1-й тур: Задачи

1. Фактор Z

Фирма A является единственным потребителем фактора z. Известно, что цена единицы продукции, производимой фирмой А, равна 2, а производственная функция имеет вид $F(z)=12z-0.5z^2$ . Фирма B является единственным производителем фактора z, причем совокупные альтернативные издержки найма фактора в количестве z представимы функцией $TC(z)=z^2$. Информация о функциях $F(z)$ и $TC(z)$ известна всем агентам. Каждая фирма стремится максимизировать свою прибыль.
(a) Предположим, что фирма А знает функцию совокупных альтернативных издержкек найма фактора фирмы В. Предположим также, что фирма A выбирает цену единицы данного фактора, а затем фирма B, принимая эту цену как данную, решает, какое количество данного фактора она готова произвести и продать фирме A при этой цене. Найдите цену фактора, максимизирующую прибыль фирмы А, и количество фактора, которое при этой цене продаст фирма B.
(б) Предположим теперь, что фирма В знает производственную функцию фирмы А и выбирает цену фактора, а фирма A, принимая эту цену как данную, решает, сколько фактора купить при этой цене. Найдите цену, максимизирующую прибыль фирмы B и количество фактора, которе фирма A приобретет по этой цене.
(в) Если фирмы A и B объединились, то какое количество фактора будет производить интегрированная фирма? Как соотносится прибыль новой компании с суммарной прибылью фирм в случаях (а) и (б)? Будет ли полученное соотношение прибыли справедливо для любой возрастающей функции альтернативных издержек?
(г) Пусть взаимодействие фирмы А с поставщиком фактора производства соответствует ситуации, представленной в пункте (а). Однако правительство хочет, чтобы уровень занятости фактора соответствовал значению, выбираемому интегрированной фирмой, рассмотренной в пункте (в). Можно ли решить поставленную задачу за счет использования потоварного налога или потоварной субсидии с некой фиксированной ставкой. Найдите соответствующую ставку налога/субсидии и укажите, кто должен платить налог (получать субсидию) или покажите, что такого налога (субсидии) не существует.
Решение

(a) Фирма А выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы В, т.е. количество, которое фирма В захочет продать при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией предложения. Найдем функцию предложения фирмы В, решив ее задачу максимизации прибыли:

$$\max_{z \geq 0} [wz- TC(z)]=\max_{z \geq 0} [wz-z^2]$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $z=w/2$.
Итак, функция предложения фирмы В имеет вид $z^{s}(w)=w/2$.

Тогда фирма А будет выбирать цену, которая приносит ей максимальную прибыль с учетом данной функции предложения поставщика фактора:

$$\max_{w\geq 0} (pF(z^s(w))-wz^s(w))=\max_{w\geq 0} (12w-0.25w^2-0.5w^2)=\max_{w\geq 0} (12w-0.75w^2)$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $w=12/1.5=8$.
Подставляя это значение в функцию предложения, находим $z^s(8)=8/2=4$.

(б) Фирма B выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы A, т.е. количество, которое фирма А захочет купить при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией спроса. Найдем функцию спроса фирмы А, решив ее задачу максимизации прибыли:
$$\max_{z\geq 0} pF(z)-wz$$
Заметим, что целевая функция представима вогнутой функцией (парабола с ветвями вниз), а потому условие первого порядка будет необходимым и достаточным. Выпишем условие первого порядка $24-2z=w$ или $z^d(w)=12-0.5w$. Заметим, что полученное условие справедливо при $w \leq 24$. Если $w > 24$, то величина спроса на фактор будет равна нулю.

Итак, выбирая цену фактора, фирма B будет решать следующую задачу
$$\max_{w\geq 0} [wz^d (w) - TC (z^d (w))]$$
Задача фирмы примет вид $\max_{w\geq 0} (w(12-0.5w)-(12-0.5w)^2)$.

Условие первого порядка: $12-w+12-0.5w=0$.
Преобразовав, находим $24=1.5w$ или $w=16$. В соответствии с функией спроса на фактор $z^d(16)=12-0.5\times 16=4$.
(в) Задача интегрированной фирмы примет вид:
$$\max_{z\geq 0} (pF(z)-TC(z))= \max_{z\geq 0} (24z-z^2-z^2)$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $z=24/4=6$.
В результате прибыль интегрированной фирмы составит $\pi ^c =(24z-2z^2)=6(24-12)=72$.
Суммарная прибыль двух фирм в случаях (а) и (б) будет одинакова, поскольку совпало равновесное количество фактора $\pi ^a=\pi ^b=(24-2z^2)=4(24-8)=64$, что меньше прибыли, полученной интегрированной фирмой.

Данный результат несложно обобщить.
Суммарная прибыль двух фирм: $(pF(z)-wz)+(wz-TC(z))=(pF(z)-TC(z))$.
Поскольку интегрированная фирма выбирает уровень занятости фактора, максимизируя это выражение, то она всегда может выбрать уровень занятости фактора, соответствующий выбору в случаях (а) или (б), то есть прибыль интегрированной фирмы всегда не меньше, чем прибыль в случаях (а) и (б).
Более того, интегрированная фирма может (в некоторых случаях) выбрать другой уровень занятости, который приносит более высокую прибыль по сравнению со случаями (а) и (б).
(г) Поскольку желаемый уровень занятости превышает фактический (выбираемый в пункте (а)), то для увеличения уровня занятости будем субсидировать использование фактора производства, выплачивая потребителю этого фактора субсидию со ставкой за каждую единицу фактора . В итоге задача фирмы А примет вид
$$\max_{w\geq 0} (pF(z^s (w))-(w-s)z^s(w))=\max_{w\geq 0} (12w-0.25 w^2-0.5w(w-s))=\max_{w\geq 0} ((12+0.5s)w-0.75w^2)$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $w=(12+0.5s)/1.5=8+s/3$.
Подставляя в функцию предложения, находим $z^s(8+s/3)=4+s/6=6$ при $s=12$.
Результат об инвариантности получателя субсидии - 2 балла.
Заметим, что не имеет значения, будет ли данную субсидию получать покупатель или поставщик фактора производства. Обоснование.

2. Двухпериодный инноватор

Рассмотрите совершенно конкурентную отрасль, где все фирмы максимизируют прибыль и обладают одинаковыми технологиями производства. Известно, что средние издержки каждой фирмы не зависят от объема производимой продукции и равны 16. Функция спроса на продукцию отрасли имеет вид:

$$Q^d(p)=\begin{cases}
20-p, p \leq 20 \\
0, p > 20
\end{cases}$$

В этой экономике временной горизонт жизни каждой фирмы составляет два периода, а ставка процента равна 20%. В настоящее время в отрасли работают 50 фирм.
Одна из действующих фирм может в первом периоде инвестировать сумму $F$ в научно-исследоватетельские разработки, что позволит снизить издержки производства каждой единицы продукции вдвое. Считайте, что новая технология появляется в том же периоде, когда были осуществлены инвестиции. Однако в экономике не развита система защиты авторских прав, и потому во втором периоде все фирмы получат доступ к новой технологии, причем абсолютно бесплатно.
(а) Будет ли фирма в данных условиях инвестировать в новую технологию при $F=62$?
(б) Как бы изменился ваш ответ на пункт (а), если бы фирма-инноватор получила патент на свое изобретение и оставалась бы единственным пользователем данной технологии и во втором периоде? Считайте, что получение патента не сопряжено ни с какими дополнительными издержками.
(в) Пусть в отрасли вместо совершенной конкуренции имеет место сговор, т.е. все пятьдесят фирм выбирают выпуск сообща, руководствуясь критерием максимизации их совокупной прибыли, причем подобное поведение фирм имеет место, как до появления инновационной технологии, так и после ее появления. Выгодно ли в этих условиях фирмам принять совместное решение об инвестициях в создание новой технологии?

Решение

(a) Анализ равновесия в отрасли до внедрения инноваций - 4 балла.
До внедрения новой технологии все фирмы были в одинаковом положении и продавали продукцию по цене, равной предельным издержкам производства. При этом прибыль каждой фирмы равнялась нулю, так как предельные издержки были равны средним издержкам, т.е. рыночная цена в точности равнялась средним издержкам.

Поиск равновесия после внедрения инноваций:

• в первом периоде - 3 балла,
Если фирма инвестирует в инновационную технологию, то она сможет единолично обслуживать весь рыночный спрос, назначив монопольную цену, которая окажется ниже средних издержек производства остальных конкурентов.
Действительно, монопольная цена может быть получена из решения задачи

$$\underset{p}{max}(p-8)(20-p)=\underset{p}{max}(p-8)(20-p)=\underset{p}{max}(-p^{2}+28p-160)$$

Итак, $p^{M}=14<16.$ Объем продаж составит $Q^{M}=20-14=6$
Снижение издержек позволит увеличить прибыль в первом периоде на
$\Delta \pi=(14-8)\times 6 - F-0=36-62=-26$

• во втором периоде – 2 балла.
При этом во втором периоде прибыль вновь будет равна нулю, так как все фирмы смогут использовать более совершенную технологию.

Итоговый вывод – 1 балл.
Таким образом, однопериодный выигрыш не покрывает расходов на инновации, а потому при данных условиях нет смысла инвестировать в исследования и разработки.

(б) Анализ изменения прибыли после внедрения инноваций - 3 балла.
Если фирма получит патент, то ее приведенная величина прибыли изменится на

$$\Delta \pi_{1} + \dfrac{\Delta\pi_{2}}{1+0.2}=-26+\dfrac{36}{1.2}=4>0.$$

Итоговый вывод – 1 балл.

В этом случае фирме стоит инвестировать.

(в) Анализ равновесия в отрасли до внедрения инноваций - 2 балла.
Если в отрасли имел место сговор, то до получения патента прибыль в каждом периоде составляла

$$\underset{p}{max}(p-16)(20-p)=\underset{p}{max}(-p^{2}+36p-320),\text{ откуда } p=18 \text{ и } \pi_{i}=(18-16)(20-18)=4.$$

Поиск равновесия после внедрения инновации – 3 балла:
В результате внедрения инновационной технологии прирост прибыли составит

$$\Delta \pi_{1} + \dfrac{\Delta\pi_{2}}{1+0.2}=(36-62-4)+\dfrac{(36-4)}{1.2}=\dfrac{32-30\times1.2}{1.2}=-1/3<0.$$

Итоговый вывод – 1 балл.
Таким образом, в случае сговора инвестиции в инновации оказываются убыточны.

3. Страна ТУТ

В стране ТУТ население умеет производить лишь два товара, X и Y. При этом единственным фактором производства является труд. Запас труда (измеряемый в человеко-часах) экономики равен 75. Технология производства товара X задается функцией $Q_x=(L_x/10)^2$, где $L_x$ — количество человеко-часов, используемых в производстве товара X, а $Q_x$ — объем выпуска товара X. Технология производства товара Y задается функцией $Q_y=L_y$.
(а) Найдите уравнение, задающее кривую производственных возможностей (КПВ) страны ТУТ, и изобразите КПВ графически.
(б) Если население страны ТУТ предпочитает потреблять товары X и Y в пропорции один к одному и при это стремится максимизировать потребление подобных наборов, то какое количество каждого товара будет произведено в стране, если она не поддерживает торговые связи с другими государствами. Проиллюстрируйте решение на графике.
(в) Соседняя страна ТАМ обладает другой технологией производства товара X вида $Q_x=2L_x$ и готова поделиться своим ноу-хау со страной ТУТ при условии, что работники страны ТУТ отработают 36 человеко-часов на предприятиях страны ТАМ. Найдите и изобразите КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей. Как изменится потребление страны ТУТ?

Решение

(a) Уравнение КПВ – 3 балла.

Уравнение КПВ. Поскольку $L_{X}=10\sqrt{Q_{X}}$ и $L_{Y}=Q_{Y}$, а совокупный запас труда в экономике равен 75, то $10\sqrt{Q_{X}}+Q_{Y}=75.$ Таким образом, $Q_{Y}=75-10\sqrt{Q_{X}}.$ Заметим, что полученная функция является убывающей и строго выпуклой.
График – 3 балла.


б) Расчет объемов потребления – 3 балла.

Если население стремится максимизировать количество наборов, включающих по единице каждого товара, то $Q_{X}=Q_{Y}$ и, подставляя в уравнение КПВ, находим $Q_{Y}=75-10\sqrt{Q_{Y}}$. Решим полученное уравнение, обозначив $\sqrt{Q_{Y}=a},$\\
$a^{2}+10a-75=0$, откуда $a=-5+\sqrt{25+75}=5$. Таким образом, $Q_{X}=Q_{Y}=25.$

Иллюстрация на графике – 1 балл.
(в) КПВ страны ТУТ с учетом новых возможностей – 6 баллов.

Поскольку стране ТУТ доступна как ее собственная технология производства, так и альтернативная, то ее множество производственных возможностей будет объединением множеств, полученных при использовании своей и чужой технологии.
При использовании технологии страны ТАМ имеем $0.5Q_{X}+Q_{Y}=75-36=39,$ откуда $Q_{Y}=39-0.5Q_{X}.$\\
Итак, КПВ описывается условием $$ Q_{Y}=max\{39-0.5Q_{X}, 75-10\sqrt{Q_{X}}\}.$$
при $b=(10\pm\sqrt{100-72})=10\pm\sqrt{28}.$ Поскольку $75-10b<0$ при $b>7.5$, то нас интересует лишь $10-\sqrt{28}.$ Итак,
$$
Q_{Y}=max\{39-0.5Q_{X}, 75-10\sqrt{Q_{X}}\}=
\begin{cases}
75-10\sqrt{Q_{X}},&\text{ если } Q_{X}\le (10-\sqrt{28})^{2} \\
39-0.5Q_{X},&\text{ если }(10-\sqrt{28})^{2} \end{cases}\\
$$

(синяя кривая на графике)

График – 3 балла.

Заметим, что $(10-\sqrt{28})^{2}<25<26.$\\
Потребление страны ТУТ – 1 балл.

Находим новую точку потребления как пересечение новой КПВ с прямой $Q_{Y}=Q_{X}.$\\
Итак, $Q_{X}=39-0.5Q_{X},$ откуда $Q_{Y}=Q_{X}=39/1.5=26,$ т.е. потребление каждого товара возрастает на единицу.\\

4. Налоги в стране OZ

Правительство страны OZ отчаялось бороться с уклонением от налогов и приняло революционное решение: все налоги отменяются, а госрасходы будут финансироваться исключительно за счет денежной эмиссии. Известно, что функция спроса на деньги (в реальном выражении) в данной экономике имеет вид:

$$L(\pi)=\begin{cases}
5-\pi , \pi \leq 5 \\
0, \pi > 5
\end{cases}$$
где $\pi$ — темп инфляции, $L$ — деньги в реальном выражении. Считайте, что в соответствии с количественной теорией денег темп инфляции равен темпу роста денежной массы.
(а) Объясните, почему спрос на деньги может быть описан как убывающая функция темпа инфляции?
(б) При каком темпе инфляции государственные расходы (в реальном выражении) достигнут максимального значения?

Решение

(а) Объяснение – 5 баллов.

В условиях высокой инфляции деньги теряют свою покупательную способность, а потому индивиды предпочтут переключиться на активы, доходность по которым индексируется в соответствии с темпом инфляции. Фактически темп инфляции является альтернативной стоимостью денег. Рост альтернативной стоимости товара приводит к падению величины спроса.

(б) Постановка задачи – 6 баллов.

Поскольку госрасходы финансируются исключительно за счет прироста денежной массы, то $pG=\Delta M$. Поделив обе части равенства на с учетом того, что
$\pi=\dfrac{\Delta M}{M},$ находим $\dfrac{G}{M/p}=\dfrac{\Delta M}{M}=\pi.$\\
В равновесии спрос на деньги должен быть равен предложению денег, то есть $M/p=L(\pi)$:$\\
$$G=\pi\times L(\pi)=5\pi-\pi^{2}.$$

Решение задачи – 1 балл.

Соответственно, госрасходы достигнут максимального значения при $\pi=2.5$.

5. Дискриминирующая авиакомпания

Максимизирующая прибыль авиакомпания обладает монопольным правом на авиаперевозки в определенном направлении и имеет дело с потенциальными потребителями двух типов: бизнесменами и туристами. В рамках маркетингового исследования авиакомпания установила, что бизнесменов среди ее потенциальных клиентов столько же, сколько и туристов и что бизнесмены будут пользоваться ее услугами, если билет стоит не более $\$700$, а туристы – если билет стоит не более $\$300$. Предположим, что издержки перевозки одного пассажира не зависят от количества пассажиров и равны $\$100$.
(а) Пусть авиакомпания вынуждена назначать единую цену за авиабилет (будучи, например, неспособной различать бизнесменов и туристов). Какую цену за авиабилет установит тогда авиакомпания?
(б) Служба маркетинга авиакомпании предложила в дополнении к обычным билетам (с открытой датой вылета) продавать также билеты с фиксированной датой вылета. Билеты с фиксированной датой вылета, по вполне понятным причинам, и бизнесмены, и туристы оценивают ниже, чем билеты с открытой датой. Так, бизнесмены готовы покупать билет с фиксированной датой, если он стоит не выше, чем $\$250$, а туристы – если он стоит не выше чем $\$200$. При этом издержки перевозки одного пассажира для авиакомпании равны $\$100$ вне зависимости от типа билета. Служба маркетинга тем не менее предлагает продавать оба типа билетов по разным ценам, но каждый пассажир будет выбирать тот тип билета, который для него более выгоден. Пусть $p_A$ - цена билета с открытой датой вылета, $p_B$ - цена билета с фиксированной датой вылета. Найдите $p_A$ и $p_A$, при которых прибыль авиакомпании будет максимальной. Согласится ли менеджмент авиакомпании принять предложение маркетинговой службы?
(в) Выиграют ли потенциальные пассажиры от запрета дискриминации (запрета продавать билеты с фиксированной и открытой датой вылета по разным ценам)?
(г) Предположим, что потенциальными пользователями услуг авиакомпания являются n категорий пассажиров равной численности, причем каждый пассажир категории $i \ (i=1,2,...,n)$ готов заплатить за авиабилет (с открытой датой) не более чем $300+20(i-1)$. Каждый пассажир знает свою категорию (т.е готовность заплатить), а авиакомпания обладает лишь совокупной информацией о категориях клиентов и численности каждой категории, но не умеет различать клиентов из разных категорий. Считайте, что авиакомпания продает только билеты с открытой датой. Какую цену за билет установит авиакомпания?
Решение

(a) Поиск равновесной цены – 5 баллов.
Авиакомпании невыгодно назначать любую цену выше $\$700$, так как в этом случае никто не будет пользоваться ее услугами.
При цене до $\$300$ ее услугами будут пользоваться все потенциальные клиенты, т.е. при любой цене из этого диапазона издержки одинаковы, а выручка при неизменном объеме продаж растет с увеличением цены. Таким образом, следует рассмотреть максимальную цену из диапазона. При цене в $\$300$ авиакомпания получит в среднем $\$200$ прибыли $(300-100=200)$ с каждого потенциального пассажира. Аналогично при цене свыше $\$300$ и до $\$700$ услугами компании будут пользоваться только бизнесмены, и прибыль растет с повышением цены, т.е. следует рассматривать лишь цену в $\$700$. При такой цене компания получит в среднем $\$300$ прибыли с каждого потенциального пассажира: $(700-100)/2=300$. Поэтому авиакомпания установит цену в $\$700$ и будет перевозить только бизнесменов.

(б) Расчет цен авиабилетов и сравнительный анализ прибыли авиакомпании при продаже только билетов с открытой датой и при продаже как билетов с открытой датой, так и билетов с фиксированной датой – 7 баллов.

Прибыль авиакомпании может возрасти только, если она будет продавать и билеты с фиксированной датой.
Однако если билеты с открытой датой будут продаваться по цене в $\$700$, а билеты с фиксированной датой по цене в $\$200$, то все пассажиры будут покупать только дешевые билеты. Туристы откажутся от покупки билетов с открытой датой, так как они слишком дороги. Бизнесмены предпочтут билеты с фиксированной датой, так как при этом получат большую чистую выгоду: от покупки билетов с открытой датой бизнесмены ничего не выигрывают, так как покупают их по цене, соответствующей их оценке, а при покупке билетов с фиксированной датой их чистая выгода составляет $ 250-200=50$. В результате средняя прибыль авиакомпании упадет с $\$300$ до $\$100 . $

Если сделать билет с открытой датой дешевле, по крайней мере на $\$50$, то бизнесмены будут покупать билеты с открытой датой. Авиакомпания увеличит прибыль с одного проданного билета в среднем на $\$25 =(100-50)/2.$

(в) Анализ последствий запрета для бизнесменов (1 балл), для туристов (1 балл).
Запрет дискриминации не отразится на благосостоянии туристов, так как при дискриминации они покупают билеты по цене, равной их максимальной оценке, а потому имеют нулевую чистую выгоду. Однако запрет дискриминации приведет к ухудшению благосостояния бизнесметов, которые вынуждены будут платить за билет на $\$50$ больше.

(г) Постановка задачи – 4 балла.

Как показано при анализе пункта (а) в каждом диапазоне цен максимизация прибыли достигается при самой высокой цене.
При цене билета, равной $p_{i}=300+20(i-1)$, билет будут приобретать только клиенты категорий $i\le j \le n$ . При этом прибыль авиакомпании составит
$$\pi (i)= (200+20(i-1))(n-i+1)=20(9+i)(n-i+1)=20(9(n+1)+i(n-8)-i^{2}).$$

Решения задачи без учета проблемы целочисленности – 1 балл.

Эта функция достигает максимума при $i= \dfrac{n-8}{2}$ , возрастает при $i<\dfrac{n-8}{2}$ и убывает при $i>\dfrac{n-8}{2}$ .
Поскольку $i\ge 1$ , то при $n \le 10$ оптимум достигается при $i=1$, откуда $p=300$.

Анализ проблемы целочисленности и итоговый ответ – 4 балла.

При $n>10$ , если n - четно, то оптимальная цена составит
$$p=300+20(i-1)=300+10((n-8)-2)=200+10n.$$

Если n - нечетно, то нужно сравнить два варианта: $i_{1}=0.5(n+1)-4=0.5n-3.5$ и $i_{2}=0.5(n-1)-4=0.5n-4.5.$ Соответственно цены составят $p_{1}=210+10n$ и $p_{2}=190+10n,$ а прибыль будет равна $\pi_{1}=(110+10n)(0.5n+4.5)=5(11+n)(n+9)$ и $\pi_{2}=(90+10n)(0.5n+5.5)=5(9+n)(n+11)=\pi_{1}$.

Таким образом, при $n>10 $ , если n - нечетно, максимум прибыли достигается при двух вариантах цен:
$p_{1}=210+10n$ и $p_{2}=190+10n.$

2-й тур: Задачи

1. Два товара, три потребителя

В экономике страны N два товара, X и Y, производятся лишь одной компанией. Эти товары приобретают лишь три потребителя (А, В и С), причем каждый из них желает приобрести не более единицы каждого их товаров. В таблице представлены денежные оценки единицы каждого товара для каждого участника.

Потребители Оценка единицы товара X
Оценка единицы товара Y
A 5 0
B 0 5
C 3 3

(а) Производитель товаров может выбрать одну из следующих схем:
(1) продажа каждого товара по отдельности,
(2) продажа товаров в наборе (оценка набора соответствует сумме оценок товаров, входящих в набор).
Найдите оптимальные цены для каждой схемы, если монополист стремится максимизировать свою выручку. Посоветуйте монополисту, какую из двух схем ему следует выбрать.
(б) Условия изменились и теперь монополисту разрешили использовать обе схемы одновременно, то есть он может продавать товары как в наборе, так и по отдельности. Какие цены следует установить монополисту, чтобы получить максимальную выручку?
(в) Сравните выручку монополиста, полученную в случае (б) с выручкой, полученной при реализации наилучшей схемы из пункта (а). Всегда ли для трех потребителей, из которых хотя бы один агент будет иметь оценки товаров, отличные от остальных, будет иметь место такое же соотношение выручки для пунктов (а) и (б), как и в данном примере?

Решение

(а) Поиск цен для первой схемы – 3 балла.
схема (1) Поскольку производитель стремится максимизировать выручку, то он будет назначать цену на каждый товар не ниже минимальной оценки товара, которая составляет в данном случае 3 для каждого товара. Итак, имеет смысл рассмотреть два варианта цены для каждого товара: $p_{i}=3$ и $p_{i}=5$ . В первом случае каждый товар купят только два потребителя и, соответственно, совокупная выручка от продажи обоих товаров составит 12. Во втором случае каждый товар купит лишь один из потребителей и выручка составит 10. Таким образом, выручка будет максимальной при $p_{X}=p_{Y}=3$ .
Поиск цен для второй схемы – 3 балла.
схема (2) Рассмотрим набор, состояший из единицы каждого товара. Потребители А и В готовы за такой набор заплатить не более 5 ден.единиц, а потребитель С – не более 6 ден.единиц.
Назначив цену, равную 5, монополист продаст три набора и получит выручку в 15 ден.единиц. Подняв цену, он заведомо сможет продать не более одного набора. При этом он не сможет выручить от его продажи более 6 ден. единиц.
Сравнение и выбор наилучшей схемы – 1 балл.
Таким образом, максимальная выручка соответствует цене набора, равной 5.
Сравнивая две схемы, предпочтение следует отдать последнему варианту, так как он позволяет увеличить выручку на 3 ден. единицы.
(б) Принцип формирования набора и установления цен для набора и для отдельных товаров и его реализаии – 6 баллов.
Имея возможности, использовать одновременно обе схемы, можно увеличить прибыль, продавая каждому потребителю в соответствии с его оценкой.
Для этого товары X и Y следует продавать по отдельности по цене в 5 ден.единиц. По такой цене товар X приобретет лишь агент А, а товар Y – лишь агент В. Кроме того, предложив набор, состоящий из единицы товара Х и единицы товара Y по цене в 6 ден единиц, монополист получит дополнительно 6 ден.единиц, поскольку этот набор приобретет агент С, но это предложение не заинтересует агентов А и В. Таким образом, совокупная выручка составит 16 ден.единиц.
(в) Сравнение выручки в пунктах (б) и (а) – 1 балл.
В рассмотренном примере возможность одновременного использования обеих схем в пункте (б) позволила увеличить выручку на одну ден.ед. по сравнению с наилучшей схемой из пункта (а).
Однако это не всегда так.
Контрпример – 6 баллов.
Пусть, к примеру, оценки потребителя С составляют по 2 ден.единиц для каждого товара.
Тогда в условиях пункта (а) максимальная выручка соответствует продаже товаров наборами по цене 4.ден.ед. При этом выручка составит 12 ден.единиц

В условиях пункта (б) та же политика приводит к максимальной выручке (введя в продажу товары по отдельности по цене в 4 мы можем достичь такой же выручки, продав один набор и по одной единице товара, но увеличить выручку не можем, так как никто из не будет покупать единицу товара по цене, превышающей цену комплекта, а удорожание комплекта лишь приведет к потере в выручке).

2. 100 фирм

Рассмотрите отрасль, в которой действуют 100 максимизирующих прыбыль фирм, производящих товар Х. Все фирмы обладают одинаковыми технологиями производства с функциями совокупных издержек $TC(q_x)=cq_x$, где $q_x$ - объем выпуска, $c > 0$. Спрос на продукцию отрасли задан функцией: $Q^d(p)=\begin{cases} A-p, p \leq A \\ 0, p > A \end{cases}$, где $A > 2c$.
(а) Сравните изменение рыночной цены, вызванное введением потоварного налога со ставкой $t$, где $t < c$, для следующих случаев:
(1) в отрасли имеет место совершенная конкуренция (при заданном количестве фирм),
(2) в отрасли имеет место сговор, т.е. все фирмы объединились в картель.
(б) Как изменится ваш ответ на вопрос пункта (а), если функция спроса не является линейной, а имеет вид $Q^d(p)=p^{-b}$, где $b > 1$?
Решение

(а) Равновесие при совершенной конкуренции – 1 балл.
В условиях совершенной конкуренции цена соответствует предельным издержкам производства.
Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.
Введение потоварного налога влечет увеличение предельных издержек на величину, равную налоговой ставке, а потому цена возрастет в точности на ставку налога: $\Delta p^{\text{конк}}=t.$

Равновесие в условиях монополии – 1 балл.
В случае сговора фирмы продают продукцию по монопольной цене.
Найдем цену монополиста, решив задачу

$$\underset{(p)}{max}(p-c)(A-p)=\underset{(p)}{max}(-p^{2}+(A+c)p-Ac).$$
Итак,
$$p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.$$

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.
Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

$$\Delta p^{M}=\dfrac{A+c}{2}.$$

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.
Соответственно, увеличение предельных издержек на величину приведет к повышению цены на

$$\Delta p^{M}=\dfrac{t}{2}.$$

Сравнение – 1 балл.
Таким образом, цена выросла меньше, чем при совершенной конкуренции.
(б) Изменение цены при введении налога в условиях совершенной конкуренции – 1 балл.
В случае совершенной конкуренции не зависимо от вида функции спроса цена возрастет на величину налоговой ставки, так как мы имеем дело с горизонтальной кривой предложения.
Равновесие в условиях монополии – 1 балл.

Найдем цену при монополии, решив задачу $$\underset{(p)}{max}(p-c)p^{-b}.$$
Условие первого порядка $-b(p-c)p^{-b-1}+p^{-b}=0$, откуда находим $p^{M}=\dfrac{c}{1-1/b}.$

Изменение цены при введении налога в условиях монополии – 1 балл.

Таким образом, в этом случае $\Delta p^{M}=\dfrac{t}{1-1/b}>t=\Delta p^{\text{конк}},$ поскольку $b>1$, т.е. монопольная цена возрастет сильнее, чем конкурентная.
Сравнение – 2 балла.
В случае совершенной конкуренции при горизонтальной кривой предложения (обусловленной постоянством предельных издержек) вид функции спроса влияет лишь на изменение объема продаж, но не оказывает влияние на изменение цены.
В случае монополии, напротив, вид функции спроса оказывает решающее значение, поскольку определяет вид кривой предельной выручки.

3. Кот в мешке

Рассмотрите рынок с тремя группами потребителей, спрос каждой из которых на рассматриваемый продукт является линейной функцией его цены. Кривая предложения также является линейной и обладает единичной ценовой эластичностью. Известно, что рынок находился в равновесии при цене, равной 10 руб. При этом потребление первой группы составило 15 единиц, а второй группы 5 единиц. Информация о потреблении третьей группы отсутствует. Известно, что в равновесии эластичность спроса первой группы была равна -2, а эластичность спроса второй группы составляла -6, а эластичность спроса третьей группы в точке составляла -1, при этом эластичность совокупного (рыночного) спроса равнялась -2. Правительство ввело акциз на данный товар со ставкой 50%, то есть 50% от цены, уплачиваемой потребителем, перечисляются в бюджет. Найдите величину поступлений в бюджет от введенного налога.
Решение

(а) Поиск кривой предложения вида $Q^{s}(p)=a+bp:$
• расчет параметра – 1 балл.
• расчет параметра – 6 баллов.

Поскольку кривая предложения линейна $\left( Q^{s}(p)=a+bp\right)$ и обладает единичной эластичностью, то
$$\epsilon^{s}_{p}(p)=\dfrac{dQ^{s}(p)p}{dp}\dfrac{p}{Q}=\dfrac{bp}{a+bp}=1,$$
откуда заключаем, что $a=0$.

Так как в равновесии величина совокупного спроса равна величине предложения, то $15+5+q^{d}_{3}(10)=10b,$ откуда $q^{d}_{3}(10)=10(b-2).$ Поскольку функции спроса агентов линейны $\left( q^{d}_{3}(p)=\alpha_{i}-\beta_{i}p \right)$, то наклон в каждой точке постоянен и может быть определен на основе информации об эластичности в заданной точке:

$\epsilon^{d}_{i}=\dfrac{d q^{d}_{i}(p)}{dp}\dfrac{p}{q^{d}_{i}(p)}=-\dfrac{\beta_{i}p}{q^{d}_{i}(p)},$ откуда $\beta_{i}=\dfrac{\epsilon^{d}_{i}\times q^{d}_{i}(p)}{p}.$ Таким образом, находим: $\beta_{1}=\dfrac{2\times15}{10}=3,$ $\beta_{2}=\dfrac{6\times 5}{10}=3,$ $\beta_{3}=\dfrac{1\times q_{3}(10)}{10}=b-2.$

Эластичность рыночного спроса можно представить в виде:
$$\epsilon^{Q}(p)=\left( \dfrac{dq^{d}_{1}(p)}{dp}+\dfrac{dq^{d}_{2}(p)}{dp}+\dfrac{dq^{d}_{3}(p)}{dp} \right) \dfrac{p}{Q^{d}(p)}=-(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3})\dfrac{p}{Q^{d}(p)}$$

Оценивая эластичность при $p=10$ , находим $Q^{d}(10)=-(\beta_{1}+\beta_{2}+\beta_{3})\dfrac{10}{\epsilon^{Q}(10)}=\dfrac{10}{2}(6+b-2)=5b+20.$
Поскольку в равновесии величина совокупного спроса равна величине предложения, то
$$10b=Q^{S}(10)=Q^{d}(10)=5b+20 \text{ или } b=4.$$
Таким образом, $\beta_{3}=2$ и $q_{3}^{d}(10)=10(b-2)=20.$

Поиск кривой рыночного спроса - 5 баллов.
По углу наклона и точке восстанавливаем уравнение прямой, задающее спрос соответствующей группы:

$\alpha_{i}=q_{i}^{d}(10)+10\beta_{i}$ или $\alpha_{1}=15+10\times 3=45, \alpha_{2}=5+10\times 3=35,\alpha_{3}=20+10\times 2=40.$
Итак, $q_{1}^{d}(p)=45-3p, q_{2}^{d}(p)=35-3p, q_{3}^{d}(p)=40-2p$.

Совокупный (рыночный) спрос примет вид

\[Q^{d}(p)=\begin{cases}
0, &\text{ если }p\gt20 \\
40-2p, &\text{ если }15\lt p\le 20\\
85-5p, &\text{ если }35/3 \lt p\le 15 \\
120-8p, &\text{ если }0\le p\le 35/3
\end{cases}\]

Условие равновесия при введении налога – 2 балла.
Введение налога с продаж со ставкой означает, что $p^{p}=0.5p^{c}.$
Соответственно, кривая предложения имеет вид $Q^{S}\left(p^{p}\right)=4p^{p}=2p^{c}$

Поиск равновесия с налогом – 5 баллов.
Найдем равновесие, проверяя последовательно наличие пересечения новой кривой предложения с кривой спроса на каждом из участков, начиная с последнего.

$120-8p=2p$ при $p=12>35/3,$
$85-5p=2p$ при $p=\dfrac{85}{7}=12\dfrac{1}{7}\in(35/3,15)$

Вычисление налоговых поступлений – 1 балл.

Соответствено налоговые поступления при этом будут равны $0.5p \times Q=0.5p \times 2p=p^{2}=\left( \dfrac{85}{7} \right)^{2}.$

4. Страны H и F

Рассмотрите две страны, H и F, в каждой из которых производится два товара, T и N (выпуск обоих благ положительный). При этом товар T продается на мировом рынке (или, как говорят экономисты, является торгуемым товаром и при этом отсутствуют тарифы на импорт и транспортные издержки равны нулю), а товар N не продается на мировом рынке (является неторгуемым благом). Обозначим через $w^H$ и $w^F$ номинальные ставки заработной платы соответствующих стран. Пусть каждый товар производится с помошью одного фактора производства – труда, причем для производства единицы товара T в стране H требуется $a^H_T$ единиц труда, а в стране F требуется $a^F_T$ единиц труда. Аналогично для производства единицы неторгуемого блага в рассматриваемых странах требуется $a^H_N$ и $a^F_N$ единиц труда, соответственно. Известно, что производительность не меняется с ростом объема производства. Считайте, что все рынки являются совершенно кокурентными.
(а) Обоснуйте, почему в каждой стране цены товаров и ставки заработной платы связаны следующими соотношениями: $P^H_T=a^H_T w^H$, $P^H_N=a^H_N w^H$; $P^F_T=a^F_T w^F$ и $P^F_N=a^F_N w^F$.

Все остальные вопросы относятся только к стране H. Считайте, что изменения, происходящие в стране H, не оказывают влияния на цены страны F.
(б) Обозначим через E номинальный обменный курс страны H. В этой экономике в равновесии всегда выполняется условие$EP^F_T=P^H_T$ . Объясните экономический смысл этого условия. Почему не записано аналогичное условие для товара N?
(в) Уровень цен в каждой экономике зависит от цен как торгуемых, так и неторгуемых благ и определяется по следующему правилу $P^H=(P^H_T)^{\alpha}(P^F_N)^{1-\alpha}$ и $0 < \alpha < 1$, где . Пусть в стране H имеет место фиксированный номинальный обменный курс. Определим реальный обменный курс R как $EP^F/P^H$. Что произойдет с реальным обменным курсом R, если ставка заработной платы в стране H возрастет?
(г) Пусть страна H провела девальвацию национальной валюты. Считайте, что в краткосрочном периоде заработные платы не изменятся. Как девальвация повлияет на реальный обменный курс?
Пусть заработные платы полностью приспособились к новому номинальному обменному курсу. Как изменилась величина $P^H_N$? Как изменился реальный обменный курс?
Сравните краткосрочные и долгосрочные последствия девальвации.
(д) Пусть в стране H выросла производительность труда для торгуемого товара, а производительность для неторгуемого осталась прежней. Как в результате изменятся ставка заработной плате в стране H, цена неторгуемого блага, реальный обменный курс? На основе проведенного анализа сформулируйте вывод о связи экономического роста экономики страны и реального обменного курса.

Решение

(а) Объяснение приведенных соотношений – 5 баллов.
В каждой стране $k, (k=H,F)$ по каждому товару (i=T,N) имеет место условие равенства цены товара его единичным издержкам производства: $P_{i}^{k}=a_{i}^{k}w^{k}$ . Это условие проистекает из решения задачи максимизации прибыли и специфики рассматриваемой производственной функции. Так как по условию производительность труда не зависит от объема производства, то производственная функция является линейной $Q_{i}^{k}=L_{i}^{k}/a_{i}^{k}$ . Соответственно, задача максимизации прибыли имеет вид
$$\underset{L_{i}^{k}\ge 0}{max}(P_{i}^{k}L_{i}^{k}/a_{i}^{k}-w^{k}L_{i}^{k})=\underset{Q_{i}^{k}\ge 0}{max}(P_{i}^{k}Q_{i}^{k}-w^{k}a_{i}^{k}Q_{i}^{k})=\underset{Q_{i}^{k}\ge 0}{max}(P_{i}^{k}-w^{k}a_{i}^{k})Q_{i}^{k}.$$

Если $P_{i}^{k} Таким образом, при $P_{i}^{k}

(б) Объяснение условия равновесия по торгуемому товару – 3 балла.
Поскольку $EP_{T}^{F}$ позволяет получить цену торгуемого товара страны $F$ в валюте страны $H$ , то записанное условие означает равенство цен для торгуемого товара в странах $F$ и $H$ . Если бы это условие не выполнялось, то (с учетом отсутствия тарифов на импорт и издержек транспортировки) каждая страна могла бы выиграть, покупая товар $T$ по более низкой цене и затем перепродавая – по более высокой. Таким образом, ситуация, где $EP_{T}^{F}$ и $P_{T}^{H}$ различны, не соответствует равновесию.

Объяснение отсутствия аналогичного условия по неторгуемому благу – 2 балла.
Аналогичное условие для неторгуемого товара не обязано иметь место, поскольку описанный выше механизм перепродажи, который и приводит к выравниванию цен, не действует в силу невозможности торговли между странами товаром .
(в) Выражение реального обменного курса через ставки заработной платы. – 2 балла. Итоговый вывод с объяснением – 2 балла.

Реальный обменный курс:
$$\dfrac{EP^{F}}{P^{H}}=\left( \dfrac{EP_{T}^{F}}{P_{T}^{H}}\right)^{\alpha}\left(\dfrac{EP_{N}^{F}}{P_{N}^{H}}\right)^{1-\alpha}=\left(\dfrac{EP_{N}^{F}}{P_{N}^{H}}\right)^{1-\alpha}=\left(\dfrac{Ea_{N}^{F}w^{F}}{a_{N}^{H}w^{H}}\right)^{1-\alpha}.$$

Если $w^{H}$ возрастет при неизменном значении $w^{F}$ , то реальный обменный курс снизится, поскольку рост заработной платы приведет к подорожанию неторгуемых товаров в стране $H$.
(г) Анализ последствий девальвации в краткосрочном периоде – 2 балла.
Девальвация (т.е. обесценение) национальной валюты означает, что номинальный обменный курс $(E)$ возрастет (за единицу иностранной валюты необходимо будет отдать большее количество национальной валюты.
В краткосрочном периоде (при неизменной заработной плате) девальвация приведет к росту реального обменного курса, поскольку иностранные неторгуемые товары станут дороже в пересчете на национальную валюту.

Анализ последствий девальвации в долгосрочном периоде:
• Изменение заработной платы – 1 балл,
• Изменение цены неторгуемого товара – 1 балл,

Однако в долгосрочном периоде ставка заработной платы в стране $H$ возрастет, поскольку $EP^{F}_{T}=P^{H}_{T}=a^{H}_{T}w^{H}$ , откуда $w^{H}=EP^{F}_{T}/a^{H}_{T}$ . Итак, $\Delta w^{H}=\left( P_{T}^{F}/a_{T}^{H}\right)\Delta E>0 ,\Delta P^{H}_{N}=a^{H}_{N}\Delta w^{H}>0$ , то есть заработная плата и цены товаров в стране возрастут пропорционально изменению номинального обменного курса.

• Изменение реального обменного курса – 2 балла.
При этом в долгосрочном периоде реальный обменный курс не изменится:

$$\dfrac{EP^{F}}{P^{H}}=\left(\dfrac{Ea_{N}^{F}w^{F}}{a_{N}^{H}w^{H}}\right)^{1-\alpha}=\left(\dfrac{Ea_{N}^{F}w^{F}}{a_{N}^{H}EP^{F}_{T}/a^{H}_{T}}\right)^{1-\alpha}=\left(\dfrac{a_{N}^{F}w^{F}}{a_{N}^{H}P^{F}_{T}/a^{H}_{T}}\right)^{1-\alpha}.$$

Сравнение краткосрочных и долгосрочных последствий – 1 балл.
Таким образом, в краткосрочном периоде девальвация приводит к росту реального обменного курса, а в долгосрочном периоде реальный обменный курс не меняется, так как повышение номинального обменного курса нивелируется повышением ставки заработной платы и цен товаров.

(д) Изменение ставки заработной платы – 1 балл, изменение цены неторгуемого товара – 1 балл,
Производительность труда для торгуемого товара в стране $H$ равна $1/a_{T}^{H}$ . Поскольку $w^{H}=EP_{T}^{F}/a_{T}^{H}$, то рост производительности труда при выпуске торгуемого товара приведет к повышению ставки заработной платы в стране $H: \Delta w^{H}= EP^{F}_{T}\Delta \dfrac{1}{a_{T}^{H}}>0$ , что, в свою очередь, повлечет повышение цены неторгуемого блага $\Delta P_{N}^{H}=a_{N}^{H}\Delta w^{H}>0$.

изменение реального обменного курса – 1 балл.
Реальный обменный курс снизится в силу роста цены неторгумого товара $\dfrac{EP^{F}}{P^{H}}=\left(\dfrac{EP^{F}_{N}}{P_{N}^{H}}\right)^{1-\alpha}.$

Вывод о связи экономического роста с изменением реального обменного курса – 1 балл.
Таким образом, экономический рост, вызванный увеличением производительности торгуемого товара, будет сопровождаться снижением реального обменного курса, то есть повышением цен в данной стране по сравнению с другими странами.

5. Дизайн механизмов

Жители небольшого городка рассматривают возможность создания своего краеведческого музея. Музей может быть создан на заемные средства, при этом выплаты по процентам составят по $20 на человека год. Население города составляет 1000 человек и по своим предпочтениям разделяется на пять групп равной численности. Выгоды от музея для этих групп представлены в таблице. Предположим также, что данные относительно резервных полезностей всех горожан являются общеизвестной информацией.

Группы, однородные по своим предпочтениям
Выгода от музея, долл. в год
Первая группа
34
Вторая группа
29
Третья группа
x
Четвертая группа
18
Пятая группа
15

(а) Пусть решение о создании музея принимается путем голосования согласно правилу простого большинства. Известно, что в случае создания музея расходы на его финансирования будут поровну разделены между всеми жителями городка в виде ежегодных налоговых платежей. При каких значениях $x$ будет принято решение о создании музея?
(б) Решение (в данном случае создавать или не создавать музей) называют эффективным, если оно соответствует максимальному значению чистой выгоды общества (чистая выгода общества является разницей между совокупной выгодой всех групп и совокупными издержками). При каком значении $x$ решение, принятое простым большинством, будет эффективным?
(в) Экономический советник мэра предложил поручить создание музея местной частной компании, собственником которой является жена этого мэра. В случае ее согласия, компания должна продавать годовые абонементы на посещение музея по единой цене. Абонемент дает его обладателю право на любое количество посещений музея в течение года бесплатно. Согласится ли эта частная компания создать музей на таких условиях, если $x < 100$?
(г) Сам мэр (крепкий хозяйственник, как это у нас обычно бывает) принял решение выставить разрешение на создание музей на аукцион, разрешив, однако, победителю аукциона продавать готовые абонементы на посещение музея по разным ценам для разных граждан. При каких значениях $x$ можно ожидать, что будут желающие принять участие в аукционе? Какой максимальный доход при этом может получить бюджет города от такого аукциона?
(д) Предположим теперь, что выгоды от музея (хотя и таковы, как указано в таблице) являются частной информацией горожан, т.е. известны только им. Пусть $x=24$. Несмотря на это обстоятельство профессор Кларк, преподающий в расположенном неподалеку университете микроэкономику, утверждал, что эту информацию можно выявить в рамках следующей хитроумной процедуры:
$\rightarrow$ горожанин i сообщает информацию, возможно, ложную, $b_i$ о «своей» чистой оценке музея $v_i$ (разности между выгодой от музея и величиной 20 д.е.);
$\rightarrow$ музей создается, если $\sum_i b_i \geq 0$ (при этом с каждого горожанина взимается ежегодный взнос в сумме $20 на финансирование выплат по процентам) и музей не создается в противном случае;
$\rightarrow$ каждый горожанин, решение которого меняет вердикт общества о создании музея (назовем такого горожанина ключевым потребителем), в дополнение к взносу на покрытие выплат по процентам, $20, платит налог, который рассчитывается следующим образом:
если $\sum_i b_i \geq 0$, но $\sum_j \neq i b_j < 0$, то $t_i=-\sum_j \neq i b_j$ .
если $\sum_i b_i < 0$, но $\sum_j \neq i b_j \geq 0$, то $t_i=-\sum_j \neq i b_j$.
Если потребитель не меняет общественного решения, то он налог не платит.
Заметим, что в первом случае решение о создании музея принимается, и взнос i-го горожанина составляет $\$20+t_i$. Во втором случае решение о создании музея не принимается, но i-ый горожанин все же должен сделать взнос $t_i=-\sum_j \neq i b_j$. Эти дополнительные налоги, по уговору с профессором Кларком, составляют его гонорар за предложенную им идею, а поэтому называются налогами Кларка.
Покажите, что гонорар профессор заслужил, так как информация таким способом действительно выявляется: никто ничего не выиграет, сообщая неверную оценку, какие бы оценки не сообщали другие. И это хорошая новость для профессора – его идея работает. Плохая новость состоит в том, что он должен быть готов к тому, что часто не будет получать никакого гонорара.
(е) Рассмотрите процедуру, описанную в пункте (д), полагая $x=24$. Найдите налоги Кларка при условии, что все агенты выявляют свои оценки (сообщают истинные значения своих выгод от музея).

Решение

(а) Поиск значений , при которых музей создается – 2 балла.
Решение финансировать сооружение по методу простого большинства будет принято тогда и только тогда, когда за него проголосуют избиратели третьей группы, т.е. тогда и только тогда $x\ge 20.$

(б) Поиск значений , при которых музей создается, и это решение является эффективным – 2 балла.
Средние издержки финансировании создания музея составляют $20$ д.е., средняя выгода $\dfrac{96+x}{5}$.
$\dfrac{96+x}{5} \ge 20$ тогда и только тогда, когда $x \ge 4$ .

Таким образом, при $x\ge 20$ будет принято решение о финансировании музея, и оно окажется эффективным.

Поиск значений , при которых музей не создается, и это решение является эффективным – 2 балла.
При $x<4$ будет принято решение не финансировать музей, и оно также будет эффективным

Заметим, что при $20>x\ge 4$ будет также принято решение не финансировать сооружение музея, но оно будет неэффективным.
Ответ – 1 балл
Ответ. Решение, принятое простым большинством, будет эффективным при $x<4$ и $x\ge 20$ (строгость/нетрогость неравенств не принимать во внимание).

(в) Условие безубыточности частной компании и ограничение снизу на цену абонемента – 1 балл.
Если устанавливается единая цена абонемента на посещение музея, то чтобы частная компания не несла убытка от проекта, необходимо, чтобы средняя цена абонемента была не ниже, чем $20$ д.е.. Нетрудно видеть, что такой цены не существует, и поэтому частная компания создать музей на таких условиях не согласится.
Доказательство того, что цены, при которой продажа абонементов приносила бы неотрицательную прибыль, не существует – 4 балла.

Действительно, цена должна быть не выше $29$ д.е., чтобы абонемент покупали потребители второй группы, но тогда средняя цена не превышает $\dfrac{3\times 29}{5}<20$ даже, если потребители третьей группы будут приобретать абонементы, т.е. если $x \ge 29$ . Цена должна быть не выше $34$ д.е., чтобы абонемент покупали потребители первой группы, но тогда средняя цена абонемента не превышает $\dfrac{2\times 34}{5}<20$ даже, если потребители третьей группы будут приобретать абонементы, т.е. если $x\ge 34$ .

И наконец, цена должна быть не ниже $x$, если абонемент покупают только потребители третьей группы (когда $x>34$ ). Но $\dfrac{x}{5}<20$, так как $x<100$ д.е.
(г) Определение цены для каждой группы в случае победы на аукционе – 2 бала.
С целью получения максимальной выручки компания установит максимальные цены на абонемент для потребителя каждой группы, при которых он все еще согласен его покупать.

Сравнение выручки и издержек и определение диапазона значений , при которых будут желающие участвовать в аукционе. Вывод относительно значений – 2 балла.
Поэтому средняя выручка компании составит $\dfrac{96+x}{5}$ . Желающие принять участие в аукционе найдутся при $x>4$ .
Доход, поступающий в бюджет города – 1 балл.
Бюджет города может получить при этом доход, не превышающий величину $m\times\left( \dfrac{96+x}{5}-20\right).$
(д) Сравнение чистых выигрышей потребителя при сообщении истинной и ложной оценки выгоды
• в ситуации, если музей создается (3 балла)

Пусть $v_{i}$ – оценка музея потребителем группы $i$ . Следует рассмотреть несколько возможных ситуаций
(1) $v_{i}+\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}<0$
(2) $v_{i}+\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}\ge 0$

В первой ситуации сообщение потребителем $i$ истинного значение чистой оценки музея $(b_{i}=v_{i})$ приводит к тому, что решение о финансировании музея не принимается. Он платит налог Кларка (профессору Кларку), если $\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}\ge 0$ и не платит ничего в противном случае. В первом случае его выигрыш равен $-t_{i}=-\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}$ , во втором случаю нулю. Но может ли этот потребитель увеличить свою полезность? Сообщая информацию о величине своей чистой оценки музея, при которой решение о финансировании музея не принимается, потребитель не меняет свою полезность (поскольку информация об его оценке не участвует при определении выигрыша). Если решение при этом принимается, то полезность (без учета налога) становится равной $v_{i}$. В первом случае налог не уплачивается. Но поскольку $v_{i}+\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}<0$ , то $v_{i}<-\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}=-t_{i}$ , т.е. его полезность в этом случае снижается. Во втором случае уплачивается налог $t_{i}=-\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}$ , так что полезность становится равной $v_{i}+\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}$ . Но поскольку эта величина отрицательна, и в этом случае выигрыш снижается. Таким образом, в любой из ситуаций первого типа потребитель не может выиграть от сообщения неверной величины своей чистой оценки музея.

• в ситуации, если музей не создается (2 балла)
В любой из ситуаций типа (2) решение о финансировании музея принимается, если потребитель сообщается истинную информацию о своей оценке музея. В случае, когда $\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}\ge 0$ , налог Кларка равен нулю и полезность потребителя равна $v_{i}$ . В противном случае, $\underset{j\ne i}{\sum}b_{j} < 0$ , налог Кларка равен $-\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}$ и полезность потребителя равна $v_{i}+\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}$ . Если в результате манипулирования с оценками принимается решение не финансировать музей, полезность потребителя в первом случае равна $-\underset{j\ne i}{\sum}b_{j} $ . Но поскольку $v_{i}+\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}\ge 0$ , то $v_{i}$ , т.е. полезность потребителя не может увеличиться. Во втором случае полезность потребителя становится равной нулю, но поскольку $v_{i}+\underset{j\ne i}{\sum}b_{j}\ge 0$, он также не выигрывает от сообщения неверного значения своей оценки.

(е) Доказательство того, что ключевого потребителя в данной ситуации не существует – 2 балла.
Заметим, что если в рассматриваемом нами случае существует ключевой потребитель, то таким обязательно будет потребитель первой группы. Поэтому достаточно показать, что потребитель первой группы не будет ключевым. Но это так, поскольку $\underset{j\ne i}{\sum}v_{j}=6>0$ .
Вывод относительно налогов Кларка.- 1 балл
Поскольку ключевого потребителя не существует, то налоги Кларка будут равны нулю.

Качественные задачи

1. Небольшое кафе

Семья владеет небольшим кафе. Глава семьи объявил о закрытии кафе, сопроводив это следующими комментариями: «Наши дети выросли и не собираются работать далее в кафе. Если бы они работали в семейном бизнесе, он был бы прибылен. Однако они выбрали занятость в других секторах, где им платят более высокие оклады, а потому мы вынуждены закрыть наш бизнес». Проанализируйте сделанное заявление.
Решение

Если сыновьям в других секторах предлагают более высокую оплату, то эта оплата соотсветствует величине альтернативных издержек занятости в семейном бизнесе. Если бы они работали в семейном бизнесе и далее, то именно такая ставка оплаты их труда должна была бы быть заложена в расчете прибыли. В этом случае даже при решении сыновей покинуть бизнес, отец смог бы заменить их наемными работниками с такой же оплатой.
Таким образом, возможны два варианта:
(а) отец некорректно учитывал стоимость труда сыновей и зависил величину прибыли при их занятости в бизнесе (т.е. экономическая прибыль в действительности отрицательна);
(б) если прибыль до ухода сыновей была подсчитана корректно, то бизнес останется прибыльным и после замены сыновей на наемных работников.

Этот анализ, в частности, базируется на предпосылке об однородности труда. То есть мы предполагаем, что сыновья и многие потенциальные наемные работники обладают одинаковыми характеристиками. Если это не так, то сыновья могли бы обладать специфическими способностями, востребованными в семейном бизнесе, которых нет у других наемных работников. В этом случае их уход из бизнеса принципиально изменяет ситуацию.

Кроме того, если глава семьи наймет вместо своих сыновей работников со стороны, то они не будут являться собственниками бизнеса и могут иметь цели, отличные от целей собственников. В этом случае нанятые работники могут не прилагать должного количества усилий, что негативно отразится на прибыли кафе.

2. Разбитое окно

Из объяснительной записки ученика, разбившего окно в классе: «В соответствии с изученным мною курсом «Принципы экономического анализа» замена стекла повлечет увеличение ВВП нашей страны на стоимость стекла и услуг по его установке. Таким образом, мои действия были продиктованы исключительно заботой о процветании страны».
Дайте оценку объяснительной записке школьника.
Решение

В действительности, производство и замена стекла означают, что используемые при этом ресурсы были отвлечены от производства других товаров и услуг, которые действительно могли бы улучшить благосостояние региона. В данном же случае эти ресурсы были использованы на восстановление изношенного капитала, а не на потребление или прирост капитала. Таким образом, разбитое стекло могло повлиять на структуру ВВП, но не привести к его росту.

Это объяснение справедливо в условиях полной занятости факторов производства, т.е. предполагается, что экономика функционирует в некой точке на кривой производственных возможностей.

3. Убыточная медтехника

Говорят, что в частной компании XYZ действует система перекрестного субсидирования: компания несет убытки от производства медтехники, но ее совокупная прибыль положительна за счет заказов от федерального правительства на производство приборов высокой точности.
Разумно ли применение ли подобной системы?
Как изменится ваш ответ, если производство медтехники убыточно, но эти убытки покрываются за счет субсидий из федерального бюджета?
Решение

Пусть производство одного из рассматриваемых благ никак не влияет на технологию производства другого и наоборот. В этих условиях, если компания XYZ является частной и стремится максимизировать прибыль, то нет смысла тратить прибыль, получаемую на военных контрактах, на покрытие убытков от производства медтехники. Сократив подразделение, занимающееся производством медтехники, фирма смогла бы увеличить прибыль.

Пусть производство военной техники порождает инновационные технологии, использование которых снижает издержки производства медтехники. И в этом случае рассматриваемая политика противоречит максимизации прибыли, если даже с учетом новых технологий этот вид бизнеса убыточен.
Пусть, напротив, именно производство медтехники создает инновационные технологии, которые затем используются при выполнении военных заказов. Тогда, возможно, фирма некорректно подсчитывает прибыль от производства медтехники, игнорируя этот положительный эффект от инноваций. Если же этот эффект учтен, то политика перекрестного субсидирования противоречит максимизации прибыли.

Анализ ситуации с субсидиями.
Если бы убытки от производства медтехники покрывались за счет субсидий из федерального бюджета, то производство медтехники при параллельном выполнении военных заказов не противоречило бы максимизации прибыли.

4. Сгоревшая купюра

Подбрасывая дрова в костер, вы случайно обронили принадлежащую вам пятитысячную купюру, которая мгновенно сгорела. Выиграют или проиграют в результате остальные индивиды? Как изменится ваш ответ, если сгорела не купюра, а приобретенные вами товары на сумму в 5000 рублей?
Решение

Поскольку количество денег в обращении сократилось, то это приведет (к незначительному) непредвиденному падению цен. Иллюстрация в терминах AD-AS.

В результате выиграют, к примеру, агенты, чьи доходы фиксированы в номинальном выражении, так как при более низких ценах реальные доходы возрастут.

Существуют контракты и другие обязательства, фиксированные в номинальном выражении. Если бы это было не так, и доходы автоматически индексировались, то реальные переменные могли бы остаться прежними.

Если сгорят не деньги, а товары то это никак не отразится на благосостоянии других членов общества, а повлечет лишь ваши собственные потери.

5. КПВ фирмы

Объясните, почему производственные возможности закрытой экономики, где выпускается два товара можно описать с помощью кривой производственных возможностей (КПВ), а для описания производственных возможностей фирмы, создающей два товара в условиях рыночной экономики, концепция КПВ не применима.
Решение

Концепция КПВ базируется на заданном ограниченном запасе фактора (факторов производства). В результате запас факторов лимитирует выпуск одного товара при заданном выпуске другого.

Фирма же покупает факторы производства на рынках, а потому не лимитирована в количестве используемых факторов.

В результате заданный объем производства одного товара не накладывает ограничений на количество факторов, которые могут быть использованы фирмой в производстве другого блага, однако ограничивает объем факторов, доступных для производства второго товара для экономики в целом, если совокупный запас факторов ограничен (что имеет место в случае закрытой экономики).