хорошо изучен материал.
    Издержки для администрации: невозможно проверить, насколько хорошо работает учитель
  3. Плохие институты. Работает принцип «правила можно нарушать». Нарушают в школе – нарушают и на дорогах.
    Приемлемость жульничества в обучении. В итоге при сдаче экзаменов на права также жульничают, поэтому хуже водят.
    Плохие институты. Привычка жульничать создает общественную приемлемость взяток в ДПС. Зная это, водители чаще нарушают правила.

3. Время составлять задачки

Двум составителям заданий олимпиады «Верная победа» (которую сокращенно называют ВП) — Александру и Максиму — необходимо составить некоторое количество задачек для этой олимпиады.
Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа.
Максим и Александр работают в команде и стремятся распределить работу так, чтобы их суммарное время на составление задач для ВП было как можно меньше: всё остальное время каждый из них планирует составлять задания для Московской олимпиады школьников по экономике.

  1. Пусть Александру и Максиму необходимо составить $Q$ хороших задач для ВП ($Q$ — количество задач, которые им нужно составить). Сколько часов каждый из них потратит на составление?
  2. Предположим, что олимпиада ВП уже очень скоро, и Александру с Максимом необходимо объединить усилия. Если они будут работать вместе и составят при этом $Q$ хороших задач, сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
  3. Предположим, что у Максима на составление задач для ВП имеется всего 21 час, а у Александра — 20 часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление $Q$ задач для ВП?
  4. Предположим, что у Максима на составление задач имеется всего $M$ часов, а у Александра — $N$ часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление $Q$ хороших задач для ВП?
Решение

  1. Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на $3$ часа, а если Александр, то на $5$ часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима $ = 3Q$ ч., время Александра $ = 0$ ч.
  2. Производительность Александра ($AP_{Александра}$) $ =1/5$ (задач/час); производительность Максима ($AP_{Максима}$) $=1/3$ (задач/час); Общая производительность при одновременной работе ($AP_{А+М}$) $=1/3+1/5=8/15$ (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками $ = Q/(8/15)=15Q/8$ ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное $15Q/8\cdot 2=15Q/4$ часов.
  3. Если $Q < 11$, то аналогично пункту $2$ время каждого $15Q/8$, а суммарное $15Q/4$.
    Если $Q=11$: Максим успеет $21/3=7$ задач, а Александр $20/5=4$ задачи, следовательно, $4+7=11$ задач.
    Если $Q > 11$, то они ничего не успеют
  4. Максимально возможное количество задач $Q_{max}=M/3+N/5$.
    Если $Q_{max} > Q$, $N < 1.875Q$ и $M < 1.875Q$, то ограничение на нас не влияет и всё как в пункте $2$ и $15Q/8$ часов для каждого и $15Q/4$ часов суммарно.
    Если $Q_{max} > Q$ и $N < 1.875Q < M$: Александр успеет сделать $N/$5 задач, тогда на Максима приходятся $Q-N/5$ задач и его время составит $3Q-(3N/5)$ часов и суммарное время составит $3Q+2N/5$ часов.
    Если $Q_{max} > Q$ и $M < 1.875Q < N$: Максим успеет сделать $M/3$ задач, тогда на Александра приходятся $Q-M/3$ задач и его время составит $5Q-(5M/3)$ часов и суммарное время составит $5Q-2M/3$ часов

4. Страховая асимметрия?

Экономисты часто обращают внимание на провалы рынка, то есть ситуации, при которых рынок не может обеспечить эффективного распределения ресурсов. Одним из провалов рынка является асимметрия информации — проблема, возникающая из-за того, что участники рыночных отношений владеют информацией о сделке в неравной степени, что затрудняет определение рыночной цены товара. В частности, такая проблема часто возникает на рынке услуг страхования. Страховой компании очень важно верно оценить как спрос на свои услуги (то есть готовность клиентов платить за страховой полис), так и вероятность наступления страхового события (то есть события, при наступлении которого она будет вынуждена выплатить клиенту компенсацию).
Одной из мер, при помощи которых страховые компании борются с проблемой асимметрии информации, является введение франшизы: часто страховые контракты предполагают, что в тех случаях, когда ущерб, нанесенный застрахованному имуществу, незначителен (ниже некоторой суммы $X$), пострадавший не получает никакой выплаты, если же ущерб значителен, страховая компания выплачивает компенсацию, но за вычетом этой суммы $X$.
Обычно страховые комании предлагают клиентам два варианта страхования: с полной компенсацией ущерба и с франшизой. Особенно распространены контракты с франшизой при страховании жилья и автостраховании. Мы предлагаем Вам обсудить, зачем страховые компании вводят франшизу на свои услуги.

  1. Считается, что продажа полисов с франшизой позволяет разделить клиентов на разные группы. Попробуйте описать механизм, позволяющий это сделать.
  2. Очень часто франшиза используется при страховании автомобилей, которые берутся в аренду туристами, приезжающими в другую страну. Более того, разница в цене между полисами с полной компенсацией ущерба и с франшизой иногда составляет несколько сотен долларов за две-три недели (за обыкновенный автомобиль): страховка с полным покрытием может обходиться клиенту на 40–50 % дороже, чем страховка с франшизой. Как вы считаете, какими причинами вызвана такая значительная разница в стоимости полисов?
  3. Для снижения асимметрии информации страховые компании могут опрашивать клиентов, задавая множество вопросов про их деятельность, привычки и прочее. Так, при страховании здоровья, клиенту могут задать вопрос, курит ли он, предложив три варианта ответа «не курю», «курю сигареты», «курю сигары». Предложите аргументы, объясняющие наличие как этого вопроса, так и данных вариантов ответа. Как Вы считаете, при каком ответе полис, предполагающий одинаковую компенсацию при наступлении страхового случая, будет стоить дороже всего и почему?
Решение

  1. Страховая компания заранее не может определить, насколько вероятно наступление страхового случая у конкретного клиента. Если компания ошибется с оценкой вероятности страхового случая (и, следовательно, выплаты), она рискует понести значительные убытки. Причем может произойти так, что, купив полис, клиент будет вести себя менее аккуратно, увеличивая наступление страхового случая. Поэтому страховая компания предлагает клиентам два вида контрактов:
    1) Более дорогие с полным покрытием (клиент получает всю сумму страховки)
    2) Более дешевые с франшизой. По этим контрактам клиент не получает ничего, если ущерб не больше $Х$, и получает величину ущерба за вычетом суммы $Х$, если ущерб превышает $Х$.
    Клиенты, более ответственно относящиеся к застрахованному активу (имуществу или здоровью) будут готовы на условие франшизы, так как считают риски меньшими (выберут контракт 2)), а сам контракт стоит дешевле.
    Менее ответственные клиенты выберут контракт 1 (так как они оценивают выше риск страхового случая и готовы больше заплатить за контракт), а более ответственные - контракт 2 (так как для них вероятность риска ниже).
    Так же, такие контракты позволяют дискриминировать людей по доходу, люди с меньшим доходом скорее всего купят страховку с франшизой, а с более высоким купят полную.
  2. Главные идеи группы 1): туристы ездят по малознакомым дорогам, поэтому оценивают риск аварии выше.
    Главные идеи группы 2): страховая компания предполагает, что туристы менее ответственно относятся к арендованной машине.
  3. Если клиент курит сигареты, то относится к своему здоровью менее внимательно, поэтому контракт страхования дороже, чем страховка человека, который не курит и бережно относится к своему здоровью.
    Если клиент курит сигары, он значительно богаче, чем среднестатистический человек и не очень хорошо следит за здоровьем, следовательно, его страховка будет самой дорогой. Получаем такую градацию: «не курю» — самая дешевая, «курю сигареты» — дороже, «курю сигары» — самая дорогая.

5. Два зайца против курения

Правительство Тулендрии решило одновременно достичь две цели: пополнить свой бюджет и снизить потребление сигарет. Для этого было принято решение ввести потоварный налог на продажу табачных изделий.
Потоварный налог было решено ввести по ставке $t$, то есть теперь за каждую проданную пачку сигарет потребители должны заплатить ровно на $t$ тулеров (тулер — денежная единица Тулендрии) больше, чем получат производители: разница поступает в бюджет государства.
По заказу правительства Тулендрии был проведено исследование, которое позволило установить, по какой минимальной цене за одну пачку производители готовы продавать некоторое количество сигарет, а также выяснить, какую максимальную цену покупатели готовы заплатить за пачку, покупая то или иное количество сигарет (данные этого исследования приведены в таблице).

Количество (млн. пачек в год) Минимальная цена за пачку, по которой производители готовы продавать данное количество товара (тулеров за пачку) Максимальная цена за пачку, по которой покупатели готовы покупать данное количество товара (тулеров за пачку)
15 54 194
44 72 172
80 84 154
112 90 140
204 100 120
246 108 108
275 138 92
356 182 80

Проанализировав результаты исследования, правительство ввело налог по ставке $t$, который одновременно позволил решить две задачи:

  • Собрать на рынке табачных изделий максимально возможную сумму денег;
  • Максимально (с учетом решения первой задачи) снизить объем потребления сигарет.

Пожалуйста, ответьте на следующие вопросы:

  1. Какую ставку налога $t$ установит правительство Тулендрии и какое количество тулеров оно сможет получить в виде налоговых сборов?
  2. На сколько миллионов пачек снизится количество приобретаемых и потребляемых сигарет в результате этой меры?
  3. На сколько процентов больше сигарет приобретали и потребляли бы жители Тулендрии, если бы налог не был введён?
  4. Министерству здравоохранения Тулендрии известно, что в настощий момент 10 % жителей Тулендрии страдают заболеваниями дыхания. Кроме того, известно, что снижение потребления сигарет на 1 % приводит к снижению количества заболеваний дыхания на 1/5 процентного пункта. Какая часть жителей Тулендрии будет иметь заболевания дыхания после введения налога на сигареты?
Решение

  1. Перебором получаем $t = 50$.
  2. Равновесие при $q=246$, $p=108$.

8 класс

1. Прогрессивная или пропорциональная?

Сегодня в России действует пропорциональная система подоходного налогообложения: ставка налога фиксирована на уровне 13 % для людей с любым уровнем дохода. В некоторых странах (Австралия, Великобритания, Германия, Канада, США и др.) принята прогрессивная система: ставка подоходного налога возрастает с ростом дохода.
Это работает следующим образом. Например, если доходы не выше \$100 тыс. облагаются налогом по ставке 10 %, а доходы выше этой границы облагаются налогом по ставке 30 %, то человек с доходом \$150 тыс. заплатит государству $0,1 \cdot \$100 + 0,3\cdot\$(150 - 100) = \$25$ тыс.

  1. В России в настоящее время идёт активная дискуссия по поводу того, нужно ли переходить к прогрессивной системе налогообложения. Есть мнение, что прогрессивный подоходный налог позволяет сильнее пополнять бюджет и выглядит более «социально справедливым», чем пропорциональный. Приведите несколько аргументов в защиту пропорционального подоходного налога перед прогрессивным.
  2. Если вы обратили внимание, в условии задачи в качестве примеров стран с прогрессивной системой приведены только развитые экономики. На самом деле, это является мировой тенденцией: обычно прогрессивный налог вводится в развитых странах, а пропорциональный — в развивающихся. С чем это может быть связано?
Решение

  1. При прогрессивном налоге стоимость дополнительного усилия уменьшается. Иными словами, при пропорциональном налоге, если вы захотите приложить больше усилий к работе и получить повышение, стоимость этого усилия будет равна прибавке к зарплате за вычетом налога, такого же, какой и вычитался на каждом этапе (при любой зарплате), а при прогрессивном налоге вычет будет больше, чем раньше. Таким образом, прогрессивный налог стимулирует людей меньше работать.
    При прогрессивной системе налогообложения у богатых людей больше стимулов скрывать свой заработок, уходить от налогов. У фирм больше стимулов выдавать зарплату наличными неофициально. Это даёт дополнительные стимулы к развитию теневой экономики.
    Лёгкость администрирования: пропорциональный налог проще высчитывать и собирать. Но проще не в прямом значении, а в том, что необходимо заполнять меньше бумаг и легче декларировать сам доход, в результате чего издержки на бюрократию становятся меньше.
  2. В развивающихся странах:
    Обычно больше неравенство, обычно богатые люди в развивающихся странах богаче богатых людей в развитых, следовательно, в развивающихся странах у большего количества людей будут стимулы скрывать налоги при прогрессивной системе.
    Обычно теневой сектор экономики больше, поэтому скрывать заработок и уклоняться от налогов легче.

    В развитых странах:
    Гораздо труднее уклоняться от налогов в силу развитых институтов и неразвитого теневого сектора.
    К тому же, в развитых странах неравенство меньше, но при этом и средний доход выше, что позволяет собирать больше при прогрессивной системе.

    Таким образом, в развивающихся странах выгоднее вводить пропорциональный налог, чтобы избежать вышеописанных последствий, а в развитых есть возможность вводить систему прогрессивного налога.

2. Государство и дороги

В стране Х все дороги являются государственными. Соответственно, их строительство и поддержание в надлежащем состоянии оплачиваются из государственного бюджета. Как-то на заседании правительства министр транспорта высказал следующую идею: «Господа, давайте сделаем все дороги в нашем государстве частными, а права на владение ими будем продавать с аукционов. Тогда владелец дороги будет поддерживать её состояние за деньги, которые он будет взимать за проезд по ней, а налоги мы снизим на величину, которую раньше тратили на строительство и ремонт дорог. Так мы сможем и пополнить наш бюджет за счёт средств, вырученных с аукциона, и проблем будет меньше».

  1. При прочих равных, при какой системе — частной или государственной — чаще образуются пробки? Почему?
  2. Предположим, что идею приняли. Укажите два положительных и два отрицательных эффекта для потребителей.
  3. Во многих странах существует смешанная система: частью дорог (обычно городскими) владеет государство, а частью (обычно междугородними магистралями) владеют частные лица или компании. Объясните, в чём состоят преимущества такой системы перед двумя вышеописанными и почему существует именно такое распределение по «профилю» дорог между государством и частным сектором.
Решение

  1. При государственной, потому что:

    • Когда за платную дорогу нужно платить, поездка на машине становится дороже для потребителя, следовательно, у кого-то полезность от поездки на машине станет отрицательной (меньше, чем от поездки на общественном транспорте)

    • При государственной системе качество дорог хуже, потому что доходы государства от налогов никак не зависят от качества дороги, следовательно, больше ям и ухабов, следовательно, труднее ездить и образуется больше пробок. При системе частных дорог прибыль владельца напрямую зависит от качества его дороги, следовательно, он будет стремиться его улучшить
  2. Положительные эффекты:

    • Улучшится качество дорог, т.к. теперь прибыль владельца дороги будет напрямую зависеть от её качества, и – поскольку на рынке сложится конкуренция – владельцы будут стараться улучшить свои дороги.
    • Меньше пробок, см. обоснование в пункте 1.

    Отрицательные эффекты:

    • Когда у каждой дороги есть свой владелец, дороги будут покупаться и строиться только там, где это может привести к получению положительной прибыли; таким образом, удалённые от больших городов места (деревни, сёла и т.д.) будут непривлекательны для строительства, и дорог там не будет или будет очень мало (при государственной системе государство берёт на себя социальную роль обеспечить всё население хоть какими-нибудь дорогами).
    • По аналогичной логической цепочке в очень «прибыльных» местах будет строиться больше одной дороги, потому что даже при существовании двух параллельных дорог владельцы всё равно будут получать положительную прибыль.
  3. Так происходит, потому что:

    • Внутри городской черты существует очень много вариантов маршрута из точки А в точку В, следовательно, частным владельцам будет невыгодно владеть какой-либо дорогой.
    • Также в городе существует не только несколько маршрутов, но и много вариантов вида транспорта, который опять же будет конкурентом для частных владельцев.

3. Стройка

В городе N группа приглашённых экспертов выбирала место для строительства здания филиала Национальной школы экономики. Процедура была следующая: каждый из экспертов мог распределить ровно 7 баллов между четырьмя местами: на берегу реки (Р), на возвышенности (В), в жилом квартале (К) или в промышленной зоне (П). Чтобы меньше возникало неоднозначных результатов, каждый из экспертов мог ставить предполагаемым местам строительства «Р», «В», «К» и «П» только попарно различное (т. е. все четыре числа должны быть различными) целое неотрицательное количество баллов. Побеждало место, набравшее наибольшее суммарное количество баллов.
После подведения итогов выяснилось, что победило место у реки, а меньше всех набрало место в промышленной зоне. Эксперты разъехались, но тут организаторы обнаружили, что недавно местный парламент издал закон: в промышленных зонах учебные заведения строить нельзя, и в список возможных мест её вносить не имели права. Чтобы формально соблюсти закон, из всех результатов убрали место «П», а все проставленные экспертами положительные баллы уменьшили на один, так как на меньшее количество мест полагалось бы меньше баллов.
Например, пусть эксперт М. расставил баллы следующим образом: за «Р» — 2, за «В» — 4, за «К» — 0 и за «П» — 1. Тогда после пересмотра результаты его оценок будут следующие: за «Р» — 1, за «В» — 3, за «К» — 0. После нового подведения итогов оказалось, что ранее побеждавшее место у реки теперь на последнем по рейтингу месте — набрало меньше всех баллов.

  1. Могло ли такое быть, если экспертов было пятеро?
  2. Могла ли сложиться такая ситуация, если экспертов было более пяти человек?
  3. Какое минимальное количество экспертов могло быть, чтобы сложилась подобная ситуация?
Решение

  1. Да, такое могло быть.

    Эксперт Р В К П
    1 1 0 4 2
    2 2 0 4 1
    3 1 4 0 2
    4 4 1 0 2
    5 2 4 1 0
    Итого 10 9 9 7

    После пересчёта получаем:

    Эксперт Р В К
    1 0 0 3
    2 1 0 3
    3 0 3 0
    4 3 0 0
    5 1 3 0
    Итого 5 6 6
  2. Да, такое могло быть. Для примера достаточно удвоить уже готовую таблицу, полученную в пункте 1.
  3. По условию имеем $P_0>K_0$ и $P_1 < K_1$. Пусть $P$ изменилось на какую-то величину $x$, а $K$ — на $y$. Из данных условий получаем:
    1) $P_0-K_0 \geqslant 1$
    2)$P_1-K_1 \leqslant 1$
    3) Из 1) получаем $P_0-x-K_0 +y \geqslant 1-x+y$
    4) Из 2) и 3) получаем $-1\geqslant P_1-K-1 \geqslant 1-x+y$
    Значит, $x-y\geqslant2$. Заметим, что число, на которое изменяется оценка определённого места, равно $x = n-i$, где $n$ – количество экспертов, а $i$ – количество нулей, которые поставили данному месту. Полученное нами неравенство означает, что К поставили хотя бы на 2 нуля больше, чем Р. Рассмотрев В вместо К, получим то же неравенство. Значит, нулей было хотя бы 4. Каждый эксперт ставил ровно 1 ноль, значит и экспертов было хотя бы 4. Пусть их было ровно 4. Тогда у В и К стояло ровно по 2 нуля. Таким образом, выполняются равенства $B=K=P-1$. Всего сумма баллов равна 28, у Р больше всех, тогда у Р было хотя бы 8 баллов. Разберём случаи:

    • Пусть у Р ровно 8 баллов. Тогда у В и К их по 7. Но 7 невозможно набрать двумя числами, среди которых могут быть только 1, 2 и 4. Противоречие.
    • Пусть у Р ровно 9 баллов. Тогда у В и К их по 8. Тогда оценки В и К выглядят как набор 0, 0, 4, 4 (по-другому невозможно выбрать из чисел 1, 2, 4 два числа так, чтобы они в сумме давали 8) Тогда заметим, что максимальное значение Р может быть равно 2+2+2+2=8. Противоречие.
    • Пусть у Р хотя бы 10 баллов. Тогда у В и К должно быть хотя бы по 9 баллов, но это невозможно набрать двумя числами, выбирая из имеющихся 1, 2, 4. Противоречие.

    Тогда минимальное количество экспертов – 5. Пример приведён в пункте 1.

4. Инвестирование

Г-н Картошин должен решить, как инвестировать 100 тыс. руб. сроком на два года. В распоряжении г-на Картошина имеются два альтернативных фонда.
Фонд 1 обещает доходность в размере 10 % годовых по формуле простого процента. Помимо этого, при изъятии средств в конце второго года фонд удерживает $x\cdot 100\%$ от начисленных фондом процентов (с первоначально внесённых 100 тыс. руб. этот процент не взымается).
Фонд 2 предлагает доходность в размере 10 % годовых в первый год и $r\cdot 100\%$ во второй год. Фонд ежегодно капитализирует проценты, т. е. использует формулу сложного процента. При изъятии средств в конце второго года фонд удерживает фиксированную комиссию в размере 5 тыс. руб.
Цель г-на Картошина — выбрать фонд для инвестирования, чтобы достичь максимальной доходности по итогам двух лет с учетом расходов на изъятие средств.

  1. В какой фонд будет инвестировать г-н Картошин и какую сумму денег он получит по истечении двух лет, если $x = 0,2$ и $r = 0,05$?
  2. Определите, при каком значении $r$ г-ну Картошину будет безразлично, в какой фонд инвестировать, если $x = 0,31$.
  3. При каких значениях $x$ г-н Картошин не будет вкладывать средства в фонд 2, какой бы ни была ставка $r$?
Решение

  1. Фонд 1 выгоднее:
    $S_1 = 100(1+2\cdot 0.1 \cdot(1-0.2)) = 116>S_2 = 100(1+0.1)(1+0.05) - 5 = 110.5$
  2. Необходимо составить и решить уравнение:
    $S_1 = 100(1+2\cdot 0.1 \cdot(1-0.31)) = 113.8=S_2 = 100(1+0.1)(1+r) - 5 = 105+110r$
    $r = \frac{113.8 - 105}{110} = 0.08 = 8%$
  3. Таких ставок не существует.

5. Далёкая страна

В стране Z на конкурентном рынке товара Х спрос и предложение определяются как $q_d = 60-p$ и $q_s = 0,5p$, но есть ещё и конкурентный мировой рынок, на котором установилась цена 10 д. е.; если страна Z принимает решение участвовать в международной торговле, то цену мирового рынка она — будучи малой открытой экономикой — воспринимает как заданную.
Однако выход на мировой рынок связан с определёнными издержками: страна Z находится далеко, и транспортировка $\widetilde{q}$ единиц продукции из страны Z на мировой рынок или с мирового рынка в страну Z (направление не имеет значения) обходится в $\widetilde{q}^2$ д. е. Транспортировку осуществляет фирма-монополист, которая диктует рынку товара Х цену $t$ д. е. на перевозку единицы продукции через границу.

  1. Рассмотрите и сравните два гипотетических крайних случая:
    • страна Z является закрытой экономикой;
    • страна Z имеет возможность участвовать в работе мирового рынка, не неся никаких транспортных расходов.

    Какая цена установится внутри страны Z в первом случае и сколько единиц товара будет производиться и потребляться? Объясните, почему в случае выхода на мировой рынок страна Z будет импортёром, а не экспортёром. Сколько единиц продукции будет импортироваться, сколько — производиться внутри страны Z, а сколько —потребляться внутри страны Z?

  2. Допустим, всё происходит так, как на самом деле описано в фабуле задачи. С каким спросом на свою продукцию $\widetilde{q}(t)$ сталкивается перевозчик-монополист? Иными словами, если монополист назначит цену $t$ д. е. за доставку единицы товара Х, то сколько единиц товара $\widetilde{q}$ будет перевозиться? Какую ставку транспортного тарифа $t$ выберет монополист, максимизирующий свою прибыль? Сколько единиц продукции будет импортировано, сколько будет произведено в стране Z и сколько будет потреблено в стране Z?
  3. Правительство страны Z желает увеличить потребление товара Х отечественными потребителями на какое-то количество $x$ единиц, но пока не определилось, на сколько именно. Для этого оно собирается ввести потоварную субсидию в размере $s$ д. е., которая будет выплачиваться монополисту-перевозчику за каждую единицу товара, ввезённую в страну Z с мирового рынка. Проблема в том, что знаний руководства страны Z недостаточно для того, чтобы понять, во сколько такая политика обойдётся бюджету, поэтому оно обратилось за помощью к экспертам. Каких суммарных бюджетных расходов $S = s\widetilde{q}$ потребует такая программа субсидирования в зависимости от значения $x$?
Решение

  1. $ $
    • В отсутствие торговли: $60-p = 0.5p$, откуда $p=40$ и $q = 20$.
    • При свободной торговле малая открытая экономика страна станет импортёром, так как мировая цена ниже, чем внутренняя автаркическая цена (другое объяснение: так как величина спроса при мировой цене больше, чем величина предложения при мировой цене). Потребляться внутри страны будет $q_d(10) = 50$ единиц, из которых $q_s(10) = 5$ единиц будет производиться внутри, а вся остальная продукция в количестве $q_d(10) - q_s(10) = 45$ единиц будет импортироваться с мирового рынка .
  2. Транспортный тариф перевозчика фактически будет означать соответствующий рост мировой цены, которая теперь как будто бы будет равна $10+t$: импортироваться будет количество $\widetilde{q}(t) = q_d(10+t) - q_s(10+t) = 60 - (10+t)-0.5(10+t) = 45 - 1.5t$.
    Это и есть спрос на перевозки: количество ввозимой в страну продукции $\widetilde{q}$ в зависимости от цены перевозки t. Если выразить цену перевозки через количество, будет $t = 30-2\widetilde{q}/3$. Прибыль транспортировщика примет вид:
    $$\pi_T = \left(30 - \frac{2}{3}\widetilde{q} \right)\widetilde{q} - \widetilde{q}^2 =30 \widetilde{q} - \frac{5}{3}\widetilde{q}^2 \rightarrow \max_{\widetilde{q}\geqslant 0}$$
    Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $\widetilde{q} = 9$ . Столько единиц продукции будет ввозиться в страну. Цена перевозки составит $t = 24$. Значит, потребляться внутри страны будет $q_d(34) = 26$ единиц, из которых $q_s(34) = 17$ единиц будет производиться внутри.
  3. При субсидировании монополиста его прибыль примет вид:
    $$\pi_T = \left(30 - \frac{2}{3}\widetilde{q} \right)\widetilde{q} - \widetilde{q}^2 + s\widetilde{q} =(30+s) \widetilde{q} - \frac{5}{3}\widetilde{q}^2 \rightarrow \max_{\widetilde{q}\geqslant 0}$$
    Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $\widetilde{q} = 9+0.3s$. Тогда цена перевозки составит $t = 30-\frac{2}{3}(9+0.3s) = 24-0.2s$. Значит, потребляться внутри страны будет $q_d(34-0.2s) = 26+0.2s$ единиц; отсюда видно, что рост внутреннего потребления составит $\Delta q_d = 0.2s = x$, откуда $s = 5x$. Субсидируемая величина импорта составит $\widetilde{q} = 9+0.3\cdot 5x = 9+1.5x$. Значит, расходы бюджета на субсидирование составят $S = s\widetilde{q} = 5x(9+1.5x) = 45x + 7.5x^2$.

9 класс

1. Прогрессивная или пропорциональная?

Сегодня в России действует пропорциональная система подоходного налогообложения: ставка налога фиксирована на уровне 13 % для людей с любым уровнем дохода. В некоторых странах (Австралия, Великобритания, Германия, Канада, США и др.) принята прогрессивная система: ставка подоходного налога возрастает с ростом дохода.
Это работает следующим образом. Например, если доходы не выше \$100 тыс. облагаются налогом по ставке 10 %, а доходы выше этой границы облагаются налогом по ставке 30 %, то человек с доходом \$150 тыс. заплатит государству $0,1 \cdot \$100 + 0,3\cdot\$(150 - 100) = \$25$ тыс.

  1. В России в настоящее время идёт активная дискуссия по поводу того, нужно ли переходить к прогрессивной системе налогообложения. Есть мнение, что прогрессивный подоходный налог позволяет сильнее пополнять бюджет и выглядит более «социально справедливым», чем пропорциональный. Приведите несколько аргументов в защиту пропорционального подоходного налога перед прогрессивным.
  2. Если вы обратили внимание, в условии задачи в качестве примеров стран с прогрессивной системой приведены только развитые экономики. На самом деле, это является мировой тенденцией: обычно прогрессивный налог вводится в развитых странах, а пропорциональный — в развивающихся. С чем это может быть связано?
Решение

  1. При прогрессивном налоге стоимость дополнительного усилия уменьшается. Иными словами, при пропорциональном налоге, если вы захотите приложить больше усилий к работе и получить повышение, стоимость этого усилия будет равна прибавке к зарплате за вычетом налога, такого же, какой и вычитался на каждом этапе (при любой зарплате), а при прогрессивном налоге вычет будет больше, чем раньше. Таким образом, прогрессивный налог стимулирует людей меньше работать.
    При прогрессивной системе налогообложения у богатых людей больше стимулов скрывать свой заработок, уходить от налогов. У фирм больше стимулов выдавать зарплату наличными неофициально. Это даёт дополнительные стимулы к развитию теневой экономики.
    Лёгкость администрирования: пропорциональный налог проще высчитывать и собирать. Но проще не в прямом значении, а в том, что необходимо заполнять меньше бумаг и легче декларировать сам доход, в результате чего издержки на бюрократию становятся меньше.
  2. В развивающихся странах:
    Обычно больше неравенство, обычно богатые люди в развивающихся странах богаче богатых людей в развитых, следовательно, в развивающихся странах у большего количества людей будут стимулы скрывать налоги при прогрессивной системе.
    Обычно теневой сектор экономики больше, поэтому скрывать заработок и уклоняться от налогов легче.

    В развитых странах:
    Гораздо труднее уклоняться от налогов в силу развитых институтов и неразвитого теневого сектора.
    К тому же, в развитых странах неравенство меньше, но при этом и средний доход выше, что позволяет собирать больше при прогрессивной системе.

    Таким образом, в развивающихся странах выгоднее вводить пропорциональный налог, чтобы избежать вышеописанных последствий, а в развитых есть возможность вводить систему прогрессивного налога.

2. Государство и дороги

В стране Х все дороги являются государственными. Соответственно, их строительство и поддержание в надлежащем состоянии оплачиваются из государственного бюджета. Как-то на заседании правительства министр транспорта высказал следующую идею: «Господа, давайте сделаем все дороги в нашем государстве частными, а права на владение ими будем продавать с аукционов. Тогда владелец дороги будет поддерживать её состояние за деньги, которые он будет взимать за проезд по ней, а налоги мы снизим на величину, которую раньше тратили на строительство и ремонт дорог. Так мы сможем и пополнить наш бюджет за счёт средств, вырученных с аукциона, и проблем будет меньше».

  1. При прочих равных, при какой системе — частной или государственной — чаще образуются пробки? Почему?
  2. Предположим, что идею приняли. Укажите два положительных и два отрицательных эффекта для потребителей.
  3. Во многих странах существует смешанная система: частью дорог (обычно городскими) владеет государство, а частью (обычно междугородними магистралями) владеют частные лица или компании. Объясните, в чём состоят преимущества такой системы перед двумя вышеописанными и почему существует именно такое распределение по «профилю» дорог между государством и частным сектором.
Решение

  1. При государственной, потому что:

    • Когда за платную дорогу нужно платить, поездка на машине становится дороже для потребителя, следовательно, у кого-то полезность от поездки на машине станет отрицательной (меньше, чем от поездки на общественном транспорте)

    • При государственной системе качество дорог хуже, потому что доходы государства от налогов никак не зависят от качества дороги, следовательно, больше ям и ухабов, следовательно, труднее ездить и образуется больше пробок. При системе частных дорог прибыль владельца напрямую зависит от качества его дороги, следовательно, он будет стремиться его улучшить
  2. Положительные эффекты:

    • Улучшится качество дорог, т.к. теперь прибыль владельца дороги будет напрямую зависеть от её качества, и – поскольку на рынке сложится конкуренция – владельцы будут стараться улучшить свои дороги.
    • Меньше пробок, см. обоснование в пункте 1.

    Отрицательные эффекты:

    • Когда у каждой дороги есть свой владелец, дороги будут покупаться и строиться только там, где это может привести к получению положительной прибыли; таким образом, удалённые от больших городов места (деревни, сёла и т.д.) будут непривлекательны для строительства, и дорог там не будет или будет очень мало (при государственной системе государство берёт на себя социальную роль обеспечить всё население хоть какими-нибудь дорогами).
    • По аналогичной логической цепочке в очень «прибыльных» местах будет строиться больше одной дороги, потому что даже при существовании двух параллельных дорог владельцы всё равно будут получать положительную прибыль.
  3. Так происходит, потому что:

    • Внутри городской черты существует очень много вариантов маршрута из точки А в точку В, следовательно, частным владельцам будет невыгодно владеть какой-либо дорогой.
    • Также в городе существует не только несколько маршрутов, но и много вариантов вида транспорта, который опять же будет конкурентом для частных владельцев.

3. Стройка

В городе N группа приглашённых экспертов выбирала место для строительства здания филиала Национальной школы экономики. Процедура была следующая: каждый из экспертов мог распределить ровно 7 баллов между четырьмя местами: на берегу реки (Р), на возвышенности (В), в жилом квартале (К) или в промышленной зоне (П). Чтобы меньше возникало неоднозначных результатов, каждый из экспертов мог ставить предполагаемым местам строительства «Р», «В», «К» и «П» только попарно различное (т. е. все четыре числа должны быть различными) целое неотрицательное количество баллов. Побеждало место, набравшее наибольшее суммарное количество баллов.
После подведения итогов выяснилось, что победило место у реки, а меньше всех набрало место в промышленной зоне. Эксперты разъехались, но тут организаторы обнаружили, что недавно местный парламент издал закон: в промышленных зонах учебные заведения строить нельзя, и в список возможных мест её вносить не имели права. Чтобы формально соблюсти закон, из всех результатов убрали место «П», а все проставленные экспертами положительные баллы уменьшили на один, так как на меньшее количество мест полагалось бы меньше баллов.
Например, пусть эксперт М. расставил баллы следующим образом: за «Р» — 2, за «В» — 4, за «К» — 0 и за «П» — 1. Тогда после пересмотра результаты его оценок будут следующие: за «Р» — 1, за «В» — 3, за «К» — 0. После нового подведения итогов оказалось, что ранее побеждавшее место у реки теперь на последнем по рейтингу месте — набрало меньше всех баллов.

  1. Могло ли такое быть, если экспертов было пятеро?
  2. Могла ли сложиться такая ситуация, если экспертов было более пяти человек?
  3. Какое минимальное количество экспертов могло быть, чтобы сложилась подобная ситуация?
Решение

  1. Да, такое могло быть.

    Эксперт Р В К П
    1 1 0 4 2
    2 2 0 4 1
    3 1 4 0 2
    4 4 1 0 2
    5 2 4 1 0
    Итого 10 9 9 7

    После пересчёта получаем:

    Эксперт Р В К
    1 0 0 3
    2 1 0 3
    3 0 3 0
    4 3 0 0
    5 1 3 0
    Итого 5 6 6
  2. Да, такое могло быть. Для примера достаточно удвоить уже готовую таблицу, полученную в пункте 1.
  3. По условию имеем $P_0>K_0$ и $P_1 < K_1$. Пусть $P$ изменилось на какую-то величину $x$, а $K$ — на $y$. Из данных условий получаем:
    1) $P_0-K_0 \geqslant 1$
    2)$P_1-K_1 \leqslant 1$
    3) Из 1) получаем $P_0-x-K_0 +y \geqslant 1-x+y$
    4) Из 2) и 3) получаем $-1\geqslant P_1-K-1 \geqslant 1-x+y$
    Значит, $x-y\geqslant2$. Заметим, что число, на которое изменяется оценка определённого места, равно $x = n-i$, где $n$ – количество экспертов, а $i$ – количество нулей, которые поставили данному месту. Полученное нами неравенство означает, что К поставили хотя бы на 2 нуля больше, чем Р. Рассмотрев В вместо К, получим то же неравенство. Значит, нулей было хотя бы 4. Каждый эксперт ставил ровно 1 ноль, значит и экспертов было хотя бы 4. Пусть их было ровно 4. Тогда у В и К стояло ровно по 2 нуля. Таким образом, выполняются равенства $B=K=P-1$. Всего сумма баллов равна 28, у Р больше всех, тогда у Р было хотя бы 8 баллов. Разберём случаи:

    • Пусть у Р ровно 8 баллов. Тогда у В и К их по 7. Но 7 невозможно набрать двумя числами, среди которых могут быть только 1, 2 и 4. Противоречие.
    • Пусть у Р ровно 9 баллов. Тогда у В и К их по 8. Тогда оценки В и К выглядят как набор 0, 0, 4, 4 (по-другому невозможно выбрать из чисел 1, 2, 4 два числа так, чтобы они в сумме давали 8) Тогда заметим, что максимальное значение Р может быть равно 2+2+2+2=8. Противоречие.
    • Пусть у Р хотя бы 10 баллов. Тогда у В и К должно быть хотя бы по 9 баллов, но это невозможно набрать двумя числами, выбирая из имеющихся 1, 2, 4. Противоречие.

    Тогда минимальное количество экспертов – 5. Пример приведён в пункте 1.

4. Налог в модели межвременного выбора

Рассмотрите индивида, планирующего свою жизнь на два периода вперёд. В первом периоде доход индивида составит 120 д. е., во втором периоде — 210 д. е. Ставка процента постоянна и равна 25 % — по этой ставке можно взять кредит или открыть депозит. В конце второго периода индивид не желает иметь ни долгов, ни накоплений.

  1. Пусть предпочтения индивида устроены таким образом, что в оптимуме ему хотелось бы иметь одинаковое потребление в периодах 1 и 2 (в таких случаях говорят про сглаживание потребления). Это можно формализовать, например, так: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его суммарное удовольствие от потребления в двух периодах будет определяться как $u = \min\left\lbrace C_1;\;C_2\right\rbrace $. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
  2. Предположим, что государство вводит налог на потребление в первом периоде по ставке $t\cdot 100\%$. Это значит, что если индивид желает в первом периоде иметь потребление на уровне $C_1$, то он должен будет потратить не $C_1$, как прежде, а больше, а именно величину $C_1/(1-t)$, из которой доля $t$ будет уплачена в качестве налога. Пусть государство хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
  3. Пусть теперь предпочтения индивида устроены иначе: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его удовольствие будет определяться как $u = C_1C_2$. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
  4. Предположим теперь, что государство вводит в точности такой же налог, какой в пункте 2, и так же хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Решение

  1. Оптимум определяется решением системы уравнений $1.25 \cdot 120 + 210 = 1.25C_1+C_2$ и $C_1 = C_2$. Решив линейную систему, получим $C_1=C_2 = 160$, т. е. индивид в первом периоде берёт кредит в размере $C_1-y_1 = 40$.
  2. Оптимум определяется решением системы уравнений $1.25 \cdot+ 210 = 1.25\frac{C_1}{1-t} +C_2$ и $C_1 = C_2$. Решив линейную систему, получим $C_1 = C_2 = \frac{360(1-t)}{2.25-t}$. Значит, налоговые сборы составят
    $T = \frac{tC_1}{1-t} = \frac{t}{1-t}\frac{360(1-t)}{2.25-t} = \frac{360t}{2.25-t} = 90$.
    По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим $t = 0.45$, т.е. налог будет введён по ставке 45%. Значит, $C_1 = C_2 = 110$. В первом периоде индивид потребляет 110 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере $C_1+T-y_1 = 80$.
  3. Индивид решает задачу: $u=C_1C_2 = C_1(360 - 1.25C_1) \rightarrow \max_{C_1}$. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке $C_1 = 144$, тогда $C_2 = 180$. Значит, индивид в первом периоде берёт кредит в размере $C_1-y_1 = 24$.
  4. Индивид решает задачу: $u = C_1C_2 = C_1\left( 360 - 1.25\frac{C_1}{1-t}\right) \rightarrow \max_{C_1} $. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке $C_1 = 144(1-t)$. Значит, налоговые сборы составят $T = \frac{tC_1}{1-t} = \frac{t}{1-t}144(1-t) = 144t = 90$. По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим $t = 0.625$, т.е. налог будет введён по ставке 62,5%. Значит, потребление составит $C_1 = 54$ и $C_2 = 180$. В первом периоде индивид потребляет 54 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере $C_1+T-y_1 = 24$.

5. Далёкая страна

В стране Z на конкурентном рынке товара Х спрос и предложение определяются как $q_d = 60-p$ и $q_s = 0,5p$, но есть ещё и конкурентный мировой рынок, на котором установилась цена 10 д. е.; если страна Z принимает решение участвовать в международной торговле, то цену мирового рынка она — будучи малой открытой экономикой — воспринимает как заданную.
Однако выход на мировой рынок связан с определёнными издержками: страна Z находится далеко, и транспортировка $\widetilde{q}$ единиц продукции из страны Z на мировой рынок или с мирового рынка в страну Z (направление не имеет значения) обходится в $\widetilde{q}^2$ д. е. Транспортировку осуществляет фирма-монополист, которая диктует рынку товара Х цену $t$ д. е. на перевозку единицы продукции через границу.

  1. Рассмотрите и сравните два гипотетических крайних случая:
    • страна Z является закрытой экономикой;
    • страна Z имеет возможность участвовать в работе мирового рынка, не неся никаких транспортных расходов.

    Какая цена установится внутри страны Z в первом случае и сколько единиц товара будет производиться и потребляться? Объясните, почему в случае выхода на мировой рынок страна Z будет импортёром, а не экспортёром. Сколько единиц продукции будет импортироваться, сколько — производиться внутри страны Z, а сколько —потребляться внутри страны Z?

  2. Допустим, всё происходит так, как на самом деле описано в фабуле задачи. С каким спросом на свою продукцию $\widetilde{q}(t)$ сталкивается перевозчик-монополист? Иными словами, если монополист назначит цену $t$ д. е. за доставку единицы товара Х, то сколько единиц товара $\widetilde{q}$ будет перевозиться? Какую ставку транспортного тарифа $t$ выберет монополист, максимизирующий свою прибыль? Сколько единиц продукции будет импортировано, сколько будет произведено в стране Z и сколько будет потреблено в стране Z?
  3. Правительство страны Z желает увеличить потребление товара Х отечественными потребителями на какое-то количество $x$ единиц, но пока не определилось, на сколько именно. Для этого оно собирается ввести потоварную субсидию в размере $s$ д. е., которая будет выплачиваться монополисту-перевозчику за каждую единицу товара, ввезённую в страну Z с мирового рынка. Проблема в том, что знаний руководства страны Z недостаточно для того, чтобы понять, во сколько такая политика обойдётся бюджету, поэтому оно обратилось за помощью к экспертам. Каких суммарных бюджетных расходов $S = s\widetilde{q}$ потребует такая программа субсидирования в зависимости от значения $x$?
Решение

  1. $ $
    • В отсутствие торговли: $60-p = 0.5p$, откуда $p=40$ и $q = 20$.
    • При свободной торговле малая открытая экономика страна станет импортёром, так как мировая цена ниже, чем внутренняя автаркическая цена (другое объяснение: так как величина спроса при мировой цене больше, чем величина предложения при мировой цене). Потребляться внутри страны будет $q_d(10) = 50$ единиц, из которых $q_s(10) = 5$ единиц будет производиться внутри, а вся остальная продукция в количестве $q_d(10) - q_s(10) = 45$ единиц будет импортироваться с мирового рынка .
  2. Транспортный тариф перевозчика фактически будет означать соответствующий рост мировой цены, которая теперь как будто бы будет равна $10+t$: импортироваться будет количество $\widetilde{q}(t) = q_d(10+t) - q_s(10+t) = 60 - (10+t)-0.5(10+t) = 45 - 1.5t$.
    Это и есть спрос на перевозки: количество ввозимой в страну продукции $\widetilde{q}$ в зависимости от цены перевозки t. Если выразить цену перевозки через количество, будет $t = 30-2\widetilde{q}/3$. Прибыль транспортировщика примет вид:
    $$\pi_T = \left(30 - \frac{2}{3}\widetilde{q} \right)\widetilde{q} - \widetilde{q}^2 =30 \widetilde{q} - \frac{5}{3}\widetilde{q}^2 \rightarrow \max_{\widetilde{q}\geqslant 0}$$
    Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $\widetilde{q} = 9$ . Столько единиц продукции будет ввозиться в страну. Цена перевозки составит $t = 24$. Значит, потребляться внутри страны будет $q_d(34) = 26$ единиц, из которых $q_s(34) = 17$ единиц будет производиться внутри.
  3. При субсидировании монополиста его прибыль примет вид:
    $$\pi_T = \left(30 - \frac{2}{3}\widetilde{q} \right)\widetilde{q} - \widetilde{q}^2 + s\widetilde{q} =(30+s) \widetilde{q} - \frac{5}{3}\widetilde{q}^2 \rightarrow \max_{\widetilde{q}\geqslant 0}$$
    Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $\widetilde{q} = 9+0.3s$. Тогда цена перевозки составит $t = 30-\frac{2}{3}(9+0.3s) = 24-0.2s$. Значит, потребляться внутри страны будет $q_d(34-0.2s) = 26+0.2s$ единиц; отсюда видно, что рост внутреннего потребления составит $\Delta q_d = 0.2s = x$, откуда $s = 5x$. Субсидируемая величина импорта составит $\widetilde{q} = 9+0.3\cdot 5x = 9+1.5x$. Значит, расходы бюджета на субсидирование составят $S = s\widetilde{q} = 5x(9+1.5x) = 45x + 7.5x^2$.