Приведем возможные причины разницы в процентах по "очным " и онлайн-вкладам.

1. «Снижение издержек». Отсутствие необходимости физического проведения операций, связанных с открытием онлайн-вклада, снижает издержки, связанные с функциональной деятельностью банка по открытию и обеспечению таких вкладов. Фактически, банки предлагают две разные услуги (обычный вклад и онлайн-вклад), осуществление которых связано с различными предельными издержками. Цены на такие услуги различаются.
2. «Ценовая дискриминация». Поскольку условия вкладов, открытых лично или через онлайн-сервис, одинаковы за исключением цены предоставляемой услуги, можно считать, что банк, начисляя разный процент на депозит, осуществляет ценовую дискриминацию. Тем самым он привлекает новых клиентов, которые не готовы нести издержки, связанные с открытием вклада при личном присутствии в отделении банка, и не готовы оформить даже онлайн-вклад по "очному " проценту.
3. Последний аргумент является существенным. Открытие онлайн-вкладов значительно снижает издержки для той группы людей, у которых высоки альтернативные издержки, связанные с использованием свободного времени. Для тех людей, которые ценят удобство открытия онлайн-вкладов, нет смысла повышать процент по вкладу, они согласились бы и на меньший, по сравнению с "очным ", процент по депозиту, что, безусловно, было бы выгодно банку. Однако банк повышает процент, а не снижает его, что преследует своей целью привлечь именно новых клиентов, тех, кто не готов класть деньги на депозит дистанционно даже по "очному " проценту. Поскольку повышение процента привлекает всех клиентов банка, которые готовы пользоваться интернет-сервисом, а не только тех, у кого высоки альтернативные издержки использования свободного времени, и поскольку у банка нет возможности идентифицировать клиентов и предлагать им разные проценты по вкладам, разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.
4. «Плата за риск». Возможность осуществлять онлайн-вклады появилась в России относительно недавно. Большое количество людей относится с недоверием к подобному вложению средств. Чтобы стимулировать их принять решение в пользу онлайн-вкладов (что, в свою очередь, может снижать операционные издержки банка) банки предлагают им более выгодные условия по депозитам. При отсутствии повышенной ставки такие клиенты отказались бы осуществлять онлайн-вклады. Таким образом, повышая процент по вкладу, банк оплачивает риск недоверчивых клиентов. По указанной в предыдущем пункте причине разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.

Можно заметить, что если нужно произвести не более 100 мечей, то на заводе "Татуин " мечи производить будет невыгодно. Действительно, на заводе "Алдераан " даже при производстве пятого комплекта издержки на один меч будут ниже чем на заводе "Татуин ": первые 20 мечей можно произвести за 80 датариев, вторые — за 88, третьи — меньше, чем за 97, четвертые — меньше, чем за 107, пятые — меньше, чем за 118. Таким образом, самый дорогой меч на "Алдераане " обойдется менее чем в 6 датариев. Значит, на заводе "Татуин " мечи производить не нужно, а все 100 мечей будут произведены на заводах "Алдераан " и "Набу ".

Так как фиксированные издержки у "Алдераан " отсутствуют, то пока производство одного меча стоит меньше на "Алдераан ", там и следует производить. Таким образом, первые 60 мечей точно будут произведены на этом заводе. Если далее начать производить мечи на "Набу ", то издержки производства дополнительного меча будут равны 5, что ниже, чем на "Алдераан ". Следовательно, если использовать "Набу ", то там надо производить все оставшиеся мечи. Однако за использование "Набу " нужно заплатить 25, и эти расходы нужно сравнить с экономией от производства последних 40 мечей на "Набу " вместо "Алдераан ". Производство последних 40 мечей на "Набу " обойдется в $25+5\cdot 40=225$, а на "Алдераан " — меньше, чем в $107+118=225$ (см. выше). Значит, на заводе "Алдераан " будут произведены все 100 мечей.

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

а) При отказе от импорта объем выпуска каждой фирмы: $q_1 = q_0\cdot 1{,}6 =20\cdot 1{,}6 = 32$. Общий объем продаж в отсутствии импорта равен $Q^s_1 = 10q_1 = 320$ . Используя функцию рыночного спроса, найдем равновесную цену в отсутствии импорта: $P_1 = (800 - Q^s_1)/30 = (800 - 320)/30 = 16$. Значит, при наличии импорта рыночная цена составляет $P_0 = P_1/1{,}6 = 10$, а равновесный объем спроса равен $Q_0 = Q^d_0 = 800 - 30P_0 = 500$. При этом $Q^s_0 = 20\cdot 10 = 200$ ед. производится отечественными фирмами, а еще 300 ед. импортируется.

б) Предложенное субсидирование не позволит сохранить первоначальное равновесие в отсутствии импортеров. Приведем расчеты. Определим сначала функцию предложения отечественных производителей. Известно, что предельные издержки каждой отечественной фирмы линейны, следовательно, предложение фирмы также линейно: $P = MC(q)$. Пусть $P_0 = a + bq$. Так как по условию $q_0(10) = 20$ и $q_1(16) = 32$, то функция предложения имеет вид $P_0 = q/2$ или $q_0 = 2P$. Тогда рыночное предложение имеет вид $Q^s_0 = 10\cdot 2P = 20P$ за вывод функции предложения).

Введение потоварной субсидии $s = \Delta P = 6$ увеличит предложение: $Q^s_2 = 20(P+6)$. Равновесие будет отличаться от первоначального: $P_2 = 13{,}6$, $Q_2 = 392$. Значит, предложенная субсидия не поможет.

в) Ставка субсидии, необходимая для сохранения первоначального равновесия, может быть найдена из условия: $Q^s_2(P_0) = Q_0$, или
$20(10 + s) = 500$, откуда $s = 15$. Значит, понадобятся значительно большие средства, чем предполагало правительство. Сумма затрат бюджета на субсидирование будет равна $S = 15\cdot 500 = 7500$.

а) Рассмотрим монополиста, который думает, что он является совершенным конкурентом. Найдём его функцию предложения. Такой монополист будет решать задачу:
$$
\pi(q)=pq-\dfrac{q^2}{4}\to \underset{q\ge 0}{\max}
$$
Графиком функции $\pi(q)$ является парабола с ветвями вниз, вершина находится в точке $q=2p$. Таким образом, $q_s(p)=2p$ — это предложение фирмы (воспринимающей цену как заданную), которое будет являться одновременно и рыночным предложением, так как на рынке присутствует одна фирма. Функция предложения в условиях конкуренции имеет вид $q_s(p)=2p$, спрос равен $q_d(p)=30-p$. Приравняв спрос и предложение, получим $p_c=10$, $q_c=20$. Отметим, что из всех цен, при которых монополист не попадает под штраф, оптимальной может быть лишь конкурентная цена $p_c=10$. При этой цене монополист производит $q_c=20$ и получает прибыль $\pi=10\cdot 20-0,25\cdot 20^2=200-100=100$. Когда назначается цена выше конкурентной, прибыль монополиста и его задачу можно записать так:
$$\pi(p)=pq_d (p)-TC(q_d(p))-t(p-p_c )\to \underset{p\ge p_c}{\max}$$
\begin{multline*}
\pi(p)=p(30-p)-\dfrac{(30-p)^2}{4}-t(p-10)=30p-p^2-\dfrac{(900-60p+p^2)}{4}-tp+10t=\\=
30p-p^2-225+15p-\dfrac{p^2}{4}-tp+10t=(45-t)p-\dfrac{5}{4} p^2-225+10t\to \underset{p\ge 10}{\max}
\end{multline*}
Графиком функции $\pi(p)$ является парабола с ветвями вниз, ее вершина расположена в точке $$p=18-\dfrac25t.$$
При некоторых $t$ монополист будет работать на неэластичном участке спроса, ничего удивительного нет. Область определения $p\ge p_c$, поэтому найденная оптимальная цена должна быть не ниже конкурентной:
$$p=18-\dfrac25t\ge p_c=10 \Longleftrightarrow 18-\dfrac25t\ge10 \Longleftrightarrow \dfrac25t\le18-10=8 \Longleftrightarrow t\le 8\cdot\dfrac52=20$$
Таким образом, найденная оптимальная цена будет назначаться только когда $t\le20$, а когда $t\ge20$, будет назначаться конкурентная цена $p_c$. Чтобы монополист выбрал такие же цену/количество, какие сложились бы в условиях конкуренции, нужно установить любое $t\ge20$.

б) Превышение монопольной цены над конкурентной будет равно
$$p-p_c=18-\dfrac25 t-10=8-\dfrac25 t$$
Собранная сумма штрафа составит
$$T(t)=t(p-p_c)=t\left(8-\dfrac25 t\right)=8t-\dfrac25t^2\to \underset{t\ge 0}{\max}$$
Графиком функции $T(t)$ является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный штраф находится в вершине параболы и равен $t=10$.

а) (10 баллов) Найдем рыночную функцию предложения труда. При зарплате ниже 5 не готов работать никто, при зарплате от 5 до 10 — только мигранты. При зарплате больше 10 объем предложения труда равен $12+(w-10)=w+2$. Обратная функция рыночного предложения труда имеет вид
$$w_s(L)=
\begin{cases}
5, & 0\lt L\leqslant 12;\\
L-2, & L \gt 12.
\end{cases}$$
Таким образом, функция прибыли имеет вид
$$\pi(L)=(20-w_s(L))L=
\begin{cases}
15L, & 0\lt L\leqslant 12;\\
22L-L^2, & L>12.
\end{cases}$$
Очевидно, что при $L\leq 12$ функция прибыли возрастает. Вершиной параболы $22L-L^2$ (ветви направлены вниз) является $L=11$. Получаем, что эта функция убывает при $L\gt11$, а значит, и при всех $L \gt 12$. Таким образом, функция прибыли возрастает при $L\leqslant 12$ и убывает при $L\gt12$.

Следует обратить внимание, что функция прибыли терпит разрыв при $L=12$, поэтому из того, что функция прибыли возрастает при $L\leqslant 12$ и убывает при $L>12$, еще не следует, что оптимальным является $L=12$. Однако легко увидеть (и это очевидно из экономических соображений), что значение функции прибыли при переходе через $L=12$ "прыгает" вниз, а не вверх, и потому точка максимума существует и равна 12.

Следовательно, оптимальным является $L=12$, фирма наймет только мигрантов и будет платить им зарплату $w=5$.

(б) (6 баллов) Обозначим количество нанятых местных работников за $L_1$, а мигрантов за $L_2$. Фирма максимизирует прибыль $(20-5)L_2+(20-L_1-10)L_1$ при условии $L_2\leq 12$. Эта функция равна сумме двух слагаемых, каждое из которых зависит от разных независимых переменных, и поэтому слагаемые можно максимизировать по отдельности. Первая часть представляет собой возрастающую линейную функцию, вторая — квадратичная функция, график которой представлен параболой, ветви которой направлены вниз. Отсюда получаем, что $L_1=5$, $L_2=12$. Зарплата местных работников будет равна $L_1+10=15$, а мигрантов — 5.

(в) (4 балла) Положение мигрантов не изменится, поскольку их заработная плата и количество нанятых не меняется. Местным работникам станет строго лучше, так как, в отличие от предыдущего пункта, местные работники оказываются нанятыми и четверо из них получают б\textit{о}льшую заработную плату, чем та минимальная зарплата, за которую они готовы были работать. Прибыль фирмы тоже строго выросла в пункте б) по сравнению с пунктом а): она была равна $(20-5)\cdot 12$, а стала равна $(20-5)\cdot 12+ (20-5-10)\cdot 5$. Таким образом, в данном случае возможность дискриминировать разных работников по зарплате приводит к тому, что никому не становится хуже, а кому-то (местным работникам и фирме) становится строго лучше.

Выбор вкладчиком банка, как правило, основывается на нескольких критериях, главными из которых являются установленные банком ставки по депозитам и степень надежности банка. Поскольку Агентство по страхованию вкладов (АСВ) гарантирует возврат вкладов в размере до 1,4 миллиона рублей в случае, если банк не сможет отвечать по своим обязательствам, многие некрупные вкладчики игнорируют критерий надежности и выбирают банки с самым высоким уровнем ставок по депозитам. Более высокий уровень ставок может свидетельствовать либо о том, что у банка уже есть проблемы и ему нужно срочно привлечь ликвидность, либо о том, что банк ведет рискованную инвестиционную политику. Банки с рискованными инвестиционными стратегиями могут позволить себе больший уровень выплат процентов в случае, если стратегия оказывается успешной. Однако для рискованных стратегий выше вероятность реализации неудачных событий, которые чреваты нарушением финансовой стабильности банка.

Устойчивость банковской системы определяется способностью банков исполнять свои обязательства под воздействием различных негативных шоков. Колебания курсов валют, важные политические события, отзывы лицензий у банков могут формировать пессимистичные ожидания вкладчиков относительно сохранности депозитов. В случае, если достаточно большое число вкладчиков одновременно решит досрочно забрать свои средства из банка, банку не хватит ликвидности для исполнения этих требований. Это может повлечь отзыв лицензии банка. Банки, использующие рискованные стратегии инвестирования, сталкиваются с большей вероятностью негативных шоков.

Возможный отказ со стороны АСВ от полной компенсации вкладов или отказ от страхования процентов приведет к тому, что вкладчики при выборе банка начнут принимать во внимание его надежность. Тогда большее число вкладов будет сделано в устойчивые банки, консервативно распоряжающиеся средствами вкладчиков, что положительным образом скажется на устойчивости банковской системы в целом.

Дифференциация банковских взносов в АСВ в зависимости от уровня процентных ставок по депозитам делает рискованные стратегии менее прибыльными. Меньшее число банков будут выбирать такие стратегии, что повысит устойчивость банковской системы.

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

а) Допустим, Даня назначил цену $p$. Найдем оптимальное действие Аристарха. Если он будет торговаться, его полезность будет равна $v-(p-x)-x^2/p$. Относительно $x$ эта функция квадратичная, и ее графиком является парабола с ветвями вниз. Оптимальное значение $x$ находится в вершине параболы: $x^\star=p/2$. При этом максимальная полезность Аристарха равна $v-(p-p/2)-p/4=v-3p/4$. Она неотрицательна при $p\leqslant 4v/3$.

Таким образом, при $p\leqslant 4v/3$ Аристарх будет торговаться и добиваться скидки $p/2$, а при $p>4v/3$ откажется от покупки товара. В первом случае полезность Дани будет равна $p-p/2=p/2$ (возрастающая функция), а во втором — нулю. Таким образом, оптимальной для Дани является наибольшая цена $p$, при которой Аристарх не откажется сразу же, то есть $p=4v/3$. При этом Аристарх добьется скидки $x=2v/3$.

б) В этом случае оптимальное поведение Аристарха не меняется, и поэтому полезность Дани при назначении цены $p\leqslant 4v/3$ будет равна $$p-x-\alpha x=p-p/2-\alpha p/2=p(1-\alpha)/2.$$ Таким образом, Даня будет пытаться продать товар при $\alpha\leqslant 1$.

Найдем совокупное предложение. «Фирма», которой является экономика, максимизирует прибыль — функцию $\pi(L)=P\cdot 16\sqrt{L}-wL$. Взяв производную, получаем \[\pi'= \frac{8P}{\sqrt{L}} -w.\] Если приравнять производную к нулю, получим \[\qquad L^\star= \frac{64P^2}{w^2},\] уравнение спроса на труд. Можно убедиться, что при $L=L^\star$ производная меняет знак с положительного на отрицательный, то есть мы имеем максимум.

$\textbf{Примечание.}$ Возможны и другие способы нахождения критической точки и проверки на максимум. Так, можно заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз относительно $\sqrt{L}$, воспользоваться условием $MRP_L=w$, а также найти знак второй производной и убедиться, что он отрицательный.

Подставляя спрос на труд в производственную функцию, получаем уравнение AS: \[Y=128\frac{P}{w}.\]

Воспользовавшись уравнением количественной теории денег с учетом $V=1$, получим кривую совокупного спроса: \[Y=\frac{M}{P}.\]

Найдем равновесие на товарном рынке, приравняв AD и AS: \[128\frac{P}{w} = \frac{M}{P},\] откуда равновесный уровень цен \[P=\frac{\sqrt{w\cdot M}}{8\sqrt{2}}.\]

Из условия следует, что после вмешательства $w=2\cdot(1+m)^\alpha$, а $M=100+100m$. С учетом этого можно уточнить целевую функцию государства:
\[
\frac{\Delta M}{P_1}=\frac{100m}{\sqrt{w\cdot M}/(8\sqrt{2})}= \frac{100m\cdot 8\sqrt{2}}{\sqrt{2\cdot(1+m)^\alpha\cdot (100+100m)}}=\frac{80m}{(1+m)^{(\alpha+1)/2}}.
\]
Производная этого выражения по $m$ равна
\[
\left(\frac{\Delta M}{P_1}\right)'=\frac{80\cdot (1+m)^{(\alpha+1)/2} - \frac{\alpha+1}{2}(1+m)^{(\alpha-1)/2} \cdot 80m }{(1+m)^{\alpha+1}}.
\]
Знаменатель этой дроби положительный, так что он не будет влиять на знак производной, то же можно сказать и про множитель 80 в числителе. После упрощения получаем, что производная равна нулю при
\[
(1+m)^{(\alpha-1)/2} \left(1+\frac{1-\alpha}{2}m \right)=0.
\]
Первый множитель всюду положителен, так что он не будут влиять на знак производной. Поэтому производная равна нулю в точке \[m^\star = \frac{2}{\alpha-1},\] в которой она меняет знак с положительного на отрицательный (в силу $\alpha>1$). Таким образом, мы имеем максимум.

Видно, что оптимальное для государства увеличение денежной массы убывает по $\alpha$. Почему это происходит? Чем больше сила профсоюза, тем сильнее растет номинальная зарплата, а значит, сильнее растут издержки фирм и сокращается совокупное предложение при том же уровне $m$. А значит, чем больше $\alpha$, тем сильнее при увеличении денежной массы будут расти цены. Учитывая этот эффект, государству не следует сильно повышать денежную массу, если $\alpha$ велико, поскольку оно максимизирует эмиссию в реальном выражении $\Delta M/P_1$.

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

Приведем возможные причины разницы в процентах по "очным " и онлайн-вкладам.

1. «Снижение издержек». Отсутствие необходимости физического проведения операций, связанных с открытием онлайн-вклада, снижает издержки, связанные с функциональной деятельностью банка по открытию и обеспечению таких вкладов. Фактически, банки предлагают две разные услуги (обычный вклад и онлайн-вклад), осуществление которых связано с различными предельными издержками. Цены на такие услуги различаются.
2. «Ценовая дискриминация». Поскольку условия вкладов, открытых лично или через онлайн-сервис, одинаковы за исключением цены предоставляемой услуги, можно считать, что банк, начисляя разный процент на депозит, осуществляет ценовую дискриминацию. Тем самым он привлекает новых клиентов, которые не готовы нести издержки, связанные с открытием вклада при личном присутствии в отделении банка, и не готовы оформить даже онлайн-вклад по "очному " проценту.
3. Последний аргумент является существенным. Открытие онлайн-вкладов значительно снижает издержки для той группы людей, у которых высоки альтернативные издержки, связанные с использованием свободного времени. Для тех людей, которые ценят удобство открытия онлайн-вкладов, нет смысла повышать процент по вкладу, они согласились бы и на меньший, по сравнению с "очным ", процент по депозиту, что, безусловно, было бы выгодно банку. Однако банк повышает процент, а не снижает его, что преследует своей целью привлечь именно новых клиентов, тех, кто не готов класть деньги на депозит дистанционно даже по "очному " проценту. Поскольку повышение процента привлекает всех клиентов банка, которые готовы пользоваться интернет-сервисом, а не только тех, у кого высоки альтернативные издержки использования свободного времени, и поскольку у банка нет возможности идентифицировать клиентов и предлагать им разные проценты по вкладам, разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.
4. «Плата за риск». Возможность осуществлять онлайн-вклады появилась в России относительно недавно. Большое количество людей относится с недоверием к подобному вложению средств. Чтобы стимулировать их принять решение в пользу онлайн-вкладов (что, в свою очередь, может снижать операционные издержки банка) банки предлагают им более выгодные условия по депозитам. При отсутствии повышенной ставки такие клиенты отказались бы осуществлять онлайн-вклады. Таким образом, повышая процент по вкладу, банк оплачивает риск недоверчивых клиентов. По указанной в предыдущем пункте причине разница в процентах по "очному " вкладу и онлайн-вкладу не может быть значительной.

Представим издержки при использовании каждого из тарифов как функцию от $x$ и $y$:
$$ f_1(x,y) = 5x+3y ; \quad f_2(x,y) = 2x+7y; \quad f_3(x,y) = 8x+y .$$
Попарно сравним эти издержки:
$$ 1) \quad f_1(x,y) \leq f_2(x,y) \Leftrightarrow 5x+3y \leq 2x+7y \Leftrightarrow 3x-4y \leq 0. $$
$$ 2) \quad f_1(x,y) \leq f_3(x,y) \Leftrightarrow 5x+3y \leq 8x+y \Leftrightarrow 3x-2y \geq 0. $$
$$ 3) \quad f_2(x,y) \leq f_3(x,y) \Leftrightarrow 2x+7y \leq 8x+y \Leftrightarrow x-y \geq 0.$$
Таким образом, тариф "Обычный" не хуже двух других на множестве $$\left\{(x,y) \mid \frac{3x}{4} \leq y \leq \frac{3x}{2}, ~ 0\leq x,y\leq 1000\right\},$$
тариф "Новогодний" не хуже двух других на множестве $$\left\{(x,y) \mid y \leq \frac{3x}{4}, ~ 0\leq x,y\leq 1000\right\},$$ тариф "Рождественский" не хуже двух других на множестве $$\left\{(x,y) \mid y \geq \frac{3x}{2}, ~ 0\leq x,y\leq 1000\right\}.$$

На плоскости $(x,y)$ области оптимальности тарифов выглядят так, как показано на рисунке. В области I оптимальным является тариф "Рождественский", в области II оптимальным является тариф "Обычный", в области III оптимальным является тариф "Новогодний". На границе областей I и II самыми выгодными тарифами являются "Рождественский" и "Обычный", а на границе областей II и III самыми выгодными тарифами являются "Обычный" и "Новогодний".

a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает $2/(100+10+2)\approx 1{,}7$ % от всех жителей города, но среди опрошенных их будет $50/(300+150+50) = 10$ % (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

\[
5\cdot\frac{10000}{112000}+2\cdot\frac{100000}{112000}+10\cdot\frac{2000}{112000}\approx
2{,}41\text{ тыс. руб./мес.},
\]
а средние расходы по нашей выборке:
\[
5\cdot\frac{300}{500}+2\cdot\frac{150}{500}+10\cdot\frac{50}{500}=4{,}6\text{ тыс. руб./мес.}
\]
Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамких предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на $100/112\approx 0{,}89$, результат по Частному сектору умножить на $2/112\approx 0{,}02$ и результат по Центру умножить на $10/112\approx0{,}09$, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности),
чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

Сначала решим задачу монополиста на каждом из двух рынков без учета транспортных ограничений. На рынке космических кораблей "Маскилон" максимизирует функцию прибыли
$$
\pi_\text{к}=(100-q_\text{к})q_\text{к}-q_\text{к}^2-2q_\text{к}=-2q_\text{к}^2+98q_\text{к}
$$
Максимальное значение квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом достигается в точке $q_\text{к}^*=24{,}5$.

На рынке ракет-носителей "Маскилон" максимизирует функцию прибыли
$$
\pi_\text{р}=(40-q_\text{р})q_\text{р}-4q_\text{р}=-q_\text{р}^2+36q_\text{р}
$$
Максимальное значение этой квадратичной функции с отрицательным старшим коэффициентом достигается в точке $q_\text{р}^*=18$.

С учетом ограничения транспортных мощностей "Маскилону" нет смысла производить более 20 космических кораблей или более 10 ракет-носителей. Значит, оптимальный с учетом транспортных ограничений уровень выпуска на каждом из двух рынков будет лежать на участке возрастания прибыли на соответствующем рынке. Отсюда следует, что в оптимуме "Маскилон" полностью задействует свои транспортные мощности.

Пусть "Маскилон" производит $n$ ракет-носителей. Тогда, так как задействуются все транспортные мощности, он произведет $2(10-n)$ космических кораблей. При таком уровне выпуска товаров общая прибыль фирмы будет равна
$$
\pi=-n^2+36n-2(2(10-n))^2+98\cdot 2(10-n)=-9n^2+1160
$$
При неотрицательных $n$ функция прибыли убывает по $n$. Значит, "Маскилон" произведет 0 ракет-носителей и 20 космических кораблей.