10 класс

1. Монополист Везучий

Монополист Н. Е. Везучий оказался в затруднительном положении: в краткосрочном периоде в оптимуме оказалось, что выручка покрывает только переменные издержки. Спрос на рынке описывается функцией $P=150-3Q$, в оптимуме монополист продаёт 10 единиц продукции, отсутствует возможность ценовой дискриминации. Найдите вид функции переменных издержек, если известно, что функция средних переменных издержек AVC описывается параболой, минимум которой достигается при Q=12.
Решение

Найдём равновесие, если Q=10, P=120.
Восстановим функцию переменных издержек VC. Не важно, уходить с рынка или нет, значит прибыль =-FC. Если в оптимуме прибыль =-FC, то ситуация выглядит так:

В этом случае должны выполняться условия:

  1. спрос касается AVC при Q=10
  2. AVC=P при Q=10.

    Пункты 1 и 2 верны, так как в точке оптимума прибыль:

    $$\pi=P\cdot Q^*-AVC\cdot Q^*-FC=Q^*\cdot(P-AVC)-FC$$

  3. MC=MR при Q=10, так как это точка оптимума.

Введём функцию $AVC=aQ^2+bQ+c$. Подставим всю известную информацию:

  1. $AVC'_Q=P'_Q \Rightarrow 2aQ+b=-3 \Rightarrow 20a+b=-3 \Rightarrow b=-3-20a$
  2. $aQ^2+bQ+c=120 \Rightarrow 100a+10b+c=120 \Rightarrow c=120-100a-10\cdot(-3-20a) \Rightarrow c=150+100a$
  3. $Q_b=-\dfrac{b}{2a}=12 \Rightarrow b=-24a=-3-20a \Rightarrow a=\dfrac{3}{4} \; b=-18$

    $c=150+100a=225 \Rightarrow VC=0{,}75Q^3-18Q^2+225Q$

Разбалловка: всего нужно найти 3 коэффициента, при $Q^3$, при $Q^2$ и при $Q$.
За первый верно найденный коэффициент ставится 4 балла, за второй – 4 балла, за третий – 3 балла.

2. Автозаправка

На рынке автозаправок действует компания-монополист, заправка которой расположена на расстоянии s от поставщика бензина. Поставщик продаёт бензин компании-монополисту по цене 30 у.е. за литр. Известно, что для того, чтобы доставить Q литров на расстояние s, компания-монополист затрачивает 0,5sQ литров бензина на заправку бензовоза. Других издержек компания-монополист не несёт. Спрос на бензин на заправке не зависит от её расположения и составляет $Q^d=120-P^d$. Государство облагает налогом компанию за каждый закупленный у поставщика литр бензина (независимо от того, продают ли его на заправке или используют для транспортировки) по ставке, которая максимизирует поступления в бюджет. Определите, на каком расстоянии от поставщика компания расположила заправку, если известно, что цена бензина на ней составила 105 у.е.
Решение

Суммарные издержки компании-монополиста (3 балла): $$TC(Q)=(30+t)(Q+0{,}5sQ)=(30+t)(1+0{,}5s)\cdot Q \Rightarrow MC=(30+t)(1+0{,}5s)$$
Суммарная выручка: $$TR(Q)=120Q-Q^2 \Rightarrow MR=120-2Q$$
Оптимум монополиста достигается при равенстве предельных издержек и выручки: $$120-2Q=(30+t)(1+0{,}5s) \Rightarrow Q=60-0{,}25(30+t)(s+2) \Rightarrow P=60+0{,}25(30+t)(s+2) \; \textbf{ (2 балла)}$$
Государство максимизирует поступления в бюджет (с учётом того, что налогом облагается каждый закупленный у поставщика литр бензина (независимо от того, продают ли его на заправке или используют для транспортировки):
$$\begin{equation} T=t\cdot Q\cdot (1+0{,}5s)=t\cdot\bigl(60-0{,}25(30+t)(s+2)\bigr)\cdot(1+0{,}5s) \\
t^*=\dfrac{60-7{,}5(2+s)}{0{,}5(2+s)}=\dfrac{120-15(s+2)}{2+s}=\dfrac{120}{s+2}-15 \; \textbf{ (3 балла)} \\
P=60+0{,}25\left(30+\dfrac{120}{s+2}-15\right)(s+2)=60+0{,}25\bigl(120+15(s+2)\bigr)=90+\dfrac{15}{4}(2+s) \\
P=105 \Rightarrow s=2 \textbf{ (3 балла)} \end{equation}$$

7-8 класс

1. Сбор ягод

Даша и Катя пошли в лес собирать ягоды. Даша за день может собрать 4 килограмма черники или 8 килограмм земляники, Катя же за день собирает 3 килограмма черники или 9 килограмм земляники. Девочки собирают ягоды с постоянной скоростью и могут собрать нецелое количество килограмм любого вида ягод. Какое максимальное количество земляники девочки вместе смогут принести домой, если бабушка попросила их собрать не меньше трёх килограммов черники для домашних заготовок варенья?
Решение

У Даши сравнительное преимущество в сборе черники, она и соберет все три килограмма черники (3 балла),и еще 2 килограмма земляники (3 балла). Катя собирает весь день землянику и приносит домой 9 килограмм ягод (4 балла). Итого, суммарно получается 11 кг земляники (1 балл).

2. Молодой инвестор

Молодой инвестор Уоррен хочет заработать свои первые деньги, вложив средства в банк. Всего у него есть 1000 долларов. У него есть три варианта сделать это:

  • Первый – открыть долларовый счёт со ставкой 5 % годовых.
  • Второй – открыть счёт в евро со ставкой 12 % годовых.
  • И третий – открыть счёт в рублях со ставкой 15 % годовых.

Обменные курсы доллара (кол-во долларов в 1 единице другой валюты) на текущий момент представлены в таблице (они останутся такими же и через год):

Купля
(Уоррен продаёт валюту)
Продажа
(Уоррен покупает валюту)
Евро 1,9 2
Рубль 0,045 0,05

Уоррен выбирает альтернативу, которая принесёт ему наибольший доход через год, причём в итоге он хочет иметь на руках только доллары. Сколько долларов на руках будет у Уоррена через год?

Решение

Посчитаем прибыли от всех вариантов.
Первый вариант: Уоррен заработает 50 долларов = 0,05 × 1000 (3 балла).
Второй вариант: Уоррен заработает 64 доллара (переводим доллары в евро
по курсу продажи и потом обратно по курсу купли) $ \frac{1000}{2}\times1,12 \times1,9 = 1064$ (4 балла).
Третий вариант: Уоррен заработает 35 долларов $ \frac{1000}{0,05}\times 1,15 \times 0,045 = 1035 $
(3 балла).
Уоррен выберет второй вариант. У Уоррена на руках будет 1064 доллара
(1 балл).

3. Спортивные автомобили

Функция предложения фирмы-производителя спортивных автомобилей линейна. Известно, что повышение рыночной цены на спорткар с 200 до 260 тысяч евро увеличивает величину предложения с 5 единиц до 8 единиц. Определите величину излишка товаров, образующегося на рынке при цене 220 тысяч евро, если известно, что по такой цене потребители готовы купить 4 автомобиля?
Решение

Пусть функция предложения $Q_S = c + dP$.
Восстанавливаем функцию предложения по двум данным в условии точкам, имеем систему:
$\left\{ \begin{align}
8=c+260d\\
5=c+200d
\end{align} \right.$ (3 балла)

$P=100+20Q$ (3 балла)
При цене 220 величина предложения равна 6, а величина спроса равна 4 (по условию), следовательно, профицит равен двум автомобилям (5 баллов).

Обоснованно полученная верная функция предложения без составления системы оценивается в 6 баллов.

4. Аренда квартиры

Юрий Олегович собирается сдавать квартиру. Он может сдавать её посуточно или на длительный срок. В первом случае Юрий Олегович вынужден раз в 3 дня уходить с работы на 2 часа раньше, чтобы встретить новых жильцов. Помимо этого, раз в 3 дня нужно проводить уборку: хозяин квартиры может делать это сам, затрачивая 3 часа рабочего времени, или нанять себе помощницу бабу Маню, вместе с которой они управятся за 2 часа его рабочего времени. За одну уборку баба Маня берёт 300 рублей. Если же Юрий Олегович решит сдавать квартиру на длительный срок, отвлекаться от работы на встречу жильцов и уборку не придётся. При этом стоимость аренды составит 25 тысяч в месяц. Определите, при какой стоимости аренды за сутки Юрию Олеговичу безразлично, по какой схеме сдавать квартиру, если его рабочий день составляет 8 часов, а зарплата – 500 рублей в час. Считайте, что в любом месяце 30 рабочих дней.

Решение

Потери от уборки самостоятельно составляют 500 × 3 = 1500, от уборки с бабой Маней = 2 × 500 + 300 = 1300 < 1500. Значит, убираться они будут вдвоём (2 балла)
Сдавая квартиру посуточно и уходя с работы пораньше, владелец дополнительно теряет из своей зарплаты 2 × 500 = 1000 раз в три дня. Итого потери от сдачи квартиры посуточно составляют (1000 + 1300) × 10 = 23 000, где 10 – это количество раз в месяц, которое придется встречать жильцов и убираться (4 балла).
В альтернативном варианте, где квартира сдаётся на долгий срок, Юрий Олегович получает 25 000.
Обозначим за X стоимость посуточной аренды квартиры, тогда
(–23 000) + 30X = 25 000 → X = 1600 (5 баллов).

9 класс

1. Юный финансист

Юный финансист Фрэнк, думая о своем будущем, решает, как выгоднее всего сохранить до окончания школы накопленные к концу 9-го класса 100 ливро.
Его друг Элджернон предлагает сделку: сейчас Фрэнк даёт другу 100 ливро взаймы, а ровно через два года, к окончанию 11-го класса, получает от Элджернона 200 ливро.
Второй альтернативой является «Супервыгодный» двухлетний ливровый вклад в банке под 40% годовых (проценты начисляются каждый год на всю сумму, лежащую в банке).
Третий вариант самый изощрённый: Фрэнк может перевести ливро в иностранную валюту – тюбинги, – и открыть вклад «Забугор» так же на два года. Проценты по вкладу «Забугор» начисляются каждый год на всю сумму по ставке 20 % годовых. Сейчас один тюбинг можно купить за 20 ливро.
По прогнозам никогда не ошибающихся аналитиков, через два года (как раз тогда, когда истечёт срок вклада «Забугор») эта цена вырастет до 30 ливро за тюбинг. Сколько ливро на руках будет у Фрэнка через 2 года, если он максимизирует доход?
Решение

Сравним суммы, полученные через 2 года (к концу 11-го класса) в результате реализации каждой из альтернатив.
Если Фрэнк отдаст 100 ливро Элджернону, сумма будет равна 200 ливро.
Если Фрэнк откроет вклад «Супервыгодный», сумма будет равна $100\times (1,4)^2$ ливро (4 балла).
Открывая вклад «Забугор», Фрэнк положит на него 100 / 20 = 5 тюбингов (1 балл). Через 2 года на вкладе будет сумма $5\times(1,2)^2$ тюбинга. Итоговая сумма в ливро: $7,2\times30=216$ливро (5 баллов).
Значит, самой выгодной альтернативой будет открытие вклада «Забугор» (1 балл), и у Фрэнка будет 216 ливро на руках.

2. Страна Оз

Настоящий президент страны Оз считает, что открытость экономики – залог процветания государства. Поэтому страна ведёт свободную торговлю в единой валюте с соседом – королевством Роз. Единственным торгуемым товаром являются воздушные шары. Спрос жителей страны Оз, заядлых путешественников и авантюристов, на шары описывается функцией: $Q^O_d=2000-30P$, где $P$ — цена за один шар. Предложение внутренних производителей: $Q^O_s=100+4P$.
a) Известно, что в результате торговли установилась цена $P^*$ = 50 за воздушный шар. Будет ли страна Оз импортировать или экспортировать воздушные шары из королевства Роз? Определите объём импорта/экспорта.
б) В результате государственного переворота к власти в королевстве Роз пришёл король, являющийся давним неприятелем президента страны Оз, и издал указ запретить любого рода связи с соседним государством. Президент, озаботившийся благосостоянием граждан Оз, которые теперь будут вынуждены покупать любимые шары по другой цене, спросил совета у министра финансов. Министр сказал, что выходом из ситуации может быть введение субсидий для отечественных производителей. Помогите министру посчитать размер субсидии, которая приведёт к образованию на внутреннем рынке цены, равной прежней (50). Каковы при этом будут объёмы внутреннего производства и потребления воздушных шаров?
Решение

а) Внутренняя цена в стране Оз равна $\frac{950}{17} > 50$, следовательно, стране Оз выгодно импортировать шары по цене 50.
Тогда при цене 50 избыточный спрос страны Оз равен
(2000 – 30 × 50) – (100 + 4 × 50) = 500 – 300 = 200.
Это и есть объём импорта из королевства Роз (6 баллов).
б) Если цена на рынке должна остаться прежней, объём спроса не должен измениться, он равен 2000 - 30 × 50 = 500. Таким же должен быть и объём предложения. Обозначим размер субсидии за $s$. Нужно решить уравнение: 100 + 4(50 + s) = 500 (2 балла). Отсюда получаем, что необходимый размер субсидии равен 50 (2 балла). Объём предложения в этом случае равен спросу: 500 воздушных шаров (1 балл).

3. Авиакомпания "Т8"

Авиакомпания «T8» собирается первой выполнять рейсы между городами A и B. Сейчас в салоне самолёта установлено ровно 200 кресел эконом-класса и ни одного кресла бизнес-класса. Авиакомпания может без издержек заменить эконом-места бизнес-местами в пропорции 2:1, т.е. 2 кресла эконом-класса
на 1 место бизнес-класса. Спрос на билеты эконом- и бизнес-класса описывается функциями $Q^e=360-2P^e$ и $Q^b=80-P^b$ соответственно. Авиакомпания устанавливает цены таким образом, чтобы все места были распроданы. Все издержки постоянны и равны $С$ за рейс в случае его выполнения и 0 иначе. При каком максимальном $С$ авиакомпания готова выполнять рейсы?
Решение

Найдем зависимость количества эконом- и бизнес-кресел математически:
$Q^b=\dfrac{200-Q^e}{2}=200-2Q^b$ (3 балла).
Выручка компании:
$TR=(180-0,5Q^e)Q^e+(80-Q^b)Q^b=$
$=(180-0,5(200-2Q^b))(200-2Q^b)+(80-Q^b)Q^b=$
$=2(80+Q^b)(100-Q^b)+(80-Q^b)Q^b= $
$=2(8000-80Q^b+100Q^b-(Q^b)^2)+80Q^b-(Q^b)^2=$
$=(16000+40Q^b-2(Q^b)^2)+80Q^b-(Q^b)^2= $
$=-3(Q^b)^2+120Q^b+16000$ (4 балла), откуда максимум $(Q^b)^*=20 \to (Q^e)^*=200-2*20=160$, (1 балл).
$Pr^*=-3*400+120*20+16000-C=17200-C \to C_{max}=17200$ (3 балла).

4. Ставка налога и количество фирм

Спрос на некотором рынке задаётся функцией: $Q_d(p)=50,6-p$. Предложение каждой фирмы: $Q_s(p)=\max\{p-5;0\}$, фирм на рынке $n$. Государство вводит потоварный налог на потребителей, максимизируя налоговые сборы. Как и на сколько процентов изменится оптимальная налоговая ставка, если количество фирм увеличится вдвое?

Решение

Находим равновесие с учётом потоварного налога на потребителей:
$Q_d^1=50,6-p-t=Q_s=n(p-5)$

$p^*=\dfrac{50,6-t+5n}{n+1}$

$Q^*=n\left(\dfrac{50,6-t+5n}{n+1}\right)$ (5 баллов).

Суммарные налоговые сборы: $T=t\times Q=\dfrac{n}{n+1}(45,6t-t^2)$ (5 баллов).

Максимизирующее налоговые сборы значение $t^*$ не зависит от $n$ (1 балл).