Владелец магазина спокойно максимизировал прибыль, пока однажды накануне Нового года руководить поселком не был назначен новый чиновник, срок полномочий которого составляет ровно 6 лет. Этот чиновник нашел нарушения в работе магазина, но вместо того чтобы заставить владельца их устранить, потребовал денег:
— В течение года ($t=0$) я буду смотреть, как ты будешь работать и какую прибыль $\pi_0$ получишь, а потом (от $t=1$ до $t=5$) я тебя контролировать перестану, а ты мне за это будешь отдавать каждый год всего 0,8% от величины $\pi_0$ за каждую проданную тысячу бутылок.
Владелец магазина загрустил, с ностальгией вспомнив о тех временах, когда он мог спокойно продавать настойку. Но потом ему пришла в голову блестящая идея: если получить в $t=0$ отрицательную прибыль, то тогда чиновнику в соответствии с уговором еще пять лет придется платить самому! (Известно, что этот чиновник – человек слова.) С другой стороны, нести большие убытки тоже не хочется, тем более что в кредит на текущий год ему точно никто больше 250 тысяч рублей не даст (а значит, убытки не могут быть больше 250 тысяч рублей).
Считайте, что владелец магазина может менять цену только в начале каждого года. Какие цены ему нужно установить в каждом из шести лет от $t=0$ до $t=5$, чтобы максимизировать суммарную прибыль за все годы (без дисконтирования)?
Разберемся с единицами измерения. Чиновник требует платить 0,8% от прибыли за каждую проданную тысячу бутылок. То есть, например, если прибыль в текущем году составит 500 тысяч рублей, то в последующие годы придется по $500\cdot 0,008$ тысяч рублей за каждую тысячу бутылок, или, что то же самое, по по $500\cdot 0,008= 500/125$ рублей за каждую бутылку. Таким образом, средние издержки магазина, начиная с первого года, увеличатся на $\pi_0/125$ рублей.
Пусть $\pi_0$ – прибыль текущего года. Тогда функция суммарной прибыли (здесь и далее – в тысячах рублей) за 6 лет имеет вид
\[
\pi_0+ \underbrace{(100-P_1)\left(P_1-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_1}
+ \underbrace{(100-P_2)\left(P_2-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_2} + \ldots + \underbrace{(100-P_5)\left(P_5-50-\frac{\pi_0}{125}\right)}_{\textstyle\pi_5}.
\]
Если цена текущего года $P_0$ выбрана и $\pi_0$ определено, то все остальные прибыли – квадратичные параболы с ветвями вниз, причем одинаковые, не зависящие друг от друга и имеющие вершины в точках
\[
P_t= \frac{100+50+\pi_0/125}{2}=75+\frac{\pi_0}{250}, \quad \text{где } t\in\{1, 2, 3, 4, 5\}.
\]
Тогда максимальное значение прибыли за пять последующих лет равно
\[
\sum_{t=1}^5 \pi_t=\pi_1+\pi_2+\pi_3+\pi_4+\pi_5=5\left(100-75-\frac{\pi_0}{250}\right)\left(75+\frac{\pi_0}{250}-50-\frac{\pi_0}{125}\right)=5\left(25-\frac{\pi_0}{250}\right)^2.
\]
А суммарная прибыль за все годы составит
\[
\Pi = \pi_0 + \sum_{t=1}^5 \pi_t= \pi_0+5\left(25-\frac{\pi_0}{250}\right)^2.
\]
Посмотрим, чему может быть равна $\pi_0$. Функция $\pi_0=(100-P_0)(P_0-50)$ – парабола с ветвями вниз, область значений которой простирается от $-\infty$ до 625 (при $P_0=75$). Ограничение на величину убытков сокращает область допустимых значений $\pi_0$ до отрезка $[-250; 625]$.
Функция $\Pi$, как нетрудно проверить, – парабола с ветвями вверх и вершиной в $\pi_0=0$. Чем дальше от вершины параболы (в любую сторону, так как она симметрична), тем больше ее значение, следовательно, $\pi_0=625$ приносит бОльшую суммарную прибыль, чем $\pi_0=-250$.
Отсюда нетрудно посчитать, что $P_0=75$, $P_t=77,5$, где $t\in {1, \dots, 5}$.
Номинальную заработную плату одного работника в стране Альфа ($w$) устанавливает профсоюз. Лидеры профсоюза считают, что справедливый уровень реальной зарплаты равен 1, и стараются выбрать номинальную зарплату так, чтобы реальная была как можно ближе к единице.
Денежную массу в стране Альфа определяет центральный банк, точнее, его глава Джон Смит. Это господин устанавливает денежную массу так, чтобы максимизировать свое счастье. Его счастье положительно зависит от уровня реального ВВП, потому что за высокий реальный ВВП Смита может похвалить президент. Кроме того, главу центрального банка раздражает нестабильность цен (как инфляция, так и дефляция). Поэтому уровень счастья Джона Смита описывается следующим уравнением: $U=Y-50(\pi/100)^2,$ где $\pi$ – уровень инфляции (в процентах) в стране Альфа по отношению к предыдущему году (в прошлом году уровень цен был равен 1).
Накануне наступления нового года события в стране Альфа развиваются так: профсоюз устанавливает номинальную заработную плату на следующий год; затем центральный банк, зная решение профсоюза, выбирает денежную массу; после этого фирмы, зная все предыдущие решения, выбирают оптимальный объем производства.
В регионе W незаконно ввезенную еду раскатывают бульдозерами. Бульдозеры имеются в неограниченном количестве, а трудовых ресурсов есть только 35 единиц. Если нанять единицу труда, то можно раздавить тонну незаконного пармезана или тонну незаконных персиков. Однако с ростом количества нанятого труда приобретаются знания и накапливается опыт (ранее уничтожением еды никто не занимался), и все единицы труда сверх 10-й, занятые в раздавливании пармезана, могут раскатать уже не 1, а целых 2 тонны сыра. То же самое и с персиками: первые 10 единиц труда будут раскатывать по 1 тонне персиков, а все следующие — по 2 тонны.
В регионе E незаконно ввезенную еду сжигают на кострах. Так же, как и в регионе W, костров хватит на любое количество продуктов, а труд в этом регионе ограничен 15 единицами. Если нанять единицу труда, то можно сжечь 2 тонны пармезана или 2 тонны персиков. Повышения квалификации во регионе E не происходит, поскольку роль труда в процессе сжигания невелика.
Продукты можно перевозить между регионами без затрат ресурсов, а ни миграции рабочей силы, ни перемещения технологий не происходит.
Назовем кривой утилизационных возможностей (КУВ) множество точек в координатах (сыр; персики), ограничивающих доступные наборы из уничтоженных продуктов. Постройте суммарную КУВ страны.
Получаем уравнение КУВ первого региона:
\[y_1=\begin{cases}
60-2x_1, & \text{если }0\le x_1\le 10, \\
50-x_1, & \text{если }10< x_1 < 40, \\
30-0,5x_1, & \text{если }40\le x_1\le 60. \end{cases}
\]
В регионе E стандартный случай: $x_2=2L_x$, $y_2=2L_y$, при ограничении $L_x+L_y=15$ получаем $y_2=30-x_2$.
Допустим, всего страна хотела бы утилизировать $X$ единиц сыра. Для построения общей КУВ нам надо определить, как распределить утилизацию $X$ единиц между регионами так, чтобы общее количество утилизированного $Y$ было максимально.
Эту задачу можно решить аналитически <<в лоб>>, однако такой способ решения достаточно трудоемок. Следующее соображение позволяет значительно упростить решение.
Возьмем некое распределение $X=x_1+x_2$, в котором $x_1>0$, $x_2>0$ и посчитаем объемы утилизации персиков, исходя из полученных выше КУВ регионов; получим четыре числа $(x_1,y_1,x_2,y_2)$.
Рассчитаем также альтернативные издержки утилизации персиков в двух регионах в точках $x_1$ и $x_2$. Назовем их $OC_1$ и $OC_2$.
Если $OC_1\leqslant OC_2$, начнем перекидывать утилизацию сыра из второго региона в первый, пока это возможно. Поскольку альтернативные издержки в первом регионе не возрастают (КУВ выпукла вниз), а во втором регионе они постоянны, общий объем утилизации персиков будет возрастать (возможно, не строго); это будет происходить, пока мы не упремся в границу $x_2=0$ или $y_1=0$.
Аналогично, если $OC_1> OC_2$, начнем перекидывать утилизацию сыра из первого региона во второй, пока это возможно. И вновь, в силу того, какую форму имеют КУВ регионов, общий объем утилизации персиков будет возрастать; это будет происходить, пока мы не упремся в границу $x_1=0$ или $y_2=0$.
Таким образом, в оптимуме\footnote{Строго говоря, \emph{в хотя бы одном} из оптимумов, так как оптимальное распределение сыра между регионами может быть не единственным. Поскольку нас интересует лишь максимальное \emph{значение} $y_1+y_2$, нам достаточно найти хотя бы один оптимум.} хотя бы одно из четырех чисел $(x_1,y_1,x_2,y_2)$ равно нулю. Иными словами, мы доказали, что в оптимуме какой-то регион всегда утилизирует лишь один вид еды. (Для этого было существенно, что альтернативные издержки производства в обоих регионах нестрого убывают!)
Это значит, что для построения суммарной КУВ достаточно построить множество точек $(X,Y)$, которые получаются, если один из регионов находится в крайней точке своей КУВ. Для этого:
Получившееся множество и есть множество доступных наборов. Ломаная, являюшаяся его границей (не включая оси), как раз и будет являться искомой кривой утилизационных возможностей. Она изображена на рисунке внизу. Факультативно можно вывести уравнение этой кривой:
\[y=\begin{cases}
90-x, & \text{если } 0\le x\le 30, \\
120-2x, & \text{если } 30\le x\le 40, \\
60-0,5x, & \text{если } 40\le x\le 60, \\
90-x, & \text{если } 60\le x\le 90. \end{cases}
\]
a. Верно. Пусть $(x_1, \ldots, x_{31})$ и $(y_1, \ldots, y_{31})$ --- места институтов \(\textbf{X}\) и \(\textbf{Y}\) соответственно по каждому из критериев. По условию $x_i\leqslant y_i$ для всех $i=1, \ldots, 31$. Тогда $\frac{1}{x_i}\geqslant \frac{1}{y_i}$ для всех $i=1, \ldots, n$. Следовательно,
\[\frac{1}{x_1}+ \ldots \frac{1}{x_{31}} \geqslant \frac{1}{y_1}+ \ldots \frac{1}{y_{31}} \qquad \text{и} \qquad \frac{31}{\displaystyle\frac{1}{x_1}+ \ldots \frac{1}{x_{31}}}\leqslant \frac{31}{\displaystyle\frac{1}{y_1}+ \ldots \frac{1}{y_{31}}}.\]
б. Неверно. Приведем контрпример. Пусть в стране X и Y занимают следующие места: $x_1=\ldots=x_{16}=1$, $x_{17}=\ldots=x_{31}=2$ и $y_1=\ldots=y_{16}=2$, $y_{17}=\ldots=y_{31}=1$ соответственно. Тогда в стране X занимает первое место, а Y — второе. Пусть в мире места X и Y по этим же критериям таковы: $\hat x_1=\ldots=\hat x_{16}=1$, $\hat x_{17}=\ldots=\hat x_{31}=15$ и $\hat y_1=\ldots=\hat y_{16}=2$, $\hat y_{17}=\ldots=\hat y_{31}=1$. Так как $\frac{31}{23}<\frac{31}{17}$, то в мировом рейтинге Y расположен выше X.
в. При использовании среднего гармонического получают преимущество институты, которые добились серьезных успехов хотя бы по одному или нескольким критериям. Наоборот, если институт провалился по одному или нескольким критериям, то это не слишком сильно скажется на его общей позиции в рейтинге. При использовании среднего арифметического эффект от провалов был бы сильнее, а эффект от достижений —меньше. Таким образом, использование среднего гармонического стимулирует существенное продвижение институтов по отдельным критериям и нивелирует случайные провалы по отдельным критериям.
г. Сначала нужно потратить все деньги на продвижение по тому критерию, по которому университет достиг наилучших показателей на текущий момент (если таких критериев несколько, то можно выбрать любой один из них). Если после того, как университет стал первым по этому критерию, деньги остались, то нужно потратить все остатки на следующий наиболее успешный критерий и т.д. Геометрически оптимальность такой стратегии можно понять, если заметить следующее. Университет должен добиться минимального значения выражения \[\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\hat r_1}+ \ldots + \frac{1}{\hat r_{31}}},\] или, что то же самое, максимального значения выражения \[\frac{1}{\hat r_1}+ \ldots + \frac{1}{\hat r_{31}}\] (здесь $\hat r_i$ — новое место университета по $i$-му критерию). Но функция $f(x)=1/x$ выпукла вниз при $x>0$, поэтому максимальный прирост значения функции при уменьшении аргумента на 1 происходит при наименьшем значении аргумента. Аналогичный результат можно получить алгебраически, если зафиксировать все критерии кроме двух, перекинуть 1 единицу денег с одного критерия на другой и оценить разность рангов университета до переброски денег и после (окажется, что перекидывать деньги выгодно на более сильные направления).
Основные ошибки:
2. В ряде случаев операции в любом случае не избежать; в этих случаях у поликлиники возникают \emph{плохие стимулы} — стимулы не направлять пациентов в стационар, даже когда им это необходимо.
Основная ошибка: отправляем больше, чем нужно (экспертиза проверяет, поставили ли мы верный диагноз, а не решает, отправлять или нет, т.е. нет стимулов тратить больше денег).
3.
*Фокус-группой называется исследование, в ходе которого несколько человек (в пределах 6–12, иногда даже меньше) обсуждают что-либо с ведущим и между собой. Возможность общения участников друг с другом и не слишком формализованная процедура позволяют глубоко исследовать вопрос, получить обратную связь от потенциальных потребителей и даже сгенерировать новые идеи в процессе обсуждения.
Критический недостаток 1 –– семьи руководства не являются репрезентативной выборкой, они выбираются неслучайным образом.
Критический недостаток 2 –– скорее всего, в этой выборке окажется много людей, не имею- щих детей вообще или не имеющие детей младшего школьного возраста и, следовательно, не являющихся целевой аудиторией
Рекомендации. Взять случайные семьи с детьми. Семьи должны быть из разных социаль- ных групп, чтобы обеспечить репрезентативность, и с детьми младшего школьного возраста, потому что именно они являются целевой группой.
2. Достоинства (примеры):
Критический недостаток 1 –– эффект плацебо. Отличить эффект плацебо от эффекта конфет при предложенном сценарии исследования невозможно.
Критический недостаток 2 –– неправильная мера успешности. Разница в средней успевае- мости между двумя классами может быть вызвана не конфетами, а общей силой класса, уровнем учителей, особенностями программы и т.д.
Рекомендация: устранение эффекта плацебо.
Рекомендация: другой способ измерения. Надо сравнивать не результаты двух классов (по одному из тестов или в среднем), а приросты успеваемости.
3. Достоинства (примеры):
Критический недостаток 1 –– нерепрезентативность выборки. Работники фабрики и мелкие оптовики не отражают средних жителей города, следовательно, корректно оценить спрос не получится.
Критический недостаток 2 –– отличия ценообразования в магазине при фабрике и других магазинах (об этом сказано в условии). Это не позволит правильно спрогнозировать цену.
Рекомендация: взять случайный магазин где-нибудь в городе, покупатели в котором будет более репрезентативны.
Что можно сказать об эластичности спроса на товар, судя по этому диалогу?
*Участники олимпиады, знакомые с концепцией излишков, без труда увидят, что указанные в этом пункте выражения просто равны излишкам потребителей и производителей для данных функций спроса и предложения.
Предположим, что чем раньше для человека идеальное время вылета, тем раньше он приходит на сайт для покупки билетов (те, кто привык рано вставать, привыкли все дела делать раньше).* Найдите время вылета, которое выберет авиакомпания, и определите, сколько ценовых категорий мест она выделит, каковы будут количество мест и цена билета в каждой категории. Укажите в ответе все оптимальные для авиакомпании варианты.
*Более реалистично было бы предполагать случайный порядок захода посетителей на сайт, однако такая предпосылка значительно усложняет решение.
Этот способ, однако, трудоемок. В данном случае легче найти, какое $t$ максимизирует спрос при данном $p$, затем уже максимизировать прибыль по $p$.
При цене $p$ захотят купить билет потребители, для которых $t_{i}\in \left[\frac{t−(8−p)}{2};\frac{t+(8−p)}{2} \right]$.Это отрезок длины $(8 − p)$ c центром в точке $t$.
Заметим, что при $p\le5$ тыс. руб., всегда можно найти отрезок длины $(8 − p)$, накрывающий множество $t^*_i\in\{6, 7, 8, 9\}$. Например, можно выбрать отрезок с центром $t = 7,5$. Иными словам, в этом случае фирма всегда может выбрать $t$ так, чтобы билеты захотели купить все 150 человек –– достаточно выбрать $t = 7∶30$ утра. Максимальная выручка в данном случае достигается при цене 5 и равна $5⋅150 = 750$.
При $p\in(5; 6]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 3 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем $t^*_i\in\{6, 7, 8\}$, спрос предъявят 130 человек, а если накрыть группы с идеальным времени 7, 8 и 9 часов, спрос предъявят 120 человек. Максимальная выручка равна $130 ⋅ 6 = 780$, для ее достижения нужно назначить $t = 7$ утра.
При $p\in(6; 7]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 2 (смежных) группы потребителей. Если накрыть группы с идеальным временем 6 и 7 часов, спрос предъявят 70 человек; 7 и 8 часов –– 100 человек; 8 и 9 часов –– 80 человек. Максимальная выручка равна $100 ⋅ 7 = 700$, для ее достижения нужно назначить $t = 7:30$ утра.
При $p\in(7; 8]$, отрезком длины $(8 − p)$ можно накрыть максимум 1 группу потребителей. Это должна быть самая многочисленная группа. Таким образом, максимальная выручка в данном случае равна $8 ⋅ 60 = 480$, для ее достижения нужно назначить $t = 8$ утра.
При $p > 8$ ни один потребитель не приобретет билет ни при каком времени вылета.
Сравнивая выручку во всех случаях выше, получаем, что оптимальным является назначение цены 6 тыс. руб. за билет и времени вылета 7 часов утра. (Прибыль фирмы составит 280 тыс. руб.)
С другой стороны, если установить время вылета $t = 7$ часов утра, то готовности платить будут равны $(8; 6; 4; 2)$ тыс. руб, и трюк с выделением нескольких категорий не пройдет, так как самая ранняя группа купит билеты по 2, а не по 8, и.т.д. В этом случае фирма не сможет заработать выручку больше, чем в случае установления единой цены.
Несмотря на то, что при $t = 9$ фирма может изъять у каждого потребителя его готовность платить, не факт что $t = 9$ является оптимальным, ведь фирма, меняя $t$, может менять сами готовности платить. Тем не менее, из примеров выше становится ясно, что ценовая дискриминация будет приносить выгоду скорее при больших $t$, чем при маленьких.
Теперь перейдем непосредственно к решению задачи. Будем называть группы потребителей по идеальному для них времени вылета; за $V_t$ обозначим готовность платить члена группы с идеальным временем $t$.
Заметим, что при оптимальной для фирме ценовой политике выполнено следующее: если некая группа потребителей покупает билеты, то все группы, для которых идеальное время вы- лета меньше, тоже покупают билеты. Действительно, если это не так, то фирма может опустить цену на часть билетов так, чтобы более «ранние» группы купили их, не меняя поведение более «поздних» групп, и прибыль ее увеличится.
Таким образом, в оптимуме возможны 4 варианта: (1) Все потребители покупают билеты; (2) Только группы 6, 7, 8 покупают билеты; (3) Только группы 6 и 7 покупают билеты; (4) Только группа 6 покупает билеты.
Будем рассматривать эти 4 случая по отдельности.
Случай 1. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 9]$. Встанем в $t = 9 $и будем уменьшать $t$. При $t\in[8,5; 9]$ готовности платить $V_6$, $V_7$, $V_8$ и $V_9$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8\le V_9$. Выделяя 4 категории билетов — 30 билетов по $V_6$ тыс., 40 билетов по $V_7$ тыс., 60 билетов по $V_8$ тыс., и 20 билетов по $V_9$ тыс, фирма сможет изъять у каждого потребителя его готовность платить. При этом при уменьшении $t$ суммарная готовность платить групп 6, 7 и 8 растет сильнее, чем падает суммарная готовность платить группы 9 (так как $2⋅(30+40+60) > 2⋅20$), и поэтому максимальная выручка на этом участке достигается при $t = 8,5$; несложно посчитать, что она равна 850 тыс. руб. При $t\in[8; 8,5)$ будет выполнено соотношение $V_6\le V_7\le V_9⩽ V_8$, и потому, чтобы продать билеты всем группам, фирме придется установить единую цену для групп 8 и 9, равную $V_9$ (для групп 6 и 7 цены по-прежнему равны $V_6$ и $V_7$). При этом на этом участке выручка уменьшается при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ (30 + 40) < 2 ⋅ (20 + 60)$.
При $t\in[7,5; 8)$ фирме придется устанавливать единую цену для групп 7, 8 и 9, равную $V_9$; выручка по-прежнему будет уменьшаться при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 20 + 60)$. При $t < 7,5$ фирме придется устанавливать единую цену на все билеты, чтобы все группы купили билет. Эта цена равна $V_9$, и поэтому выручка, очевидно, будет убывать при уменьшении $t$.
Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 8,5$. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 3000, 40 билетов по 5000 и 80 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.
Случай 2. Очевидно, что имеет смысл рассматривать только $t\in[6; 8]$. (Про группу 9 забудем, будем считать, что фирма предлагает только 130 билетов.) Встанем в $t = 8$ и будем уменьшать $t$. Аналогично Случаю 1, при $t\in[7,5; 8]$ готовности платить $V_6$, $V_7$ и $V_8$ будут удовлетворять соотношению $V_6\le V_7\le V_8$, и потому фирма сможет изъять у каждой из трех групп ее излишек, выделяя три ценовые категории. При этом выручка будет возрастать при уменьшении $t$, так как $2 ⋅ (30 + 40) > 2 ⋅ 60$. На этом участке оптимальным является $t = 7,5$, несложно посчитать, что максимальная выручка опять равна 850 тыс. руб.
При $t < 7,5$ фирме придется назначать единую цену для групп 7 и 8, равную $V_8$; так как $2 ⋅ 30 < 2 ⋅ (40 + 60)$, выручка будет убывать при уменьшении $t$. При $t < 7$ цена должна быть общей для всех трех групп, и выручка вновь будет убывать при уменьшении $t$.
Таким образом, оптимальным временем вылета в данном случае является $t = 7,5$. При этом времени вылета фирма предложит 30 билетов по 5000 и 100 билетов по 7000. Выручка составит 850 тыс. руб.
Случай 3. Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ (30 + 40) < 850$, и потому этот вариант не может быть оптимальным.
Случай 4. Очевидно, что выручка фирмы не больше $8 ⋅ 30 < 850$, и потому этот вариант не может быть оптимальным.