1. Задача 3 заключительного этапа ВОШ — 2007

В темно-синем лесу, где трепещут осины, компания «Зайцы Ltd.» является монополистом на рынке трын-травы и имеет функцию издержек $TC(Q)=Q^{3}-10Q^{2}+50Q$ . Ежемесячно проводятся торги, каждый месяц функция спроса на трын-траву одинакова и задается уравнением $P=98-10Q^{d}$ . Дед Мазай, представляющий в лесу государство, собирается вмешаться в ценообразование. Он хочет добиться снижения цены до определенного уровня $P_0$, но, чтобы вмешательство не казалось резким, Мазай будет проводить свою политику в три этапа - каждый месяц, когда происходят торги Мазай вмешивается в рыночное ценообразование (на каждом этапе торговли функция спроса не меняется и соответствует первоначальной):

1) Установит потолок цены на уровне $P_{1}$, который выше $P_{0}$, но при котором «Зайцы Ltd.» будут производить столько же, сколько производили бы при $P_{0}$.
2) Снизит потолок до такого уровня $P_{2}$, при котором оптимальный выпуск «Зайцев Ltd.» максимален.
3) Наконец, снизит потолок до уровня $P_{0}$.

Когда Дед Мазай спросил «Зайцев Ltd.», выгодно ли им косить трын-траву при цене $P_{0}$ или лучше уйти с рынка, они ответили своей знаменитой фразой: «А нам всё равно!».

1. Какую прибыль получили бы «Зайцы Ltd.», если бы не было Деда Мазая?
2. Найдите цены, которые установятся на рынке после каждого этапа вмешательства. Какую прибыль будут получать «Зайцы Ltd.» при каждой из этих цен?
3. Прокомментируйте действия Деда Мазая с точки зрения общественного благосостояния.

2. Задача 1 заключительного этапа ВОШ — 2007

Спрос на товар X в регионе A задаётся функцией $Q_{A}(P)$, а в регионе B – функцией $Q_{B}(P)$, где $Q_{A}$ и $Q_{B}$ – количества товара (в штуках), а P – его цена. В регионе C спрос на этот товар изначально равен нулю. «Институт экономических исследований» страны решил изучить особенности предложения товара X в регионе C и с этой целью стал предъявлять спрос на товар X в количестве $Q_{C}(P)$ штук, определяя $Q_{C}$ таким образом, что $Q_{C}(P)=Q_{A}(P)*Q_{B}(P)$. В ходе эксперимента выяснилось, что товар X в регионе C производит единственная фирма, которая ранее экспортировала свою продукцию в регионы А и В. При возникновении спроса, внутри региона фирма стала продавать продукцию на региональном рынке по цене Po. Известно, что при цене Po эластичности спроса на товар X в регионах A и B равны, соответственно, (-0,3) и (-0,2). Определите, получает ли фирма, производящая товар в регионе С, максимальную прибыль. Если нет, то как ей следует изменить цену, чтобы максимизировать прибыль?
Решение

Сделать вывод о максимизации прибыли позволяет анализ эластичности спроса в стране С. Обозначим эту эластичность $EQ_{C}$. Используя то, что $Q_{C}(P)=Q_{A}(P)*Q_{B}(P)$, получаем:

$E_{Q_{C}}=E_{(Q_{A}*Q_{B})'_{P}}*\dfrac{P}{Q_{A}*Q_{B}}=\dfrac{(Q'_{A}*Q_{B}+Q_{A}*Q'_{B})P}{Q_{A}*Q_{B}}=\dfrac{Q'_{A}*P}{Q_{A}}+\dfrac{Q'_{B}*P}{Q_{B}}=E_{Q_{A}}+E_{Q_{B}}$
Эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей. Таким образом, эластичность спроса на товар X в стране C равна -0,3-0,2=-0,5. Монополист не может максимизировать прибыль, находясь на неэластичном участке кривой спроса, т.к. снизив выпуск (увеличив цену), он увеличит выручку и сократит издержки.
Ответ: чтобы максимизировать прибыль, нужно увеличить цену.

3. Задача 2 заключительного этапа ВОШ — 2007

Экономика страны Тригоноляндии, получившей независимость после обращения президента к нации в новогоднюю полночь с наступлением XXI века (т.е. 31 декабря 2000 года), развивается по кривой $Y(t)=sint+\dfrac{t}{2}$ , где t – количество лет, прошедших с момента получения независимости (сейчас $6 \lt t \lt 7$ ), а Y – реальный ВВП, млрд. долл. Специалисты Министерства экономического развития Тригоноляндии установили, что динамика уровня цен в стране описывается функцией $P=cos(t+1)+\dfrac{t+1}{2}$.

1. В каком году впервые в истории независимой Тригоноляндии экономический подъем сменился спадом?
2. В каком году закончится (закончилась) первая рецессия? Чем она может (могла) быть вызвана?

Решение

1. Определим экстремумы функции реального ВВП $Y(t)=sint+\dfrac{t}{2}$.
$Y'(t)=cos(t)+0,5=0

Следовательно, максимумы (точки пиков) соответствуют значениям $t=\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$ ,
а минимумы (точки дна) соответствуют значениям $ t=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n$

Таким образом, первый пик будет при n=0, $t=\dfrac{2\pi}{3}=2,0944$ , то есть в 2003 году (примерно, в феврале). С этого момента начнется первый спад.
2. Первое «дно» будет при n=1, $t=-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi=4,189$ , то есть в 2005 году (примерно, в марте). С этого момента закончилась первая рецессия. Поскольку уменьшение реального ВВП сопровождалось (в соответствии с прогнозами МЭРТ) инфляцией (функция P(t) на этом участке возрастает, в чем можно убедиться, взяв производную и подставив в нее значение t = 4,189), можно предположить, что рецессия была вызвана шоком совокупного предложения.

4. Задача 4 заключительного этапа ВОШ — 2007

На рынке три группы производителей, и каждая характеризуется отличной от других функцией предложения: первый продавец готов продавать начиная с цены 0 рублей, второй – готов продавать не ниже $P_{1}$, а третий – не ниже $P_{2}$, причем каждая функция непрерывная и не имеет «изломов». Может ли график эластичности рыночного предложения по цене иметь следующий вид (см. рис.) при условии выполнения закона предложения?
Решение

При таком графике эластичности, функция рыночного предложения выглядит следующим образом:
$$Q_{S}=
\begin{cases}
aP^{2}, & P\in[0;p_{1}];\\
bP, & P\in[p_{1};p_{2}]\\
c\sqrt{P}, & P\in[p_{2};+\infty).\\
\end{cases}
$$

Тогда предложение второй группы описывается функцией $Q_{S}^{2}=bP-aP^{2}$, но эта функция после некоторого P начинает убывать, что противоречит закону предложения. Аналогично для функции $Q_{S}^{3}=c\sqrt{P}-bP$. Следовательно, эти функции не могут описывать предложение, и первоначальный график тоже не может иметь вид, который дан в условии.