Оптимальные размер партии зависит от того, в течение какого периода нужно максимизировать прибыль.
1) Если стоит цель максимизировать среднюю дневную прибыль, то задача решается так.
Предположим, что партия воды закупается на $t$ дней, тогда ее размер $100\cdot t$. Доход от продажи всей партии $TR =20\cdot 100\cdot t = 2000\cdot t$
Издержки состоят из расходов на закупку ($13\cdot 100\cdot t = 1300\cdot t$), расходов на транспортировку (300) и расходов на хранение.
Определим расходы на хранение.
Если Пончик закупает $100\cdot t$ бутылок воды, то в первый день расходы на хранение составят $2\cdot 100\cdot t$
К началу второго дня на складе будет $100(t – 1)$ бутылок воды. Следовательно, расходы на хранение во второй день равны $2\cdot100(t – 1)$. Рассуждая аналогично, расходы в третий и день $2\cdot100(t – 2)$, четвертый день $2\cdot100(t – 3)$ и т.д., расходы в t-й день составят $2\cdot100$. Последовательность расходов на хранение является арифметической прогрессией. Ее сумма:
$$S_t=\frac{(a_1+a_t)}{2t}=\frac{(2\cdot100\cdot t+2\cdot100)}{2t}=100(t+1)\cdot t$$ (1)
Запишем функцию средней дневной прибыли:
$$\pi=\frac{(2000t-1300t-300-100(t+1)t)}{t}=\frac{(600t-100t^2-300)}{t}=600-100t-\frac{300}{t} \to max$$ (2)
Равенство производной нулю достигается при $t=\sqrt3\approx1.73$. Вторая производная отрицательна, так что это – точка максимума.
Поскольку количество дней – целое число, то следует выбрать одно из двух значений $t=1$ или $t=2$ в зависимости от того, при каком из них прибыль больше.
$$\pi(1)=\frac{(20\cdot100-13\cdot100-300-2\cdot100)}{1}=200$$
$$\pi(2)=\frac{(20\cdot200-13\cdot200-300-100\cdot(2+1)\cdot2)}{2}=250$$
Очевидно, средняя дневная прибыль достигает максимума, если партия закупается на 2 дня. Значит, размер партии равен $100\cdot2 = 200$ бутылок.
Тот же результат может быть получен и методом перебора. Сразу заметим, что из формулы (2) следует, что более, чем 5-дневные партии рассматривать нет смысла, так как издержки хранения возрастают так сильно, что прибыль начиная с 6-дневной партии становится отрицательной.

*Рассчитывается по формуле (1)

Ответ: 200 бутылок.

2) Если стоит цель максимизировать прибыль в течение какого-то более длительного срока работы предприятия, чем один день ($Т$ дней, где $Т$ – целое число), то оптимальный размер партии определяется длинной периода $Т$.
Рассмотрим прибыль, которую получит Пончик за один закупочный период. Из таблицы (столбец 7) следует, что трехдневные парии можно не закупать, а заменить одну трехдневную партию тремя однодневными. Прибыль при этом будет одна и та же. Четырехдневную партию выгоднее заменить двумя двухдневными, тогда прибыль будет больше (500+500=1000 при двух двухдневных закупках против 500 при одной четырехдневной). Из тех же соображений пятидневную партию лучше заменить пятью однодневными. Таким образом, Пончику выгодно закупать либо однодневными, либо двухдневными партиями в зависимости от длины периода, в котором максимизируется прибыль.
Если период содержит четное число дней, то очевидно, максимальная прибыль будет обеспечена двухдневными партиями, так как среднедневная прибыль при этом достигает максимума.
Поскольку максимальная дневная прибыль достигается при двухдневных закупках, встает вопрос о целесообразности рассмотрения периодов, содержащих нечетное число дней. Если окажется, что в периоды с четным числом дней $T=2N$,$N=1,2,3$… прибыль всегда выше, чем в периоды с нечетным числом дней $T=2N+1$, Пончику будет выгодно заменить период с нечетным числом дней на период на один день более короткий, содержащий четное число дней.
Прибыль, полученная за период, содержащий четное число дней определяется следующим образом:
$$\pi_{t=2}(T)=250\cdot T, T=2N, N=1,2,3…$$
так как в этом случае закупки осуществляются двухдневными париями (200 бутылок), Пончик закупает воду каждые два дня и всю ее продает. Каждые два дня он получает прибыль 500 рублей, или в среднем в день 250 руб.
Прибыль, полученная за период, содержащий нечетное число дней, зависит от того, какими партиями производятся закупки воды.
Если закупки совершаются двухдневными партиями (200 бутылок), то для обеспечения продаж в течение $Т$ дней ($T=2N-1, N=1,2,3$…) придется закупать воду на $Т+1$ дней. В этом случае половина бутылок последней парии (100 бутылок) не будет продана, то есть прибыль за весь период будет меньше, чем при четном числе дней ($Т+1$) на величину выручки одного дня ($20\cdot100=2000$ руб.). Однако эти 100 бутылок и хранить нет смысла (лучше сразу от них избавиться так или иначе), чтобы не нести лишних расходов. А это уже увеличивает прибыль за период на величину затрат на хранение 100 бутылок в течение последнего закупочного периода, то есть на $2\cdot2\cdot100=400$ руб. :
$$\pi_{t=2}(T)=250\cdot(T+1)-2000+400=250\cdotT-1350, T=2N-1, N=1,2,3…$$
Однако, если сократить период на 1 день, то прибыль будет
$$\pi_{t=2}(T-1)=250\cdot(T-1)=250T-250,T=2N-1, N=1,2,3…$$
что выше, чем прибыль, полученная в периоде с нечетным числом дней.
Следовательно, если период содержит четное число дней, то закупки следует производить двухдневными партиями (200 бутылок), а периоды с нечетным числом дней выгодно заменять более короткими (на один день) периодами с четным числом дней, что позволит увеличить прибыль.
Если закупки производятся однодневными партиями (100 бутылок), то прибыль равна
$$\pi_{t=1}(T)=200\cdot T, T=2N-1,N=1,2,3…$$
Если заменить период на более короткий (Т-1), содержащий четное число дней, прибыль будет равна
$$\pi_{t=2}(T-1)=250\cdot(T-1)=250T-250,T=2N-1, N=1,2,3…$$
Такая замена периода на более короткий имеет смысл, если она не приводит к уменьшению прибыли, то есть:
$$\pi_{t=2}(T-1)=250\cdot(T-1)=250T-250\ge200\cdot T=\pi_{t=1}(T), T=2N-1, N=1,2,3… \Rightarrow T\ge5$$
Следовательно, при длительности периода, в котором максимизируется прибыль, превышающем 5 дней, максимум прибыли будет получен, если закупки производить двухдневными партиями (200 бутылок), а период с нечетным числом дней заменять на период на один день более коротким.
Для длительности периода меньше 5 дней запишем прибыль, получаемую при закупках однодневными и двухдневными партиями:

Очевидно, что при $Т<5$ следует в период, содержащий нечетное число дней, закупать воду однодневными партиями, а в период, содержащий четное число дней – двухдневными. При $Т=5$ и закупках однодневными партиями прибыль будет такая же, как и при $Т=4$ и закупках двухдневными партиями. Так что в этом случае можно сократить период на один день без потери прибыли.

Ответ: размер партии зависит от длительности периода, в течение которого максимизируется прибыль. Если этот период не превышает 4 дней, то для получения максимальной прибыли размер партии должен быть равен 100 бутылок, если число дней в периоде нечетное, и 200 бутылок, если число дней четное. Если же длительность периода превышает 4 дня, то Пончику закупать нужно только партиями по 200 бутылок, при этом длительность периода, в котором максимизируется прибыль, должна быть равна четному числу дней, в противном случае прибыль не будет максимальной.

Пусть $F$ – число семей. Тогда:
$\frac{F}{0,5}=2F$ – число мужчин
$\frac{F}{0.6}=\frac{5}{3}F$ – число женщин
$\frac{5}{3}F-F=\frac{2}{3}F$ – число незамужних женщин
Число домашних хозяйств:
$F$ – домохозяйства-семьи,
$F$ – домохозяйства, состоящие из неженатых мужчин
$\frac{2}{3}F$ – домохозяйства, состоящие из незамужних женщин
Домохозяйства-семьи и домохозяйства, состоящие из неженатых мужчин, имеют одинаковый доходи одинаковую численность, поэтому объединим их в одну группу. Ее численность 2F, а доля в общей численности
$$\frac{2F}{(2F+\frac{2}{3}F)}=\frac{3}{4}=0,75$$
Доля домохозяйств, состоящих из незамужних женщин равна 0,25.
Если доход мужчины $Z$, то доход общества
$$Z\cdot2F+\frac{1}{3}\cdot Z\cdot\frac{2}{3}\cdot F=\frac{20}{9}\cdot ZF$$
Тогда доля доходов домохозяйств-семей и домохозяйств-неженатых мужчин в общем доходе:
$$\frac{2ZF}{(\frac{20}{9}\cdot ZF)}=0.9$$
Кривая Лоренца:

Коэффициент Джини $G=0.25-0.1=0.15$

1) Определим, какой была начальная цена вкусняшек.
Для этого сначала определим суммарную функцию спроса зверей и птиц на вкусняшки, преобразовав исходные функции спроса в функции вида $Q=f(P)$. Функция спроса зверей будет иметь вид $Q = 200 - 20P$, а функция спроса птиц $Q = 600 - 10P$.
Суммарный спрос будет описываться кусочно-линейной функцией:
\[\begin{cases}
600 - 10P, & \text{при }10\le P \le60; \\
800 - 30P, & \text{при }0 \le P \le10.\end{cases}\]
Определим исходную функцию предложения вкусняшек. Так как она линейная и имеет эластичность равную 1, то она выходит из начала координат. Если бы цена была зафиксирована на уровне 4 тугрика за тонну, то покупатели смогли бы купить (320/4=80) тонн вкусняшек (в соответствии с условиями задачи), но они готовы купить $800-30\cdot4=680$ тонн ( в соответствии с функцией спроса). При цене 4 тугрика на рынке был бы дефицит товара, а объем продаж определялся возможностями продавца предложить товар на продажу, т.е. функцией предложения. Отсюда следует, что график предложения проходит через точку с координатами (80; 4). Соответственно функция предложения имеет вид $Q = 20P$.
При цене 10 тугриков продавцы готовы продать 100 тонн вкусняшек, а покупатели готовы купить 500 тонн вкусняшек, на рынке возникнет дефицит товара, значит первоначальная равновесная цена должна быть больше 10 тугриков. Приравняв соответствующую функцию спроса и предложения, находим, что цена равна 20 тугриков.
2) Рассчитаем, какой станет новая цена вкусняшек.
Так как оба варианта реализации рекомендаций Волка и Орла приводят к одинаковому результату, то достаточно показать, как изменится функция предложение в результате реализации рекомендаций Орла – предложение должно вырасти в 3,5 раза при любых ценах. Получаем, что этот вариант изменения предложения даст новую функцию предложения $Q = 70P$. Чтобы получить новую равновесную цену мы снова должны приравнять функцию спроса и предложения, но теперь при цене 10 продавцы готовы продать 700 тонн вкусняшек, на рынке возникает излишек и равновесная цена будет меньше 10 тугриков. Приравняв соответствующую функцию спроса и предложения, находим, что цена будет равна 8 тугриков. Итак, цена снизится с 20 до 8 тугриков, т.е. снизится на 60%.
3) Определим ставку потоварной субсидии.
При цене 8 тугриков продавцы готовы продавать 560 тонн вкусняшек. Без субсидии и без модернизации производства данное количество товара они были готовы предложить по цене (560/20)=28 тугриков за тонну. 8 тугриков они получат от покупателей, а 20 тугриков им должна компенсировать царская казна. Таким образом, мы определили размер потоварной субсидии t=20 тугриков.
4) Оценим общую сумму субсидии.
Новому равновесию соответствует 560 тонн вкусняшек, за каждую проданную тонну из казны выделяют 20 тугриков, значит общая сумма субсидии $560\cdot20=11 200$ тугриков.
5) Возможные аргументы экспертов
• Субсидия только компенсирует издержки продавцов, ее придется выплачивать каждый год, в то время как модернизация производства непосредственно снижает издержки и поэтому достаточно разовой выплаты из царской казны.
• Если будет расти спрос, то вариант с субсидией в будущем приведет к большему росту цены, нежели вариант с модернизацией.

а) Обозначим количество станков типа А за $a$, а количество станков типа B за $b$. Тогда издержки фирмы равны $100a+90b$, а выпуск равен $100a+80b$.
Таким образом, фирма минимизирует значение выражения $100a+90b$, выбирая любые неотрицательные $a$ и $b$, удовлетворяющие условию $100a+80b=Q$. Выражая $100a$ из условия и подставляя в формулу для издержек, получаем, что издержки равны $(Q-80b)+90b=Q+10b$. Эта функция возрастает по $b$, поэтому фирме следует выбрать минимально возможное значение $b$, то есть 0.
Следовательно, при любом $Q$ фирме оптимально арендовать 0 станков типа B и $Q/100$ станков типа А .
Можно было также заметить (второй способ решения), что при использовании станка типа А расходы на единицу продукции равны 1 ден. ед., а при использовании станка типа B — 9/8 ден. ед., и поэтому оптимальным является использование только станков типа А.
б) 170 единиц можно произвести тремя способами: (1) Арендовать 2 станка типа А; (2) арендовать 1 станок типа А и 1 станок типа B; (3) арендовать 3 станка типа B. Издержки для этих трех способов равны 200, 190, и 270 соответственно; следовательно, оптимальным является способ (2).
240 единиц можно произвести четырьмя способами: (1) Арендовать 3 станка типа А; (2) арендовать 2 станка типа А и 1 типа B; (3) арендовать 1 станок типа А и 2 типа Б; (4) арендовать 3 станка типа B. Издержки будут равны 300, 290, 280, и 270 единиц соответственно. Следовательно, оптимальным является способ (4).
в) Нет, неверно. Рассмотрим $Q=240$. В пункте (а) оптимальной является аренда 2,4 станков типа А и 0 станков типа B. C учетом же целочисленности в (б) мы получили, что оптимальной является аренда 0 станков типа А и 3 станков типа B, но 0 не является одним из двух целых чисел, ближайших к 2,4.
Примечание: для $Q=240$ ответ в условиях целочисленности не только не является одним из ближайших к ответу без ограничения на целочисленность, но и является диаметрально противоположным: если без ограничения на целочисленность нужно арендовать только станки типа А, то с ограниченим — только станки типа B. Данная задача (с ограничением на целочисленность) является частным случаем задачи о рюкзаке(См., например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D...), с различными вариациями которой можно встретиться в самых разных областях экономики.

а)

1. Ценность блага для потребителя обратно пропорциональна числу пользователей. Можно предположить, что речь идет о каком-то частном благе, которое делится поровну на всех его потребителей. Скажем, это может быть пицца, которая каждому потребителю приносит ценность 100, если съедена целиком, а отдельный кусок приносит полезность 100/N (если пицца разделена на N равных кусков).

   Второй вариант интерпретации — демонстративное потребление (снобизм). Иногда потребители некоторых благ чувствуют себя хуже, если эти блага не эксклюзивны. Например, богатый человек, покупающий дорогую яхту, хотел бы быть единственным владельцем такой яхты в мире, и чем больше в мире еще таких яхт, тем менее его собственная яхта для него ценна.

2. Если потребитель является единственным пользователем блага, то оно не приносит ему полезности. Далее, чем больше потребителей, тем больше полезность для каждого. Такие блага называются сетевыми: пользователи объединяются в сеть и общаются в ней друг с другом. Например, таким благом является телефон: он тем более ценен, чем большему количеству людей (обладателей такого же телефона) можно позвонить.
3. При небольшом количестве пользователей это благо похоже на сетевое (ценность для каждого потребителя растет по мере увеличения их числа), а затем — на частное. Такие блага называются клубными: быть единственным пользователем неинтересно, но и слишком большому числу людей будет тесно. В качестве примера можно привести футбольную площадку, встречу любителей игры в карты и т. п.
4. В этом случае представлен классический пример общественного блага, которое в полной мере обладает свойством неконкурентности: ценность для каждого потребителя не зависит от того, сколько других потребителей есть у данного блага. В качестве примера подойдет любое общественное благо: солнечный свет, национальная оборона, доска объявлений и т. п.

б) Пусть $P$ — цена блага, назначенная монополистом.

1. Потребитель с номером N будет подключаться к потреблению блага, только если его излишек, равный $(100/N– P)$, не меньше 0 (если он равен 0, то потребитель подключится к потреблению из-за условия о реализации равновесия с максимальным числом участников). Значит, N потребителей подключатся, если цена не больше $100/N$, и тогда по определению обратная функция спроса имеет вид $P = 100/N$ (при целых N), а прямая:
   \[N=\begin{cases}
   0, & \text{если }P>100; \\
   1, & \text{если }P\in(50;100]; \\
   2, & \text{если }P\in(100/3;50]; \\
   3, & \text{если }P\in(25;100/3]; \\
   4, & \text{если }P\in(20;25]; \\
   5, & \text{если }P\in(100/6;20]; \\
   6, & \text{если }P\in(100/7;100/6]; \\
   7, & \text{если }P\in(12,5;100/7]; \\
   8, & \text{если }P\in(100/9;12,5]; \\
   9, & \text{если }P\in(10;100/9]; \\
   10, & \text{если }P\le10.\end{cases}\]
   Выручка монополиста будет равна 100 при любой цене из множества (100; 50; 100/3; 25; 20; 100/6; 100/7; 12,5; 100/9; 10) — при таких ценах подключатся 1, 2, … 10 потребителей соответственно. При любой другой цене выручка будет меньше, так как подключившиеся потребители заплатят не максимальную цену. (Например, если цена 24, то подключатся 4 потребителя, как и при цене 25, но они заплатят меньше.)
   Выручка монополиста будет равна 100 при любой цене из множества (100; 50; 100/3; 25; 20; 100/6; 100/7; 12,5; 100/9; 10) — при таких ценах подключатся 1, 2, … 10 потребителей соответственно. При любой другой цене выручка будет меньше, так как подключившиеся потребители заплатят не максимальную цену. (Например, если цена 24, то подключатся 4 потребителя, как и при цене 25, но они заплатят меньше.)
2. При цене $P$, не большей 90, всегда есть два равновесия: никто не пользуется и пользуются все. Действительно, если никто не подключился, то никто не сможет увеличить свой излишек, подключившись первым (у первого полезность равна 0). Если же хоть кто-то подключился, то выгодно подключиться всем (у остальных излишек будет еще больше, чем у первого). По условию, из двух равновесий будет реализовываться наилучшее для монополиста, так что выручка будет равна $10P$.Если цена больше 90, то не подключается (даже если подключатся все, они получат отрицательный излишек).
   Получаем функцию спроса:
   \[N=\begin{cases}
   0, & \text{если }P>90; \\
   10, & \text{если }P\le 90.\end{cases}\]
   Значит, монополисту нужно установить максимально возможную цену (90).
3. Возможны 7 случаев, которые представлены в таблице.
   
   Получаем функцию спроса:
   \[N=\begin{cases}
   0, & \text{если }P>50; \\
   6, & \text{если }P\in(45;50]; \\
   7, & \text{если }P\in(40;45]; \\
   8, & \text{если }P\in(35;40]; \\
   9, & \text{если }P\in(30;35]; \\
   10, & \text{если }P\le13.\end{cases}\]
   Как видно из таблицы, максимальную выручку фирма получает, назначив цену 40.
4. Максимальная готовность платить каждого покупателя равна 50 независимо от их количества, следовательно, функция спроса имеет вид:
   \[N=\begin{cases}
   0, & \text{если }P>50; \\
   10, & \text{если }P\le50.\end{cases}\]
   Чтобы максимизировать выручку, фирме нужно назначить максимальную цену, при которой подключатся все 10 пользователей — цену 50.

1) Определим объем ореховой смеси, которую будет продавать Салим.
Пусть $X$ – это объем второй смеси, которая была куплена Салимом по 200 рублей за килограмм. Запишем соотношение, определяющее баланс миндаля во всех смесях.
Первая смесь содержит миндаля $50\cdot0,3$ килограмм.
Вторая смесь содержит миндаля $X\cdot0,5$ килограмм.
Смесь, предназначенная на продажу, содержит миндаля $(50+X)\cdot0,42$ килограмм.
Получаем $(50\cdot0,3)+(X\cdot0,5)=(50+X)\cdot0,42$.
Решив это уравнение, находим, что $X=75$ килограмм.
Итак, Салим получил $(50+75)=125$ килограмм ореховой смеси, которую он собирается продать.
2) Определим расходы Салима, связанные с закупкой ореховых смесей.
$50\cdot100+75\cdot200=20 000$ рублей.
3) Рассчитаем цену, по которой Салиму следует продавать смесь.
Пусть $P$ – это цена продажи новой смеси. Тогда для обеспечения прибыльности (рентабельности) не менее 20% должно выполняться неравенство:
$\frac{125\cdot P - 20 000}{20 000}\cdot100$%$\ge20$%
Решив это неравенство получаем, $P\ge192$ рублей.

Рентабельность: $Rent_0=\dfrac{\pi}{TC}=\dfrac{P-ATC}{ATC}=\dfrac{P}{ATC}-1=0.2\Longrightarrow \dfrac{P}{ATC}=1.2$

После повышения цены: $Rent_1=\frac{1.2P-ATC}{ATC}=\frac{1.2P}{ATC}-1=1.2\cdot1.2-1=1.44-1=0.44$ или 44%.

То есть рентабельность возросла в 44/20 = 2,2 раза.

Маша за 1 минуту пропалывает $\frac{1}{40}$ грядки, а Петя за 1 минуту пропалывает $\frac{1}{200}$ грядки. Значит, вдвоем за 1 минуту они пропалывают $\frac{1}{40}+\frac{1}{200}=\frac{1}{30}$ грядки. Так как общими усилиями было прополото 3 грядки, то для этого потребовалось $(30:\frac{1}{30})=90$ минут, т.е. 1,5 часа. Значит, Маше надо заплатить $1,5\cdot200=300$ рублей.

1) Определяем, в производстве каких блюд Сяо и Мяо имеют сравнительные преимущества.
Пусть товар $X$ - это абвгдейчики, а товар $Y$ – это альфабетагамбургеры.
Если Сяо изготовит 1 единицу товара $Y$, то затратит 30 минут, за это время она могла бы сделать 2 единицы товара $X$ (30/15=2). Значит, альтернативная стоимость 1 единицы товара $Y$ для нее равна 2-м единицам товара $X$.

Аналогичные рассуждения для Мяо: если Мяо изготовит 1 единицу товара $Y$, то затратит 15 минут, за это время она могла бы сделать 3 единицы товара $X$ (15/5=3). Значит, альтернативная стоимость 1 единицы товара $Y$ для нее равна 3-м единицам товара $X$.

Это позволяет нам дать оценку сравнительных преимуществ для Сяо и Мяо : изготавливая одну единицу товара $Y$ Сяо «жертвует» МЕНЬШИМ количеством товара $X$, значит она имеет сравнительное преимущество в производстве товара $Y$. Соответственно Мяо имеет сравнительные преимущества в производстве товара $X$.

Для наглядности и удобства анализа запишем полученные результаты в таблицу.

2) Определяем, каким будет соотношение производимых блюд, если Сяо и Мяо будут специализироваться на разных блюдах.
Сяо и Мяо должны специализироваться на тех блюдах (товарах), в производстве которых они имеют сравнительные преимущества. За единицу времени, например, один час Сяо сделает (60/30)=2 единицы товара $Y$, а Мяо сделает (60/5)=12 единиц товара $X$.

3) Определяем, кто из подруг будет производить только одно блюдо, а кто два.
Так как подруги должны сделать 100 единиц товара $X$ и 10 единиц товара $Y$, то мы можем посчитать, сколько времени пришлось бы потратить каждой из них, если бы они специализировались на производстве только тех товаров, в отношении которых они имеют сравнительные преимущества. Сяо потребовалось бы на производство товара $Y$ (10/2=5 часов), а Мяо на производство товара $X$ (100/12=8,33 часа). А это значит, что, сделав за 5 часов 10 единиц товара $Y$, Сяо присоединится к Мяо, чтобы быстрее закончить совместную работу. Итак, Мяо будет делать только товар $X$, а Сяо – и товар $X$, и товар $Y$.

4) Рассчитываем необходимое время для получения заданного набора блюд.
Пусть $T$ – это время (в часах), которое подруги совместно тратят на готовку.
Тогда ($12\cdot T$) – это количество товара $X$, которое изготовит Мяо (в час она делает 12 единиц товара $X$).
$((T-5)\cdot4)$ – это количество товара $X$, которое изготовит Сяо: $(Т-5)$ – столько часов она непосредственно делает товар $X$, а за час она может изготовить (60 минут/15 минут)= 4 единицы товара $X$.
Теперь мы можем записать соотношение, определяющее общее количество товара $X$.
$(12\cdot T)+(T-5)\cdot4=100$. Получаем что $(16\cdot T)=120$ и находим, что $T=7,5$ часов.

1) Определим, какой была начальная цена вкусняшек.
Для этого сначала определим суммарную функцию спроса зверей и птиц на вкусняшки, преобразовав исходные функции спроса в функции вида $Q=f(P)$. Функция спроса зверей будет иметь вид $Q=200-20P$, а функция спроса птиц $Q=600-10P$.
Суммарный спрос будет описываться кусочно-линейной функцией:
\[
\begin{cases}
600-10P, &\text{при } 10 \le P \le 60 \\
800-30P, &\text{при } 0 \le P \le 10
\end{cases}
\]
Определим исходную функцию предложения вкусняшек. Так как она линейная и имеет эластичность равную 1, то она выходит из начала координат. Если бы цена была зафиксирована на уровне 4 тугрика за тонну, то покупатели смогли бы купить (320/4=80) тонн вкусняшек (в соответствии с условиями задачи), но они готовы купить 800-30*4=680 тонн ( в соответствии с функцией спроса). При цене 4 тугрика на рынке был бы дефицит товара, а объем продаж определялся возможностями продавца предложить товар на продажу, т.е. функцией предложения. Отсюда следует, что график предложения проходит через точку с координатами (80; 4). Соответственно функция предложения имеет вид $Q=20P$.
При цене 10 тугриков продавцы готовы продать 100 тонн вкусняшек, а покупатели готовы купить500 тонн вкусняшек, на рынке возникнет дефицит товара, значит первоначальная равновесная цена должна быть больше 10 тугриков. Приравняв соответствующую функцию спроса и предложения, находим, что цена равна 20 тугриков.
2) Рассчитаем, какой станет новая цена вкусняшек.
Так как оба варианта реализации рекомендаций Волка и Орла приводят к одинаковому результату, то достаточно показать, как изменится функция предложение в результате реализации рекомендаций Орла – предложение должно вырасти в 3,5 раза при любых ценах. Получаем, что этот вариант изменения предложения даст новую функцию предложения $Q=70P$. Чтобы получить новую равновесную цену мы снова должны приравнять функцию спроса и предложения, но теперь при цене 10 продавцы готовы продать 700 тонн вкусняшек, на рынке возникает излишек и равновесная цена будет меньше 10 тугриков. Приравняв соответствующую функцию спроса и предложения, находим, что цена будет равна 8 тугриков. Итак, цена снизится с 20 до 8 тугриков, т.е. снизится на 60%.
3) Определим ставку потоварной субсидии.
При цене 8 тугриков продавцы готовы продавать 560 тонн вкусняшек. Без субсидии и без модернизации производства данное количество товара они были готовы предложить по цене (560/20)=28 тугриков за тонну. 8 тугриков они получат от покупателей, а 20 тугриков им должна компенсировать царская казна. Таким образом, мы определили размер потоварной субсидии t=20 тугриков.
4) Оценим общую сумму субсидии.
Новому равновесию соответствует 560 тонн вкусняшек, за каждую проданную тонну из казны выделяют 20 тугриков, значит общая сумма субсидии (560*20)=11 200 тугриков.
5) Возможные аргументы экспертов
• Субсидия только компенсирует издержки продавцов, ее придется выплачивать каждый год, в то время как модернизация производства непосредственно снижает издержки и поэтому достаточно разовой выплаты из царской казны.
• Если будет расти спрос, то вариант с субсидией в будущем приведет к большему росту цены, нежели вариант с модернизацией.

При принятии решения Коту следует проанализировать экономические издержки и дать оценку экономической прибыли.
а) Дадим расчет явных издержек Кота. Сразу оговоримся, что плата за лицензию не должна учитываться при принятии решений, поскольку на данном этапе это уже необратимые издержки, которые не влияют на решение и не участвуют в расчетах после того, как они получили статус необратимых.
Явные издержки:
1) материальные затраты – затраты на расходные материалы 60 тугриков
2) оплата труда Осла 600 тугриков
3) амортизация шпионского оборудования $\dfrac{800}{4}=200$ тугриков
4) прочие расходы
• расходы на аренду помещения 100 тугриков
• проценты за кредит А*0,2, где А – это сумма кредита
Оценим сумму денег, которая нужна Коту для оплаты его расходов на начало года:
100 (аренда)+800*0,3 (аванс за оборудование)+60 (расходные материалы)+300 (аванс Ослу)=700 тугриков. Так как своих денег у него всего 500 тугриков, значит, ему нужно взять кредит в 200 тугриков, т.е. А=200 тугриков, следовательно, проценты, которые придется заплатить за взятый кредит, составят 200*0,2=40 тугриков. (Погашение кредита не является издержками, поэтому расходы на его погашение в расчете не участвуют.)
Итак, общая сумма бухгалтерских издержек 1000 тугриков.
Неявные издержки:
1) неполученные проценты по депозиту – 100 тугриков (Вместо того, чтобы вкладывать деньги в бизнес Кот мог бы получать проценты по депозиту 500*0,2=100 тугриков);
2) неполученная зарплата по лучшему варианту -2400 тугриков (Для обеспечения сопоставимости учитываем доход Кота на конец года. Если бы Кот пошел работать к Шреку и полученные деньг положил в банк, то его доход составил 2000*1,2=2400 тугриков. Это больше чем 2300 тугриков, которые ему в конце года обещал кот Матроскин.)
Итак, общая сумма неявных издержек 2500 тугриков.
Таким образом, экономические издержки Кота в сапогах составят 1000+2500=3500 тугриков, а экономическая прибыль 4000-3500=500 и она положительная. Это значит, что иное использование собственных ресурсов не принесет Коту в сапогах большего дохода. Отсюда делаем вывод: Коту в сапогах следует продолжить заниматься организацией детективного агентства.
б) Пока Кот не заплатил за лицензию, он должен брать эти будущие расходы в расчет при принятии решения. С учетом того, что лицензия дает право заниматься данным видом деятельности 2 года, к сумме явных издержек следует добавить 900/2=450 тугриков, а к сумме неявных 1000*0,2=200 (потерянные проценты). Теперь экономическая прибыль стала отрицательной 4000-3500-450-200=-150. А это значит, что Коту в сапогах было бы выгоднее держать деньги в банке, а самому устроиться на работу к Шреку при прочих равных условиях.
Добавить фразу «при прочих равных условиях» будет не лишним, так как возможно Кот в сапогах имеет определенные амбиции и даже готов приплачивать за то, чтобы считаться профессиональным частным детективом!

Обозначим С – количество огурцов (кг), Т – количество помидоров (кг), $P_{C}$ и $P_{T}$ – их цены соответственно, I – сумма имеющихся у Раисы денег.
Тогда при использовании скидки на помидоры:
\[
\left\{
\begin{aligned}
T&=3C \\
P_{T}&=1.5P_{C} \to I=P_{C}C+0.45*1.5*P_{C}3C \to I=3.025P_{C}C\\
I&=P_{C}C+0.45P_{T}T\\
\end{aligned}
\right.
\]
При использовании скидки $(\alpha)$ на общую стоимость овощного набора:
\[
\left\{
\begin{aligned}
T&=3C \\
P_{T}&=1.5P_{C} \to I=(1-\alpha)P_{C}C+(1-\alpha)1.5*P_{C}3C \to I=5.5(1-\alpha)P_{C}C\\
I&=(1-\alpha)P_{C}C+(1-\alpha)P_{T}T\\
\end{aligned}
\right.
\]
Так как сумма денег, цена огурцов $P_C$ и количество купленных овощей, в том числе огурцов одинаково, то
$$3.025=5.5(1-\alpha) \to \alpha=0.45$$

Пусть $\alpha$ - доля работающих в старом цехе, LP – производительность труда в старом цехе.
Тогда производительность труда в новом цехе 2LP, а в целом по предприятию 1.5LP и рассчитывается она следующим образом:
$$1.5LP=\alpha*LP+(1-\alpha)*2LP$$
$$1.5=\alpha+2-2\alpha=2-\alpha$$
$$\alpha=0.5$$
То есть 50% работников занято в старом цехе.
$$1.2*1.5LP=\alpha_{1}*LP+(1-\alpha_{1})*2*LP$$
$$1.8=\alpha_{1}+2-2\alpha_{1}=2-\alpha_{1}$$
$$\alpha_{1}=0.2$$
То есть 60% работников старого цеха нужно перевести в новый цех.