а) (10 баллов) Является ли открытие второго завода оптимальным решением с точки зрения максимизации прибыли?
б) (20 баллов) Фирма «Мориарти» рассматривает возможность выхода на рынок соседнего региона. Если она это сделает, то останется монополистом в своем регионе, а в соседнем сможет продать любой объем выпуска $q_{f}$ по цене 120.Стоит ли фирме выходить на новый для нее рынок? Если да, то стоит ли при этом открывать второй завод?
$^{a}$Fuller, Dan, and Doris Geide-Stevenson. ”Consensus Among Economists—An Update.“ The Journal of Economic Education 45.2 (2014): 131-146.
Возможные аргументы против утверждения:
б) Возможные аргументы в пользу утверждения:
Возможные аргументы против утверждения:
I $\downarrow$ \ II $\rightarrow$ | Честный | Списывает |
Честный | 10, 10 | -10, 5 |
Списывает | 5, -10 | 0, 0 |
Если два честных школьника сидят рядом на проверочной работе, то они честно пишут эту работу и даже получают удовольствие от своей честности. Будем считать, что каждый из них в этом случае получает выигрыш (полезность), равный 10. Если же два списывающих школьника сидят рядом, то, во-первых, у них получается хуже написать, а во-вторых, они нервничают, мешают друг другу и привлекают внимание, из-за чего выигрыш каждого равен 0. В случае, когда списывающий и честный сидят рядом, списывающий получает выигрыш 5, так как списал работу и не сильно привлекал к себе внимание, а честный получает выигрыш (-10), так как не мог ничего нормально решать из-за вопиющей несправедливости, которая творилась рядом с ним.
Учитель борется со списыванием путем постоянного пересаживания школьников. В классе 22 ученика, и в течение месяца (21 учебный день) каждый успевает посидеть с каждым одноклассником за партой по одному разу. По итогам месяца каждый школьник сравнивает полученный суммарный выигрыш с тем выигрышем, который он получил бы, если бы весь месяц вел себя по-другому (с учетом того, как вели себя одноклассники). Если в прошлом месяце ученик списывал, а, будучи честным, получил бы выигрыш строго больше, в следующем месяце он не будет списывать. Если он в прошлом месяце был честным, то выбор нечестного поведения связан с моральными издержками, так что он переключится, только если общий выигрыш от переключения в прошлом месяце вырос бы более чем на 15. Если эти условия не выполняются, то ученик сохраняет свой тип на следующий месяц.
а) (15 баллов) Пусть в первом месяце в классе было X честных и Y списывающих школьников (X и Y могут принимать любые целые неотрицательные значения, такие что X+Y=22). Как будет меняться количество школьников каждого типа в следующие месяцы?
б) (5 баллов) Назовем равновесным классом такой, в котором никто из школьников по итогам месяца не станет менять свой тип. Предположим, что класс был равновесным, когда один из учеников (назовем его Вовочка) на один месяц поменял свой тип ни с того ни с сего (после этого месяца он снова станет обычным учеником, рационально сравнивающим выгоды). Как будет меняться количество школьников каждого типа в следующие месяцы?
в) (10 баллов) Если вы правильно решили пункты а) и б), то у вас должно было получиться, что существует несколько типов равновесных классов, причем один из них является самым предпочтительным для каждого школьника. Предположим, учитель изначально знает, к какому типу принадлежит каждый школьник, и может составлять любой план рассадки на каждый день (необязательно делать так, чтобы каждый сидел с каждым в течение месяца). При каком минимальном значении X учителю удастся добиться, чтобы через конечное число месяцев класс оказался в предпочтительном равновесии?
2) Предположим, в классе есть списывающие школьники, то есть $Y > 0$. В первом месяце каждый такой школьник $(Y − 1)$ раз встретился с себе подобными (и каждый раз получил 0) и $X$
раз – с честными (и каждый раз получил 5). Таким образом, его выигрыш был равен
$$U_с = 5X$$
Если он в первом месяце следовал бы другой норме, то честных школьников стало бы $(X + 1)$, а списывающих – $(Y − 1)$, и выигрыш переключившегося школьника был бы равен $(10X − 10(Y − 1))$. Списывающий школьник останется списывающим, если
$$5X \ge 10X − 10(Y − 1),$$
то есть (с учётом того, что $Y = 22−X$) $X \le 14$. Если же $X > 14$, то есть честных школьников достаточно много, то в следующем месяце все нечестные станут честными.
Из предыдущего рассуждения следует, что если в классе ровно 14 честных школьников, то их количество будет стабильно — никто не захочет переключаться. Если же честных больше 14, то уже в следующем месяце все станут честными (а дальше ничего не будет меняться, так как 22 тоже больше 14). Если честных меньше 14, то во втором месяце все будут списывать (а дальше ничего не будет меняться, так как 0 тоже меньше 14).
б) В предыдущем пункте мы выяснили, что есть три типа равновесных классов: $X = 0$, $X = 14$ и $X = 22$.
Если класс находился в равновесиях $X = 0$ или $X = 22$, то ничего не произойдет: переключения Вовочки недостаточно, чтобы развернуть соответствующие неравенства.
Если класс находился в равновесии $X = 14$ и Вовочка был честным школьником, то его переключение на нечестную норму сделает $X \lt 14$. В следующем месяце все честные школьники станут списывальщиками, все списывальщики останутся списывальщиками и класс навсегда окажется в равновесии $X = 0$.
Если класс находился в равновесии $X = 14$ и Вовочка был списывальщиком, то его переключение на честную норму сделает $X > 14$. В следующем месяце все списывальщики станут честными, все честные останутся честными и класс навсегда окажется в равновесии $X = 22$.
в) Самое предпочтительное равновесие – то, в котором $X = 22$, то есть все школьники честные. В этом случае каждый школьник каждый день получает максимально возможный выигрыш, так что любая другая конфигурация хуже по крайней мере для кого-то.
Как стимулировать списывальщика становиться честным? Как следует из расчетов пункта а), нужно делать так, чтобы он сидел с честным школьником не менее 15 дней из 21. При этом злоупотреблять этим не стоит: если честный школьник будет слишком часто (больше 7 дней в месяц) сидеть с нечестными, он «заразится» списыванием от них.
Если в классе нет честных школьников ($X = 0$), то пересаживание не поможет: никто из них никогда не будет сидеть с честным, так что не изменит свой тип. Также не получится достичь хорошего равновесия, если $X = 1$: единственный честный школьник в любом случае весь месяц просидит со списывальщиками и уже в следующем месяце наступит самое плохое равновесие.
Если $X = 2$, то увеличить количество честных учеников также не получится. Для того чтобы «обратить» хотя бы одного списывальщика, нужно, чтобы как минимум 15 дней с ним сидел кто-то из двух честных школьников. Значит, эти 15 дней честные не будут сидеть друг с другом. Получается, что друг с другом они будут сидеть не более 6 дней, так что оба они превратятся в списывальщиков, и мы вернемся к ситуации $X = 1$.
А вот при $X = 3$ хорошего равновесия достичь можно. Покажем, как из трех честных школьников через месяц получить четыре. Нужно сделать рассадку так, чтобы каждый из трех честных школьников провел с одним и тем же нечестным по 5 дней, при этом остальные двое будут сидеть друг с другом. Тогда после 15 дней нечестный станет честным. Чтобы честные тоже не сменили тип, нужно, чтобы в оставшиеся 6 дней по 2 дня вместе сидели все возможные пары: (1, 2), (2, 3) и (1, 3). Тогда каждый честный школьник проведет с себе подобными по 14 дней, чего как раз достаточно, чтобы не сменить тип.
Дальше каждый месяц действуем следующим образом. Действуя аналогично приведенной выше схеме, три школьника превратят одного списывающего в честного, при этом сами останутся честными. Каждого из оставшихся честных школьников будем сажать с одним и тем же одноклассником. Если он будет сидеть целый месяц с честным, то они оба останутся честными. Если он будет сидеть целый месяц со списывающим, то через месяц они поменяются типами. В обоих случаях общее число честных школьников по итогам месяца увеличится на 1. Продолжить превращать списывальщиков в честных одного за другим, пока все в классе не станут честными.
По итогам каждого года каждая семья в стране Альфа либо счастлива, либо несчастлива. Все счастливые семьи похожи друг на друга (после сбора урожая они получают как минимум по тонне риса), каждая несчастливая семья несчастлива по-своему (такие семьи получают меньше тонны риса или не получают рис вовсе, поэтому в течение года выживают кто как может). Общее число семей в стране настолько велико, что, к сожалению, все счастливы быть не могут.
В начале 2017 года к власти в стране Альфа пришёл новый президент. Срок его полномочий – 2 года, и он хочет, чтобы число семей, которые счастливы в течение всего срока его правления, было как можно большим (что будет потом, его не интересует). Президент сам решает, как именно следует распределять весь выращенный рис. Президент знает, что в прошлом году было засеяно 3600 тонн риса.
а) (15 баллов) Какое количество риса следует засеять в 2017 и 2018 годах для достижения цели президента? Сколько семей при этом будет счастливо в каждый из двух указанных годов?
Сколько семей в этом случае будет счастливо в 2019 году?
б) (15 баллов) Представим теперь, что президент задумался о вечном. Какое максимальное количество семей может быть счастливо в экономике страны Альфа на протяжении бесконечно долгого периода времени (то есть начиная с 2017 года и навсегда)? Сколько риса для достижения этой цели следует сеять каждый год?
Ответ: в 2017 году следует посадить 1600 тонн риса, а в 2018 году – ноль тонн. 3200 семей будут счастливы на протяжении этих двух лет, однако в 2019 году число счастливых семей окажется равным нулю.
б) Чтобы потребление семей вечно поддерживалось на постоянном уровне, необходимо, чтобы каждый год поддерживался один и тот же уровень инвестиций $I^{*}$ и один и тот же уровень потребления $C^{*}$.
В этом случае ежегодный уровень потребления составит:
$$C^{*}=80\sqrt{I^{*}}-I^{*}$$
Относительно $I^{*}$ – это парабола с ветвями направленными вниз, следовательно, мы можем найти точку максимума: $I^{*}=1600, C^{*}=1600.$
Докажем, что число вечно счастливых семей не может быть больше 1600. Предположим противное: пусть в каждый момент времени есть не менее 1601 счастливой семьи. Тогда:
$$\begin{array}{c}1601\le C_{t}=80\sqrt{I_{t-1}}-I_{t}=80\sqrt{I_{t-1}}-I_{t-1}-(I_{t}-I_{t-1})\le 1600-(I_{t}-I_{t-1}) \\
(I_{t}-I_{t-1})\le -1\end{array}$$
Получаем, что в этом случае инвестиции уменьшаются на единицу каждый год. Следовательно, в конце концов они упадут до нуля, что уж точно не позволит поддерживать требуемый уровень потребления. Таким образом, мы получили противоречие.
Ответ: Таким образом, следует каждый год засеивать по 1600 тонн риса и при этом каждый год 1600 семей в стране Альфа будут счастливы.
б) Теперь фирма в каждом из случаев выбирает цену p и объем продаж q, воспринимая общую вместимость x как заданную. Вместимость x является переменной, которая потенциально влияет на выручку как в случае низкого, так и в случае высокого спроса, и связывает эти две ситуации.
Если спрос предъявляют только фанаты, задача максимизации выручки останется прежней, ее решением является $q=x$ при $x \le 30$ и $q=30$ в противном случае.
Если спрос предъявляют обе группы, фирма будет максимизировать выручку на суммарной функции спроса, имеющей вид
\[D(p)\begin{cases}
100 − p, & 60 < p \le 100; \\
160 − 2p, & 0 \le p \ge 60.\end{cases}\]
Легко проверить, что оптимальным объемом (при ограничении на вместимость) будет являться $q^{*}=x$ при $x \lt 80$ и 80 в противном случае.
Тогда при оптимальном выборе объемов
\[ 0,5TR_{1}+0,5TR_{1+2}=\begin{cases}
0,5x(60-x)+0,5x(100-x), & x \le 30; \\
450+0,5x(100-x), & 30 \lt x \le 40; \\
450+0,5x(80-x/2), & 40 \lt x \le 80; \\
450+1600, x\gt 80.
\end{cases}\]
Обозначим эту функцию за $f(x)$. Тогда ожидаемая приведенная стоимость равна $\dfrac{1}{r}f(x)-C=10f(x)-100x-5000.$ Выпишем эту функцию:
\[ NPV(x)=-5000 + \begin{cases}
700x-10x^{2}, & x \le 30; \\
450+400x-5x^{2}, & 30 \lt x \le 40; \\
450+300x-2,5x^{2}, & 40 \lt x \le 80; \\
20500-100x, x\gt 80.
\end{cases}\]
На каждом из участков, кроме последнего, графиком этой функции является парабола с ветвями вниз. При этом вершина параболы, соответствующей первому участку — $x^{*}=35$ — лежит справа от этого участка, поэтому функция монотонно возрастает на нем. Вершина параболы, соответствующей второму участку — $x^{*}=40$ лежит на его конце, и поэтому функция монотонно возрастает на втором участке. Вершина параболы, соответствующей третьему участку — $x^{*}=60$, принадлежит этому участку, а на последнем участке функция монотонно убывает. Поэтому оптимальная вместимость — $x^{*}=60$.
Таким образом, если спрос предъявляют только фанаты, фирма продаст 30 абонементов по цене $60-30=30$, а если спрос предъявляют обе группы — 60 абонементов по цене $80-60/2=50$.
$^{a}$Источник: Kuppuswamy, V., Bayus, B. L. (2015). Crowdfunding creative ideas: The dynamics of project backers in Kickstarter. UNC Kenan-Flagler Research Paper No. 2013-15.
а) Можно выделить следующие причины, по которым авторы проектов могут отказываться от краудфандинга:
• Краудфандинг занимает время. В зависимости от необходимой суммы и привлекательности проекта сбор средств может затянуться на месяцы. Для некоторых проектов скорость реализации является определяющим фактором. В таких случаях предприниматель может предпочесть кредит в банке краудфандингу.
• Неопределенность результата. Нет гарантии, что краудфандинг закончится успехом. В случае, если собрать необходимые средства не получится, предприниматель потеряет время.
• Публичное раскрытие информации. Для проведения краудфандинга необходимо сделать презентацию проекта. В ряде случаев это может навредить бизнесу — конкуренты могут подсмотреть идею и реализовать ее раньше.
• Не та целевая аудитория. Аудитория посетителей Kickstarter может сильно отличаться от целевой аудитории создаваемого продукта.
б) Задача этого пункта — предложить такую непротиворечивую систему предпосылок, при которой распределение будет обладать всеми характерными особенностями. Выделим нескольrо таких особенностей приведенного графика:
• Пик на 0%
• Убывание в окрестности 0%
• Провал перед 100% от необходимой суммы, и скачок на 100%
• Маленькая доля проектов, набравших > 100%
• Ненулевая доля проектов, набравших более 100% от необходимой суммы
Объясним сначала поведение графика в области маленьких процентов. Предположим, что качество проектов распределено так, что доля проектов качества k убывает по k. Если жертвователи умеют различать качество проекта и более охотно финансируют более качественные проекты, то доля проектов, получивших финансирование в доле t, будет убывать по t. В предельном случае можно предположить, что проекты могут быть «хорошими» и «плохими», а большинство инвесторов умеет различать качество проекта. Тогда информированные инвесторы будут поддерживать только «хорошие» проекты (неинформированные будут одинаково относиться к проектам обоих типов), а распределение доли собранных средств будет похоже на изображенное на графиках в условии задачи.
Большое количество некачественных проектов может объясняться также тем, что издержки выставления проекта на Kickstarter низки и среди предлагаемых проектов много не продуманных в достаточной степени. Кроме того, процент от собранной суммы может влиять на решение инвесторов вложить собственные средства. Если очевидно, что проект не наберет требуемую сумму, то инвестор может не пожертвовать денег, даже если проект ему интересен.
При таких предположениях распределение доли профинансированных проектов в окрестности 0% будет иметь представленный на графике вид.
Отсутствие проектов, набравших почти 100%, может объясняться тем, что участники краудфандинга на платформе kickstarter.com могут вести себя стратегически. В случае, если автор проекта видит, что проекту не хватает совсем немного, чтобы преодолеть рубеж минимальной необходимой суммы, у него возникают стимулы самостоятельно пожертвовать некоторую сумму. Это позволит ему получить существенное финансирование (хоть и меньшее, чем ему было нужно) вместо нуля.
Когда проект набирает требуемую сумму, все понимают, что проект уже будет реализован. Тогда многие инвесторы больше не ощущают потребности финансировать проект. Этим объяс-
няется то, что очень мало проектов, набравших больше 100-110% от требуемой суммы. Тем не менее, такие проекты есть. Это может объясняться тем, что для ряда жертвователей желание поддержать понравившийся проект сильнее денег и не зависит от достижения порога получения финансирования. Альтернативное объяснение — жертвователь охотится за бонусом, который будет гарантирован после достижения порога в 100% от необходимой суммы.
в) Наличие орфографической ошибки означает, что автор выделил недостаточно времени на подготовку заявки. Это может сигнализировать о низком качестве самого проекта, поскольку повышается вероятность того, что автор проработал его недостаточно глубоко.
г) Более активное финансирование проекта в первые дни после публикации заявки может быть связано с двумя соображениями. Во-первых, проект в самом начале финансируют знакомые предпринимателя. Во-вторых, после публикации проект может поддерживаться в топе выдачи проектов при использовании фильтра «самые новые». Чем дальше, тем влияние этих эффектов меньше. Возрастание пожертвований ближе к дедлайну может быть связано с тем, что в конце периода сбора средств выявляется больше информации о качестве проекта: жертвователи наблюдают за динамикой поступления платежей и делают вывод о качестве проекта.
Предположим, есть три факультета, a, b и c, в каждом по одному месту, и три абитуриента — Петя, Юля и Надя. Предпочтения Пети и Юли относительно факультетов выглядят как a ≻ b ≻ c (a лучше, чем b, а b лучше, чем c), предпочтения Нади как b ≻ c ≻ a. Каждый факультет обязан выбирать абитуриентов с наибольшим количеством баллов на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников, причём общеизвестно, что балл Пети больше балла Юли, а тот, в свою очередь, больше, чем балл Нади.
а) (5 баллов) Найдите распределение абитуриентов по факультетам, которое реализуется в результате работы алгоритма, описанного выше, если абитуриенты честно сообщат свои предпочтения.
б) (5 баллов) Докажите, что одному из трех абитуриентов выгодно солгать, то есть сообщить алгоритму предпочтения, отличающиеся от его истинных (при условии, что другие два абитуриента будут сообщать свои истинные предпочтения).
в) (8 баллов) Cчитается, что возникновение у абитуриентов стимулов искажать информацию о предпочтениях — проблема. Какие издержки (потери экономической эффективности) могут быть вызваны возникновением таких стимулов?
г) (12 баллов) Вернёмся к общему случаю с n факультетами и m абитуриентами. Будем говорить, что некий алгоритм распределения устраняет обоснованную зависть, если он всегда производит распределение абитуриентов по факультетам, обладающее следующим свойством: не существует такой пары абитуриентов, что (1) первый абитуриент предпочитает факультет, куда попал второй, своему факультету; (2) первый абитуриент лучше второго с точки зрения правил приема на факультет второго. Допустим, по закону все факультеты упорядочивают абитуриентов одинаково. Придумайте алгоритм распределения абитуриентов по факультетам, который одновременно устраняет как обоснованную зависть, так и стимулы лгать о своих предпочтениях (никакой абитуриент не сможет, солгав, попасть на более предпочтительный для себя факультет, каковы бы ни были предпочтения, сообщенные алгоритму другими абитуриентами). Докажите, что для вашего алгоритма в общем случае выполняются указанные свойства и проиллюстрируйте его работу на примере с Петей, Юлей и Надей.
б) Очевидно, что этим абитуриентом будет Юля, так как только она не получает лучший для себя факультет в распределении выше. Если она заявит, что ее предпочтения имеют вид b ≻ a ≻ c (что неправда), то она попадет на факультет b (поменявшись местами с Надей), что для нее c точки зрения ее истинных предпочтений лучше, чем факультет c.
в) Правда только одна, а лгать можно по-разному. Действительно, со стимулами лгать возникает также вопрос о том, как именно оптимально лгать. Ответ на него может зависеть от предпочтений других участников (и того, как они будут их искажать!). Это может заставить участников инвестировать время и деньги в поиск такой информации (что является чистой потерей с точки зрения общества), а также повышает степень неопределенности в системе. Кроме того, если каждый абитуриент говорит правду, координаторы системы автоматически получают информацию об истинной популярности разных факультетов, которую затем можно использовать, например, для оценки их деятельности. Если информация о предпочтениях искажена, сделать этого нельзя.
В качестве верных ответов засчитывались, например, следующие:
• Абитуриенты подают факультетам неверный сигнал о качестве последних. За счёт этого менее престижные факультеты получают большее финансирование.
• Можно предположить, что предпочтения абитуриентов устроены следующим образом: наибольшую ценность представляет первый указанный выбор. Остальные не значимы. В этом случае даже в исходном примере ложь Юли приводит к уменьшению общественного благосостояния.
• В реальности абитуриенты наблюдают лишь свои предпочтения. Для того, чтобы узнать предпочтения других участников, абитуриентам придётся потратить на это время и деньги.
г) Алгоритм этот прост. Занумеруем абитуриентов в едином порядке ранжирования их факультетами. После того, как участники подали свои предпочтения в систему: (1) отправим первого (лучшего) абитуриента на лучший с его точки зрения факультет; (2) будем отправлять каждого следующего по списку на лучший для него факультет среди тех, в которых еще остались места. Очевидно, что никому не будет выгодно лгать (сказав правду, каждый попадет в лучший из оставшихся факультет). При этом любая зависть может быть только необоснованной: на любой факультет, лучший, чем тот, что достался абитуриенту j, попадут только те, кто стоит выше в рейтинге, чем j.
При этом важно заметить, что существуют и другие алгоритмы, позволяющие одновременно устранить и обоснованную зависть, и стимулы лгать. Участник мог привести пример любого работающего алгоритма.
Примечание: В 2012 году Ллойд Шепли и Элвин Рот получили Нобелевскую премию по экономике, в том числе, за создание алгоритма распределения, который имеет указанные свойства, даже если правила приема на разные факультеты различны. Этот алгоритм, впервые описанный в 1962 г., получил известность как алгоритм Гейла-Шепли. Алгоритм, описанный в решении выше, является частным случаем алгоритма Гейла-Шепли. В условии же описывается работа так называемого Бостонского алгоритма, который является популярным способом распределять учеников по школам на практике во многих городах. В 2003 г. команда Элвина Рота приняла участие в реформе процедуры распределения учеников по школам в Бостоне, в результате чего действовавший там до этого (Бостонский) алгоритм был заменен на алгоритм Гейла-Шепли. В результате этого степень удовлетворенности работой системы в городе возросла, что связано, в том числе, с устранением проблем, описанных в пункте в). Подробнее об этом и других успешных примерах «дизайна рынков» можно почитать в книге Элвина Рота «Кому что достанется — и почему», вышедшей на русском языке $^{a}$.
$^{a}$Рот, Элвин. Кому что достанется — и почему. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2016.